小波变换及分析原理

小波分析原理1.1 小波变换及小波函数的多样性小波是函数空间中满足下述条件的一个函数或者信号：式中，表示非零实数全体，是的傅里叶变换，成为小波母函数。 对于实数对，参数为非零实数，函数称为由小波母函数生成的依赖于参数对的连续小波函数，简称小波。其中：称为伸缩因子；称为平移因子。对信号的连续小波变换则定义为其逆变换（回复信号或重构信号）为 信号的离散小波变换定义为 其逆变换（恢复信号或重构信号）为其中，是一个与信号无关的常数。显然小波函数具有多样性。在MATLAB小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr小波，Daubecheies（dbN）小波系，Symlets（symN）小波系，ReverseBior（rbio）小波系，Meyer（meyer）小波，Dmeyer（dmey）小波，Morlet(morl)小波，Complex Gaussian(cgau)小波系，Complex morlet(cmor)小波系，Lemarie（lem）小波系等。实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。1.2 小波的多尺度分解与重构1988年Mallat在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分析树形结构如图1所示，即任何函数都可以根据分辨率为的的低频部分（近似部分）和分辨率为下的高频部分（细节部分）完全重构。多尺度分析时只对低频部分作进一步分解，而高频部分则不予考虑，分解具有关系：其中代表信号，代表低频近似部分，代表高频细节部分，代表分解层数。对信号采样后，可得到在一个大的有限频带中的一个信号，对这个信号进行小波多尺度分解，其实质就是把采到的信号分成两个信号，即高频部分和低频部分，而低频部分通常包含了信号的主要信息，高频部分则与噪音及扰动联系在一起。根据分析的需要，可以继续对所得到的低频部分进行分解，如此又得到了更低频部分的信号和频率相对较高部分的信号。信号分解的层数不是任意的，对于长度为德信号最多恩给你分成层。实际应用中，课根据实际需要选择合适的分解层数。第9章 小波变换基础9.1 小波变换的定义给定一个基本函数，令 （9.1.1）式中均为常数，且。显然，是基本函数先作移位再作伸缩以后得到的。若不断地变化，我们可得到一族函数。给定平方可积的信号，即，则的小波变换（Wavelet Transform，WT）定义为 （9.1.2）式中和均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从到。信号的小波变换是和的函数，是时移，是尺度因子。又称为基本小波，或母小波。是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（9.1.2）式的又可解释为信号和一族小波基的内积。母小波可以是实函数，也可以是复函数。若是实信号，也是实的，则也是实的，反之，为复函数。在（9.1.1）式中，的作用是确定对分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子的作用是把基本小波作伸缩。我们在1.1节中已指出，由变成，当时，若越大，则的时域支撑范围（即时域宽度）较之变得越大，反之，当时，越小，则的宽度越窄。这样，和联合越来确定了对分析的中心位置及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。图9.1.1 基本小波的伸缩及参数和对分析范围的控制(a)基本小波，（b）， ,(c) 不变，, (d)分析范围这样，（9.1.2）式的WT可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。（9.1.1）式中的因子是为了保证在不同的尺度时，始终能和母函数有着相同的能量，即 令，则，这样，上式的积分即等于。令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的性质，的傅里叶变换为： （9.1.3）由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表为： （9.1.4）此式即为小波变换的频域表达式。9.2 小波变换的特点下面，我们从小波变换的恒Q性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。比较（9.1.2）和（9.1.4）式对小波变换的两个定义可以看出，如果在时域是有限支撑的，那么它和作内积后将保证在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使反映的是在附近的性质。同样，若具有带通性质，即围绕着中心频率是有限支撑的，那么和作内积后也将反映在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。显然，这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波，使其在时域和频域都是有限支撑的。有关小波的种类及小波设计的问题，我们将在后续章节中详细讨论。由1.3节可知，若的时间中心是，时宽是，的频率中心是，带宽是，那么的时间中心仍是，但时宽变成，的频谱的频率中心变为，带宽变成。这样，的时宽带宽积仍是，与无关。这一方面说明小波变换的时频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒Q性质。定义 =带宽/中心频率 (9.1.5)为母小波的品质因数，对，其 带宽/中心频率=因此，不论为何值，始终保持了和具有性同的品质因数。恒Q性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重要原因。图9.2.1说明了和的带宽及中心频率随变化的情况。图9.2.1 随变化的说明；(a) ，(b) ，(c) 将图9.1.1和图9.1.2结合起来，我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点：当变小时，对的时域观察范围变窄，但对在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动，如图9.2.1c所示。反之，当变大时，对的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动，如图9.2.1b所示。将图9.1.1和9.2.1所反映的时频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图9.2.2所示。0图9.2.2 a取不同值时小波变换对信号分析的时频区间由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图9.2.2中三个时、频分析区间（即三个矩形）的面积保持不变。由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口。该分析窗口在高频端（图中处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中处），频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的值下，图9.2.2中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的需要作出调整。众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。总结上述小波变换的特点可知，当我们用较小的对信号作高频分析时，我们实际上是用高频小波对信号作细致观察，当我们用较大的对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。如上面所述，小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。现在我们来讨论一下小波变换和前面几章所讨论过的其它信号分析方法的区别。我们知道，傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频域有着最佳的定位功能（频域的函数），但在时域所对应的范围是，完全不具备定位功能。这是FT的一个严重的缺点。人们希望用短时傅里叶变换来弥补FT的不足。重写（2.1.1）式，即 (9.2.6)由于该式中只有窗函数的位移而无时间的伸缩，因此，位移量的大小不会改变复指数的频率。同理，当复指数由变成（即频率发生变化）时，这一变化也不会影响窗函数。这样，当复指数的频率变化时，STFT的基函数的包络不会改变，改变的只是该包络下的频率成份。这样，当由变化成时，对分析的中心频率改变，但分析的频率范围不变，也即带宽不变。因此，STFT不具备恒Q性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力，如图9.2.3所示。图中.200/20u图9.2.3 STFT的时频分析区间(a) ，(b) 是的FT，是的FT， (c)在不同的和处，时宽、带宽均保持不变我们在第六至第八章所讨论的M通道最大抽取滤波器组是将分成M个子带信号，每一个子带信号需有相同的带宽，即，其中心频率依次为, （注：若是DFT滤波器组，则中心频率在, ），且这M个子带信号有着相同的时间长度。在小波变换中，我们是通过调节参数来得到不同的分析时宽和带宽，但它不需要保证在改变时使所得到的时域子信号有着相同的时宽或带宽。这是小波变换和均匀滤波器组的不同之处。但小波变换和7.9节讨论过的树状滤波器组在对信号的分析方式上极其相似。由后面的讨论可知，离散小波变换是通过“多分辨率分析”来实现的，而“多分辨率分析”最终是由两通道滤波器组来实现的。由（9.1.1）式，定义 (9.2.7)为信号的“尺度图（scalogram）”。它也是一种能量分布，但它是随位移和尺度的能量分布，而不是简单的随的能量分布，即我们在第二章至第四章所讨论的时频分布。但由于尺度间接对应频率（小对应高频，大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种时频分布。综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换是八十年代后期发展起来的应用数学分支。法国数学家Y.Meyer，地质物理学家J.Morlet和理论物理学家A.Grossman对小波理论作出了突出的贡献。法国学者I.Daubechies和S.Mallat在将小波理论引入工程应用，特别是信号处理领域起到了重要的作用。人们称这些人为“法国学派”。在小波理论中一些有影响的教科书如文献3,5,8,16等，一些有影响的论文如文献42,43,51,52,53,87,88,105,116等。国内从工程应用的目的较为全面地介绍小波理论的著作见文献21，结合MATLAB介绍小波理论的著作见文献18.9.3 连续小波变换的计算性质1时移性质若的CWT是，那么的CWT是。该结论极易证明。记，则 （9.3.1）2 尺度转换性质如果的CWT是，令，则 （9.3.2）证明： ，令，则 该性质指出，当信号的时间轴按作伸缩时，其小波变换在和两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变换优点的又一体现。3 微分性质如果的CWT是，令，则 （9.3.3）证明： 由（9.3.1）式的移位性质，有 即 4 两个信号卷积的CWT，令的CWT分别是及，并令，则 （9.3.4）式中符号表示对变量作卷积。证明： 再由（9.3.1）式的移位性质，有 同理， 于是（9.3.4）式得证。5 两个信号和的CWT令的CWT分别是，且，则 （9.3.5a）同理，如果，则 （9.3.5b）（9.3.5）式说明两个信号和的CWT等于各自CWT的和，也即小波变换满足叠加原理。看到WT的这一性质，估计读者马上会想到WVD中的交叉项问题。由（9.3.5）式看来，似乎小波变换不存在交叉项。但实际上并非如此。（9.1.2）式所定义的CWT是“线性”变换，即只在式中出现一次，而在（3.1.2）式的WVD表达式中出现了两次，即，所以，我们称以Wigner分布为代表的一类时频分布为“双线性变换”。正因为如此，是信号能量的分布。与之相对比，小波变换的结果不是能量分布。但小波变换的幅平方，即（9.2.7）式的尺度图则是信号能量的一种分布。将代入(9.2.7)式，可得： (9.3.6)式中分别是和的幅角。证明： 由于后两项互为共轭，因此必有（9.3.6）式.（9.3.6）式表明在尺度图中同样也有交叉项存在，但该交叉项的行为和WVD中的交叉项稍有不同。我们在3.5节中已指出，WVD的交叉项位于两个自项的中间，即位于处，分别是两个自项的时频中心。由（9.3.3）式可以得出，尺度图中的交叉项出现在和同时不为零的区域，也即是真正相互交叠的区域中，这和WVD有着明显的区别。可以证明【钱，书】，同一信号的WVD和其尺度图有如下关系： （9.3.7）式中是母小波的WVD，该式揭示了WVD和WT之间的关系，这说明cohen类的时频分布和小波变换有着非常密切的内在联系。6 小波变换的内积定理定理9.1 设和，的小波变换分别是和，则 （9.3.8）式中 （9.3.9）为的傅里叶变换。证明：由（9.1.4）式关于小波变换的频域定义，（9.3.8）式的左边有： 假定积分 存在，再由Parseval定理，上述的推导最后为 于是定理得证。（9.3.8）式实际上可看作是小波变换的Parseval定理。该式又可写成更简单的形式,即 (9.3.10)进一步，如果令，由（9.3.8）式，有 (9.3.11)该式更清楚地说明，小波变换的幅平方在尺度位移平面上的加权积分等于信号在时域的总能量，因此，小波变换的幅平方可看作是信号能量时频分布的一种表示形式。（9.3.8）和（9.3.11）式中对的积分是从，这是因为我们假定总为正值。这两个式子中出现的是由于定义小波变换时在分母中出现了，而式中又要对作积分所引入的。读者都熟知傅里叶变换中的Parseval定理，即时域中的能量等于频域中的能量。但小波变换的Parseval定理稍为复杂，它不但要有常数加权，而且以的存在为条件。9.4小波反变换及小波容许条件下述定理给出了连续小波反变换的公式及反变换存在的条件。定理9.2 设，记为的傅里叶变换，若 则可由其小波变换来恢复，即 (9.4.1)证明：设，,则 将它们分别代入（9.3.8）式的两边，再令，于是有 于是定理得证。在定理9.1和定理9.2中，结论的成立都是以为前提条件的。（9.3.9）式又称为“容许条件（admissibility condition）。该容许条件含有多层的意思：1. 并不是时域的任一函数都可以充当小波。其可以作为小波的必要条件 是其傅里叶变换满足该容许条件；2. 由（9.3.9）式可知，若，则必有，否则必趋于无穷。这等效地告诉我们，小波函数必然是带通函数；3. 由于，因此必有 (9.4.2)这一结论指出，的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。以上三条给我们勾画出了作为小波的函数所应具有的大致特征，即是一带通函数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时频定位的角度，我们总希望是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波（wavelet）的原因。2. 由上述讨论，自然应和一般的窗函数一样满足： （9.4.3）3. 由后面的讨论可知，尺度常按来离散化，.由（9.1.3）式，对应的傅里叶变换，由于我们需要在不同的尺度下对信号进行分析，同时也需要在该尺度下由来重建，因此要求是有界的，当由时，应有 (9.4.4)式中。该式称为小波变换的稳定性条件，它是在频域对小波函数提出的又一要求。满足（9.4.4）式的小波称作“二进（dyadic）”小波。9.5重建核与重建核方程我们在上一节指出，并不是时域任一函数都可以用作小波。可以作为小波的函数至少要满足（9.3.9）式的容许条件。与此结论相类似，并不是平面上的任一二维函数都对应某一函数的小波变换。如果是某一时域信号，如的小波变换，它应满足一定的条件，此即本节要讨论的内容。定理9.3 设是平面上的任一点，上的二维函数欲是某一函数的小波变换的充要条件是它必须满足如下的重建核方程，即 （9.5.1）式中是在处的值， （9.5.2）称为重建核。证明：由（9.1.2）式小波变换的定义，有 将（9.4.1）式代入该式，有 此即（9.5.1）和（9.5.2）式。（9.5.1）式的重建核方程和（9.5.2）式的重建核公式说明，若是的小波变换，那么在平面上某一点处小波变换的值可由半平面上的值来表示，也即，是半平面上的总贡献。既然平面上各点的可由（9.5.1）式互相表示，因此这些点上的值是相关的，也即（9.4.1）式对的重建是存在信息冗余的。这一结论告诉我们可以用平面上离散栅格上的来重建，以消除重建过程中的信息冗余。在第二章中已指出，当用的短时傅里叶变换来重建时，平面上的信息也是有冗余的，即平面上各点的是相关的，因此引出了离散栅格上的STFT，如（2.2.6）式，进一步的发展即是信号的Gabor展开与Gabor变换。由此可以得出，将一个一维的函数映射为一个二维函数后，在二维平面上往往会存在信息的冗余，由此引出了二维函数的离散化问题及标架理论。有关离散小波变换及小波标架的内容将在本章的最后两节来讨论。重建核是小波和处的小波的内积，因此反映了和的相关性。若，即两个小波重合时，取最大值；若远离，则将迅速减小。若能保证，则平面上各点小波变换的值将互不相关。这等效地要求对任意的尺度及位移，由母小波形成的一族是两两正交的。可以想象，若连续取值，要想找到这样的母小波使两两正交，那将是非常困难地。因此，连续小波变换的必然存在信息冗余。然而，当离散取值时，则有可能得到一族正交小波基。9.6小波的分类由前两节的讨论可知，作为一个小波的函数，它一定要满足容许条件，在时域一定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，当然，若时域越窄，其频域必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面我们往往只能取一个折中。此外，我们希望由母小波形成的是两两正交的，或是双正交的；进一步，我们希望有高阶的消失矩，希望与相关的滤波器具有线性相位，等等。我们可以根据上述要求对现已提出的大量的小波函数作一粗略地分类。在下面的分类中，第一类是所谓地“经典小波”，在MATLAB中把它们称作“原始（Crude）小波”。这是一批在小波发展历史上比较有名的小波；第二类是Daubecheis构造的正交小波，第三类是由Cohen，Daubechies构造的双正交小波。9.6.1经典类小波1. Haar小波Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是： （9.6.1）其波形如图9.6.1（a）所示。的傅里叶变换是： （9.6.2） Haar小波有很多好的优点，如：（1） Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）；（2） 若取，那么Haar小波不但在其整数位移处是正交的，即，而且在取不同值时也是两两正交的，即如图9.6.1(b)和(c)所示。所以Haar小波属正交小波；（3） Haar波是对称的。我们知道，离统的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波；（4）Haar小波仅取1和1，因此计算简单。但Haar小波是不连续小波，由于，因此在处只有一阶零点，这就使得Haar小波在实际的信号分析与处理中受到了限制。但由于Haar小波有上述的多个优点，因此在教科书与论文中常被用作范例来讨论。图9.6.1 Harr小波， (a) ，(b) ，(c) 2.Morlet小波Morlet小波定义为 (9.6.3)其傅里叶变换 （9.6.4） 它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分析的信号一般是实信号，所以在MATLAB中将（9.6.3）式改造为： （9.6.5）并取 。该小波不是紧支撑的，理论上讲可取。但是当，或再取更大的值时，和在时域和频域都具有很好的集中，如图9.6.2所示。Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。 图9.6.2 Morlet小波， (a)时域波形， (b)频谱3 .Mexican hat小波该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr小波。它定义为 (9.6.6) 式中，其傅里叶变换为 (9.6.7)该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。其波形和其频谱如图9.6.3所示。该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换。由于该小波在处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征，因此它在1983年即被用于计算机视觉中的图像边缘检测131,75。 图9.6.3 墨西哥草帽小波， (a)时域波形， (b)频谱4Gaussian小波高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为： ， (9.6.8)式中定标常数是保证。该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当取偶数时正对称，当取奇数时，反对称。图9.6.4给出了时的的时域波形及对应的频谱。 图9.6.4 高斯小波，取， (a)时域波形， (b)频谱9.6.2 正交小波 目前提出的正交小波大致可分为四种，即Daubechies小波，对称小波，Coiflets小波和Meyer小波。这些正交小波和前面所讨论的“经典小波”不同，它们一般不能由一个简洁的表达式给出，而是通过一个叫做“尺度函数（Scalling function）”的的加权组合来产生的。尺度函数是小波变换的又一个重要概念。由下一章的讨论可知，小波函数，尺度函数同时和一个低通滤波器及高通滤波器相关连，和可构成一个两通道的分析滤波器组。这些内容构成了小波变换的多分辨率分析的理论基础。因此，在讨论正交小波时，同时涉及到尺度函数，分析滤波器组，及综合滤波器组，。MATLAB中的Wavelet Toolbox中有相关的软件来产生各类正交小波及其相应的滤波器。1Daubechies小波 Daubechies小波简称db小波。它是由法国女学者Ingrid Dauechies于90年代初提出并构造的。Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度取2的整数次幂时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作Ten Lectures on Wavelet（小波十讲）深受同行们的欢迎。 dbN中的表示db小波的阶次，.当时，db1即是Haar小波。因此，前述的Haar小波应归于“正交小波”类。Daubechies计算出了时的及。在MATLAB5.3中，的阶次还可以扩展。db小波是正交小波，当然也是双正交小波，并是紧支撑的。的支撑范围在，的支撑范围在。小波具有阶消失矩，在处具有阶零点。但db小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）。图9.6.5给出了时，及，的波形。有关db小波的构造等更多内容见第十一章。2. 对称小波 对称小波简记为symN，它是db小波的改进，也是由Daubechies提出并构造的。它除了有db小波的特点外，主要是是接近对称的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。图9.6.6是时的对称小波。3. Coiflets小波该小波简记为coifN，.在db小波中，Daubechies小波仅考虑了使小波函数具有消失矩（阶），而没考虑尺度函数。R.Coifman于1989年向Daubechies提出建议，希望能构造出使也具有高阶消失矩的正交紧支撑小波。Daubechies接受了这一建议，构造出了这一类小波，并以Coifman的名字命名。coifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为，也是接近对称的。的消失矩是，的消失矩是。图9.6.7是时的coif4小波。 图9.6.5 时db小波， (a) ，(b) ，(c) ，(d) 图9.6.6 时的对称小波，(a) ，(b) 图9.6.7时的Coiflets小波，(a) ，(b) 4Meyer小波Meyer小波简记为meyr，它是由Meyer于1986年提出的【】。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜像滤波器组的频谱来定义的，详细内容见第十一章。Meyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在8，8之间。该小波是对称的，且有着非常好的规则性。图9.6.8给出了Meyer小波的尺度函数和小波函数。 图9.6.8 Meyer小波，(a) ，(b) 9.6.3 双正交小波我们在第七章已指出，两通道正交镜像滤波器组具有仿酋性质。满足这一条件的分析滤波器和是功率对称的，且和之间有着（7.4.11）和（7.4.12）式的正交性，再是，和有着同样的长度，都不是线性相位的。为了取得线性相位的滤波器组，我们需放弃的功率互补性质。这也就放弃了和之间的正交性，代之的是双正交关系。 由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。因此，正交小波条件下的，和与都不具有线性相位（Haar小波除外）。为此，Daubechies和Cohen提出并构造了双正交小波【】，其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位的小波及相应的滤波器组。双正交滤波器组简称biorNr,Nd，其中是低通重建滤波器的阶次，是低通分解滤波器的阶次。在MATLAB中，和的可能组合是： =1, =1,3,5=2, =2,4,6,8=3, =1,3,5,7,9=4, =4=5, =5=6, =8这一类小波自然不是正交的，但它们是双正交的，是紧支撑的，更主要的是它们是对称的，因此具有线性相位。分解小波的消失矩为。图9.6.9给出的bior3.7的分解小波、尺度函数及重建小波和尺度函数。图9.6.9 双正交小波bior3.7 (a) 分解尺度函数，(b) 分解小波，(c)重建尺度函数， (d)重建小波9.7连续小波变换的计算在（9.1.2）式关于小波变换的定义中，变量，和都是连续的，当我们在计算机上实现一个信号的小波变换时，和均应离散化。对离散化最常用的方法是取，并取，这样。对于按2的整次幂取值所得到的小波习惯上称之为“二进（dyadic）”小波。对这一类小波的小波变换，我们可用第十章的有关离散小波变换的方法来实现。然而取，在实际工作中有时显得尺度跳跃太大。当希望任意取值，也即在的范围内任意取值时，这时的小波变换即是连续小波变换。计算（9.1.2）式的最简单的方法是用数值积分的方法，即，令 (9.7.1)由于在的区间内，所以上式又可写为： (9.7.2)由该式可以看出，小波变换可看作是和的卷积后的累加所得到的结果，卷积的中间变量是，卷积后的变量为及。MATLAB中的cwt.m即是按此思路来实现的。具体过程大致如下：1. 先由指定的小波名称得到母小波及其时间轴上的刻度，假定刻度长为；2. 从时间轴坐标的起点开始求积分，；2. 由尺度确定对上述积分值选择的步长，越大，上述积分值被选中的越多；3. 求和所选中的积分值序列的卷积，然后再作差分，即完成（9.7.2）式。本方法的不足之处是在变化时，（9.7.2）式中括号内的积分、差分后的点数不同，也即和卷积后的点数不同。解决的方法是在不同的尺度下对作插值，使其在不同的尺度下，在其有效支撑范围内的点数始终相同。有关CWT快速计算的方法还可借助于CZT及梅林变换等方法，详细内容见文献21，此处不再讨论。例9.7.1令为一正弦加噪声信号，它取自MATLAB中的noissin.mat。对该信号作CWT，分别等于2和128，时，小波变换的结果对应信号中的高频成份，时，小波变换对应信号中的低频成份。其原始信号及变换结果见图9.7.1(a)，(b)和（c）。例9.7.2 仍然使用例9.7.1的信号“noissin”，对其作CWT时分别取10，30，60，90，120及150。所得到的图9.7.2是在各个尺度下的小波系数的灰度图。颜色越深，说明在该尺度及该位移（水平轴）处的小波系数越大。此例旨在说明对小波变换的结果具有不同的表示方式。 图9.7.1 信号“noissin”的小波变换，(a)原信号，(b)，(c) 图9.7.2 多尺度下小波变换的灰度表示9.8尺度离散化的小波变换及小波标架我们在（9.1.2）式定义了信号的连续小波变换，式中，和都是连续变量。为了在计算机上有效地实现小波变换，自然应取离散值，和也应取离散值。从减少信息冗余的角度，和也没有必要连续取值。和形成了一个二维的“尺度位移”平面。前已述及，越大，对应的频率越低，反之，对应的频率越高。因此，平面也可视为“时频平面”。对同一个信号，我们已给出过不同的表示形式，如STFT，Gabor变换，WVD及本章的小波变换。 现重写几个有关的公式，即 (9.8.1) (9.8.2) (9.8.3) (9.8.4)其中（9.8.2）式是用时频平面离散栅格上的点来表示，即Gabor展开，（9.8.3）式是具有双线性变换的表示形式，它和其它三种表示形式有较大的区别。（9.8.1）和（9.8.4）式说明同一信号在时频平面上具有不同的表示形式。在第二章已指出，（9.8.1）式的反变换是有信息冗余的，即不需要的所有的值即可恢复。同理，（9.8.4）式的小波变换也存在着信息冗余。在这两个式子中，我们只需取时频平面上的离散栅格处的点即可。问题的关键是如何决定和抽样的步长以保证对的准确重建。下面，我们首先考虑尺度的离散化，然后再考虑和的同时离散化。9.8.1尺度离散化的小波变换目前通用的对离散化的方法是按幂级数的形式逐步加大，即令。若取，则 (9.8.5)称为“半离散化二进小波”，而 (9.8.6)称为二进小波变换。设母小波的中心频率为，带宽为，当时，的中心频率变为，带宽。若时，的中心频率和带宽分别是：，。从对信号作频域分析的角度，我们希望当由变成时，和在频域对应的分析窗和能够相连接。这样，当由变至无穷时，的傅里叶变换可以覆盖整个轴。显然，若令母小波的，则上面两个频域窗首尾相连，即 和首尾相连。通过对母小波作合适的调制，可以方便地做到。现在，我们来讨论如何由（9.8.6）式的来恢复，设是的对偶小波，并令和取类似的形式，即 (9.8.7)这样，通过对偶小波，我们希望能重建： (9.8.8)为了寻找和应满足的关系，现对上式作如下改变： 式中代表求傅里叶变换。由（9.1.3）和（9.1.4）式，有 (9.8.9)显然，若 (9.8.10)则（9.8.9）式的右边变成的傅里叶反变换，自然就是。9.4节已指出，对于满足容许条件的小波，当时，其二进制小波对应的傅里叶变换应满足（9.4.4）式的稳定性条件。这样，结合（9.4.4）和（9.8.10）式，我们可由下式得到对偶小波: (9.8.11)由于（9.8.11）式的分母满足（9.4.4）式，因此有 (9.8.12)这样，对偶小波也满足稳定性条件，也即，我们总可以找到一个“稳定的”对偶小波由（9.8.8）式重建出。下面的定理更完整地回答了在半离散二进小波变换情况下的重建问题。定理9.4 如果存在常数，使得 (9.8.13)则 (9.8.14)如果满足 (9.8.15)则 (9.8.16)该定理指出，若的傅里叶变换满足稳定性条件，则在上的小波变换的幅平方的和是有界的。进而，和的傅里叶变换若满足（9.8.15）式（也即（9.8.10）式），则可由（9.8.16）式重建。总之，若满足容许条件，且再满足稳定性条件，由二进小波变换总可以重建，也即一个满足稳定性条件的对偶小波总是存在的。但是，满足稳定性条件的对偶小波不一定是唯一的。如何构造“好”的小波及得到唯一的对偶小波是小波理论中的重要内容。我们将再第十一章详细讨论。文献10证明了若（9.8.13）式的稳定性条件满足，则（9.3.9）式的容许条件必定满足，且 (9.8.17)从而，由连续小波变换总可以恢复，也即（9.4.1）式总是成立。以上讨论的是仅对作二进制离散化的情况，现在考虑和同时离散化的相应理论问题。9.8.2离散栅格上的小波变换令，我们可实现对的离散化。若，则。欲对离散化，最简单的方法是将均匀抽样，如令，的选择应保证能由来恢复出。当时，将由变成时，即是将扩大了倍，这时小波的中心频率比的中心频率下降了倍，带宽也下降了倍。因此，这时对抽样的间隔也可相应地扩大倍。由此可以看出，当尺度分别取时，对的抽样间隔可以取，这样，对和离散化后的结果是： (9.8.18)对给定的信号，（9.1.2）式的连续小波变换可变成如下离散栅格上的小波变换，即 (9.8.19)此式称为“离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）”。注意式中仍是连续变量。这样，平面上离散栅格的取点如图9.8.1所示。图中取，尺度轴取以2为底的对数坐标。由该图可看出小波分析的“变焦距”作用，即在不同的尺度下（也即不同的频率范围内），对时域的分析点数是不相同的。 图9.8.1 DWT取值的离散栅格记，我们可以仿照傅里叶级数和Gabor展开那样来重建，即 (9.8.20)该式称为小波级数，称为小波系数，是的对偶函数，或对偶小波。我们知道，对任一周期信号，若周期为，且，则可展成傅里叶级数，即 (9.8.21a)式中是的傅里叶系数，它由下式求出： (9.8.21b) 小波级数和傅里叶级数形式上类似，但其物理概念却有着明显的不同：（1） 傅里叶级数的基函数，是一组正交基，即。而小波级数所用的一族函数不一定是正交基，甚至不一定是一组“基”；（2） 对傅里叶级数来说，基函数是固定的，且分析和重建的基函数是一样的，即都是（差一负号）；对小波级数来说，分析所用的函数是可变的，且分析和重建所用的函数是不相同的，即分析时是，而重建时是；（3） 在傅里叶级数中，时域和频域的分辨率是固定不变的，而小波级数在轴上的离散化是不等距的，这正体现了小波变换“变焦”和“恒Q”性的特点。将（9.1.2）式的连续小波变换改变成（9.8.19）式的离散小波变换，人们自然会问：（1） 一族小波函数，在空间上是否是完备的？所谓完备，是指对任一，它都可以由这一组函数（即）来表示；（2） 如果是完备的，那么对的表示是否有信息的冗余？（3） 如果是完备的，那么对和的抽样间隔如何选取才能保证对的表示不存在信息的冗余？Daubechies对上述问题进行了深入的研究，给出了“小波标架”的理论5，现介绍一下其中主要的结论。9.8.3小波标架理论介绍我们在1.8节给出了标架的基本理论，其要点是：1. 若是Hilbert空间中的一组向量，对给定的，若存在常数，满足 (9.8.22)则构成了一个标架；2. 若，则称为紧标架，若，则构成一正交基；3. 定义标架算子为