数学建模课设报告

数学建模实践数学建模课程设计（程序设计和论文）题目 1函数的麦克劳林多项式展开 2无变位油罐中油量的确定 3地球温度曲线拟合及预测 4运输路线的选择 班级 / 学号 学 生 姓 名 指 导 教 师 沈阳航空航天大学课 程 设 计 任 务 书课 程 名 称 数学建模实践 院（系） 理学院 专业 班级 学号 姓名 课程设计题目 1函数的麦克劳林多项式展开 2无变位油罐中油量的确定 3地球温度曲线拟合及预测 4运输路线的选择 课程设计时间: 2011 年 6 月 27 日至 2011 年 7 月 15 日课程设计的内容及要求：内容1（1）求函数（2）编写对任意固定的n计算多项式函数值的函数M文件（3）任取n，在同一平面内画出函数的图形，并进行比较。2无变位油罐中油量确定设油罐中油量V与高度h的关系是其中，（1）编写计算体积V(h)的函数M文件fv；（2）根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据计算公式V(h)与实验数据之间的误差WC(h)，并用多项式拟合确定函数WC(h)表达式。（3）用误差WC(h)调整V(h)，并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。3“地球表面温度Excel”表给出地球表面18802002平均温度，完成以下任务：(1)用曲线拟合法建立温度与时间的函数关系，并通过绘图将拟合结果与实际数据进行比较。(2)求地球表面温度的变化率函数，并画出变化率函数图象。(3)预测2050年地球表面温度。4如图1，同心圆（圆心为O）中间环带为湖水，小圆内为湖心岛，大圆外为陆地。已知小圆、大圆半径分别为R (km)，2R (km)，陆地两个城市A，B与码头C，D，E，F及O在一条直线上，且两个城市到湖边最近距离均为R (km)，现有物资从A地运往B地，陆地运费、水路运费、岛路运费分别为m、p、q （元/ kgkm）。问题1：不考虑修路与装，卸费（比如长期、大批量运输），选择怎样的运输路线才能使运费最低值是多少元？例如，若m = p = q，则修路及运输路线选择ACEOFDB问题2：修路费s（元/km）,装卸费z（元/ kgkm）,货物总运量M kg，讨论问题1。 A R C E R 陆 S 湖 岛OX 2R F R D B 图1 城区位置图 要求1、学习态度要认真，要积极参与课程设计，锻炼独立思考能力；2、严格遵守上机时间安排；3、按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序；4、根据任务来完成数学建模论文；5、报告书写格式要求按照沈阳航空航天大学“课程设计报告撰写规范”；7、报告上交时间：课程设计结时上交报告。8、严谨抄袭行为。指导教师 2011 年 7 月 11 日负责教师 2011 年 7 月 11 日学生签字 2011 年 7 月 11 日沈阳航空航天大学课 程 设 计 成 绩 评 定 单课 程 名 称 数学建模实践 院（系） 理学院 专业 信息与计算科学 课程设计题目 1函数的麦克劳林多项式展开 2无变位油罐中油量的确定 3地球温度曲线拟合及测定 4运输路线的选择 学号 2009041401018 姓名 时瑞军 指导教师评语：课程设计成绩 指导教师签字 年 月 日目 录摘 要81 任务一91.1 问题重述91.2 问题分析91.3 程序与说明91.3.1 程序91.3.2 程序说明101.4 结果112 任务二122.1 问题重述122.2 问题分析132.3 程序与说明132.3.1 程序132.3.2 程序说明162.4 结果163 任务三183.1 问题重述183.2 问题分析183.3 程序与说明193.3.1 程序193.3.2 程序说明203.4 结果214 任务四224.1 问题重述224.2 问题分析234.3 模型建立234.4 程序与说明244.4.1 程序244.4.2 程序说明254.5 结果254.6 模型优缺点分析26参考文献27摘 要本论文正对上述提出来的问题，依次做出解答。根据问题题设，对于问题一，根据麦克劳林的推导公式，我们可以用matlab求出它的次麦克劳林展式并将其以表达式的形式输出出来。然后，编写M文件求对于给定的次数和求出的值。最后对于第三小问，用plot命令将函数的值与其的麦克劳林展式在区间上进行比较。对于题目二，由题设公式我们很容易就可以编写M文件，对于给定储油罐中油量高度，求出其储油体积作为其理论值。然后我们根据这理论值，与附给的表中的入油表的实际值进行比较并求出其差值，得出来的差值与相应的体积用多项式拟合的方法拟合成曲线，并将其曲线函数表达式输出出来。对拟合出来的函数用来调整理论值，并用于检验出油表，以确定其调整后的表达式是否符合实验值。对于题目三，运用最小二乘曲线拟合的原理，编写出M文件对给出的数据进行曲线拟合，将拟合曲线以表达式的形式输出出来,然后对于所得到的表达式，将其对自变量求导，得出来的结果作为温度的变化率。对于以求得的时间-温度表达式，带入2050得出来的结果即为预测值。关键词：麦克劳林；多项式拟合；预测；运输路线1 任务一1.1 问题重述本题要求主要有三个：（1）对求n阶麦克劳林多项式，然后输出出其表达式。（2）对上题所求得的带入值可以得到求得的结果。（3）任取n，在同一平面内画出函数的图形，并进行比较。1.2 问题分析针对本题，我们需要将转化为，在此，我们对和分别进行麦克劳林展开为和，则展开后可表示为，编写M文件求出其表达式形式即可。对于得到的表达式结果用利用字符表达式带入值很容易求出结果。在第三问中，输入的值将其带入和中，并求出它们的差值。为了方便画图，将程序做一修改，使其可以输入一个向量，可以得到一个结果向量。然后对其在区间画图进行比较。1.3 程序与说明1.3.1 程序（1）求并输出其表达式function s=yiyi(n)syms x;s1=0;s2=0;for i=1:n s1=s1+(-1)(i+1)*(xi)/i; s2=s2+(-1)*(xi)/i;ends=s1-s2;（2） 带入求值function s=yier(n,x)s1=0;s2=0;for i=1:n s1=s1+(-1)(i+1)*(xi)/i; s2=s2+(-1)*(xi)/i;ends=s2-s1;（3） 画出、在区间的图像function yisan(n)x=-2/3:0.02:2/3;m=length(x);for i=1:m f(i)=log(1-x(i)/(1+x(i); T(i)=yier(n,x(i); E(i)=f(i)-T(i);endplot(x,f,x,T,*,x,E);legend(函数的值,麦克劳林多项式的值,E(x)的值);1.3.2 程序说明（1）先定义一个字符变量，做一循环求出、。其中表示的麦克劳林展式，表示的麦克劳林展开。则的麦克劳林展开。本程序输入的值是函数的展开表达式。（2）要求输入麦克劳林展开的次数，还有自变量的值，根据第一小题的展开方法，将带入公式即可得到的值。（3）通过第二小题我们已经求得了函数的麦克劳林展开的值，在本程序中，求出的实际值。这样，只需做一个循环将和在区间的值求出来分别赋值给向量和，将它们做差的到它们的差值赋值给。然后用函数在区间进行画图。函数表示对图形各曲线进行标注。 1.4 结果（1） n=5时，的麦克劳林展开表达式如图1-1所示： 图1-1的麦克劳林5次展开式（2）次数，时，带入的麦克劳林展开表达式的结果如图1-2所示：图1-2的麦克劳林5次展开带入7结果（3）次数，函数值，的5次麦克劳林展开，及它们的差值，在区间图像对比如图1-3所示：图1-3在区间上，对比图2 任务二2.1 问题重述无变位油罐中油量的确定，给定油罐中高度和其出油量的函数关系作为其理论值，要求：（1）编写计算体积V(h)的函数M文件fv，其中是要输入的值，按函数关系输出相应的储油体积的值。（2）根据“无变位实验采集数据表”中的无变位进油表中的数据计算公式V(h)与实验数据之间的误差WC(h)，并用多项式拟合确定函数WC(h)表达式。（3）用误差WC(h)调整V(h)，并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。2.2 问题分析（1） 对于给定的函数表达式，只需向里面带入一个值即可求出。（2）将无变位进油表中的高度带入公式中，可以得到一系列的储油量值。再将求得的理论储油量得值减去给出的实际储油量的值得到它们的差赋值给向量，对此向量及对应的高度做曲线拟合，可以得到拟合出来的多项式系数。输出其表达式)。（3）此题要求用拟合的差值函数WC调整V(h)使其更符合实际值，然后用调整过后的函数检验无变位出油表以测定所调整的函数是否符合实际情况。在做出程序的时候，可以输入一个高度h输出一个调整函数带入h后的值。求出调整的函数，只需要利用理论函数减去得到调整后的函数。将函数画图与实际出油表的出油量进行比较。2.3 程序与说明2.3.1 程序（1） 编写计算体积V(h)的函数M文件fvfunction v=fv(h)a=17.8/2;b=12/2;L1=4;L2=20.5;r=asin(h-b)/b)+(h-b)/b)*sqrt(1-(h-b)2)/(b2)+pi/2;v=a*b*(L1+L2)*r;（2） 求V(h)与实验数据之间的误差WC(h)，并用多项式拟合确定函数WC(h)表达式function WC1=erer(h)h1=159.02 176.14 192.59 208.50 223.93 238.97 253.66 268.04 282.16 296.03 309.69 323.15 336.44 349.57 362.56 375.42 388.16 400.79 413.32 425.76 438.12 450.40 462.62 474.78 486.89 498.95 510.97 522.95 534.90 546.82 558.72 570.61 582.48 594.35 606.22 618.09 629.96 641.85 653.75 665.67 677.63 678.54 690.53 690.82 702.85 714.91 727.03 739.19 751.42 763.70 764.16 776.53 788.99 801.54 814.19 826.95 839.83 852.84 866.00 879.32 892.82 892.84 906.53 920.45 934.61 949.05 963.80 978.91 994.43 1010.43 1026.99 1044.25 1062.37 1081.59 1102.33 1125.32 1152.36 1193.49;v=50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050 2053.83 2103.83 2105.06 2155.06 2205.06 2255.06 2305.06 2355.06 2404.98 2406.83 2456.83 2506.83 2556.83 2606.83 2656.83 2706.83 2756.83 2806.83 2856.83 2906.83 2906.91 2956.91 3006.91 3056.91 3106.91 3156.91 3206.91 3256.91 3306.91 3356.91 3406.91 3456.91 3506.91 3556.91 3606.91 3656.91 3706.91;h1=h1/100;v=v+262;m=length(h1);for i=1:m v1(i)=fv(h1(i);endWC=v1-v;P=polyfit(h1,WC,9);syms x;s=0;for j=1:9 s=s+P(j)*x(j-1);enddisp(WC(x)=);pretty(s);WC1=polyval(P,h);（3） 用误差WC(h)调整V(h)，并用“无变位实验采集数据表”中的无变位出油表中的数据检验调整结果。function vm=ersan(h)h1=1150.72 1123.99 1101.15 1080.51 1061.36 1043.29 1026.08 1009.54 993.57 978.08 962.99 948.26 933.84 919.69 905.78 892.10 878.61 865.30 852.15 839.14 826.27 813.52 800.87 788.33 775.88 763.51 751.21 738.98 726.81 714.70 702.64 690.61 678.63 666.68 654.75 642.84 630.96 619.08 607.21 595.35 583.48 571.61 559.72 547.82 535.90 523.95 511.97 499.96 487.90 475.80 463.65 451.43 439.15 426.80 414.36 401.84 389.22 376.49 363.64 350.67 337.55 324.27 310.82 297.18 283.33 269.24 254.88 240.21 225.21 209.81 193.94 177.54 160.48 142.62;v=52.72 102.72 152.72 202.72 252.72 302.72 352.72 402.72 452.72 502.72 552.72 602.72 652.72 702.72 752.72 802.72 852.72 902.72 952.72 1002.72 1052.72 1102.72 1152.72 1202.72 1252.72 1302.72 1352.72 1402.72 1452.72 1502.72 1552.72 1602.72 1652.72 1702.72 1752.72 1802.72 1852.72 1902.72 1952.72 2002.72 2052.72 2102.72 2152.72 2202.72 2252.72 2302.72 2352.72 2402.72 2452.72 2502.72 2552.72 2602.72 2652.72 2702.72 2752.72 2802.72 2852.72 2902.72 2952.72 3002.72 3052.72 3102.72 3152.72 3202.72 3252.72 3302.72 3352.72 3402.72 3452.72 3502.72 3552.72 3602.72 3652.72 3702.72;h1=h1/100;WC=erer(h1);m=length(h1);for i=1:m v1(i)=fv(h1(i);endvm=fv(h)-erer(h);v2=v1-WC;for j=1:m-1 dv(j)=v2(j)-v2(j+1);endcv(1)=52.72;for k=2:m cv(k)=cv(k-1)+dv(k-1);endplot(h1,v,h1,cv,*);legend(出油表中实际数据,理论调整数据);2.3.2 程序说明（1）此程序要求输入一个高度得到一个理论值，都是已知的，计算完成后将得到的储油体积输出即可。（2）将无变位进油表中的油位高度和对应的储油量分别存入和向量中。对于中的每一个值，调用程序1算出各高度值对应的储油量理论值存入向量中。用向量减去向量得到向量即理论值和实际值得差值。对向量和对应高度做次多项式曲线拟合（默认8次），得到曲线多项式的系数P。定义一个字符变量，将整个多项式以表达式的形式表达出来。此程序还有一个附加功能，即输入一个高度值，可以计算并输出一个差值函数带入值得结果。（3）本程序功能是实现对函数利用差值函数进行调整。得到一个较满足现实情况的新函数。然后用所给的无变位出油表检验新函数的可靠性。首先将无变位出油表的高度和对应累加出油量分别存入向量和中。作循环分别对中的每一个值算出其对应的储油量理论值向量和带入差值函数得到一个差值向量，用-即可得到调整后的储油量的值赋值给。由于所给的表中对应于高度的是累加出油量的值，而且我们不知道对应于1150.72mm的出油量是由哪个高度抽取50L油量得到。表中所得的每个高度都是由每次抽取50L油量而来。所以想要检验调整后的函数是否属实，只要看对应高度的实际储油量相邻量相减，看是否大致等于50，得到的值赋值给向量。为了和累加出油表的形式保持一致。将调整后的累加出油向量存在向量中，设=50.72，用分别累加中的值，得到新向量，则就是调整后理论的累加出油量的值，将理论值与实际值相比较，画图即可看出。2.4 结果(1)对的时候求，得到的结果如图2-1所示图2-1的结果（2）对差值做8次曲线拟合，并当时，拟合出来的函数的值，结果如图2-2所示：图2-2表达式（3）用对进行调整后，时，输出调整后的储油量和，调整后的数据与无变位出油表中数据进行比较，结果如图2-3和2-4所示：图2-3对调整后，时运行结果图2-4调整后的数据与无变位出油表中数据比较图3 任务三3.1 问题重述对于题目给出的“地球表面温度.excel”文件中给出的数据完成三个任务：(1)用曲线拟合法建立温度与时间的函数关系，并通过绘图将拟合结果与实际数据进行比较。(2)求地球表面温度的变化率函数，并画出变化率函数图象。(3)预测2050年地球表面温度。3.2 问题分析（1） 本题要求用曲线拟合法建立，温度与时间的关系。观察实际数据的绘图效果，用最小二乘法，建立数学模型，对给出的数据进行拟合，得到一条最佳拟合曲线，使得曲线上各点与实际曲线上点距离平方和最小。（2） 对于上题所求得的拟合多项式曲线表达式，用matlab进行求一次导，得出来的表达式再代入数值，画图显示。（3） 此题要求预测2050年气温，则可以利用第一问拟合好的曲线方程，代入2050求得结果即可。3.3 程序与说明3.3.1 程序（1） 1880-2002年的时间与温度见附加程序santi（2） 对上题数据进行多项式拟合function H,t=sanyi2(n,q)%定义多项式拟合系数求解函数,% x y 为输入数据量n 为拟合次数B=santi;x=B(:,1);y=B(:,2);m=length(x); %测量数据长度X1=zeros(1,2*n); %生成X 矩阵for i=1:2*nX1(i)=sum(x.i); endX2=m,X1(1:n); X3=zeros(n,n+1);for j=1:nX3(j,:)=X1(j:j+n); endX=X2;X3; Y=zeros(1,n); %生成Y 向量for k=1:nY(k)=sum(x.k.*y); endY=sum(y),Y; Y=Y;A=XY; %求得拟合系数向量AA=A;pp=length(A);for l=1:pp H(l)=A(pp-l+1);ende=polyval(H,x);plot(x,y,x,e);t=polyval(H,q);%用次拟合（3）地球表面变化率function sanerH,t=sanyi2(25,);n=length(H);syms x;s=0;for i=1:n s=s+H(i)*x(26-i);endf=diff(s,x);for j=1880:2002 t(j-1879)=subs(f,j);endo=1880:2002;plot(o,t);(3)预测2050年温度将程序（2），代入即可得到结果3.3.2 程序说明(1) 将1880-2002年得温度及对应时间存入向量A中。(2) 调用第（1）问函数，的到各年温度与时间，将时间存入向量中，对应温度存入向量中。根据最小二乘法定义，由A=X得到拟合的系数向量，为了可以用带入值到函数求得多项式的的值。将A向量逆序排列存入向量H中。然后用函数带入值求解即可。（3）对于上题所求的表达式，用自变量表示出来，得到关于的次多项式。用函数对此多项式关于自变量求导，附给变量，再将时间向量带入中，求解。即得1880-2002年温度的变化率。最后画图显示即可。3.4 结果(1)对数据进行25次拟合，对2000年温度进行表示，并画出图像对比，程序运行结果如图3-1,3-2所示：图3-125次拟合后2000年温度值图3-225次拟合后与实际温度比较图（2）1880-2002年温度变化率图像如图3-3所示图3-31880-2002年温度变化率图（3） 对2050年温度预测，运行结果如图3-4所示：图3-42050年温度预测值4 任务四4.1 问题重述 本题给出一个地区，同心圆（圆心为O）中间环带为湖水，小圆内为湖心岛，大圆外为陆地。已知小圆、大圆半径分别为R (km)，2R (km)，陆地两个城市A，B与码头C，D，E，F及O在一条直线上，且两个城市到湖边最近距离均为R (km)，现有物资从A地运往B地，陆地运费、水路运费、岛路运费分别为m、p、q （元/ kgkm），提出问题（1）对于不考虑修路与装，卸费（比如长期、大批量运输），选择怎样的运输路线才能使运费最低值是多少元？（2）当考虑修路与装，卸费，怎样选择运输路线使运费最低。4.2 问题分析 对于本题，我们需要对图形建立坐标，使运输距离的问题转化为求图像上两已知两坐标点的距离。设出两个圆上点坐标分别为M（），N。设小圆半径为，则点坐标为，点坐标为。由于运输路线上下是对称的，M与T对称，N与H对称，所以，只需求出轴以上的运输路线即可。本题可以使用LINGO软件，做非线性规划，对于问题（1）而言，只要给出，就可确定，使得所选路线运费最少。对于问题(2)而言，只要给出,则也可确定一条最佳路线。4.3 模型建立如问题分析，对图像建立坐标轴，以为坐标原点，横向为轴，纵向为轴。则点坐标为，点坐标为，分别在大圆与小圆的第一象限各设一点，它们关于轴的对称点分别为。则对于给定的条件可以确定一条路线使运费最小。（1）我们设运量为。由此，根据已知条件我们由题设求最小运费条件可以确定其模型的目标函数为: （1）（2）对于修路费，装卸费z，运输量。将这些条件添加到目标函数中得到新的目标函数： （2）4.4 程序与说明4.4.1 程序（1） 不考虑修路与装，卸费（比如长期、大批量运输），用LINGO软件选择路线的程序（示例，的情况）：model:min=2*(5*(x12+(3*10-y1)2)0.5+18*(x1-x2)2+(y1-y2)2)0.5+14*y2);x12+y12=400;x22+y22=100;x1=0;y1=0;x2=0;y2=0;End（2）修路费s（元/km）,装卸费z（元/ kgkm）,货物总运量M kg，对于问题1，则有程序（示例，的情况）：model:min=2*7*(5*16*(x12+(3*10-y1)2)0.5+18*(x1-x2)2+(y1-y2)2)0.5+14*16*y2+2*19);x12+y12=400;x22+y22=100;x1=0;y1=0;x2=0;y2=0;end4.4.2 程序说明（1）按照LINGO软件的编程格式，开始要写“MODEL：”，结尾要写“END”随后写目标函数和约束条件，对于具体目标函数和约束条件，模型建立中已经给出。对于运行结果，可以看出，程序输出的是最佳的，确定最佳运输路线使运费最小。（2）此程序在程序（1）的基础上，添加了约束条件，即修路费s（元/km）,装卸费z（元/ kgkm）,货物总运量M kg，如果对于以上变量赋予确定的值，则定能求出最佳路线，结果输出方式与上同。4.5 结果（1）程序（1）运行结果如图4-1所示图4-1不考虑修路与装，卸费最佳运输方式（2）程序（2）运行结果如图4-2所示：图4-2考虑修路与装，卸费后对于给定条件最佳运输方式4.6 模型优缺点分析优点：本题将题目抽象出来，进行简化，建立数学模型。使模型解法简单，方便易用。对于给定运输条件，都能确定出很好的运输路线，使运输成本降到最低。缺点：对于本题所建的数学模型，有一定的局限性，本题路线必须要经过水路运输，而少考虑了直接靠陆运运输的条件。对于本模型所拥有的缺陷，有待于日后仔细斟酌。参考文献1 董霖. MATLAB使用详解. 北京：电子工业出版社，2009:33-362 王正东. 数学软件与数学实验. 北京：科学出版社，2004:69-843 刘玉琏. 数学分析讲义(上册). 北京：高等教育出版社，2008:88-96课程设计说明书（论文）格式1、 标题：黑体小二号字居中；2、 作者、 单位：在标题的下面居中；3、 目录：4、 内容提要（摘要）：在正文的上面；5、 关键词；在内容提要（摘要）下面（黑体）词间用“；”分开；6、 正文：（1） 绪论 （2）本论（程序） （3）设计图纸 （4）结论 ；注：由于专业和学科及设计要求不同，正文的内容可适当调整或补充。7、 参考文献（或附注）； 8、完稿日期纸张与页面设置；1、 A4纸，纵向单面打印。2、 页边距；上2.8cm 下2.4cm 左边距2.5cm 右边距2cm3、 页眉（上写课设题目） 页脚（下写索引来源）；用五字号字体：未注明的字体为宋体、选小四号字， 各标题选黑体；页码：在所翻页的外侧下角；装订：左侧注：教师批改需用红色笔书写评语或标记符号。27