资源描述
一、单选题1如图，RtABC中，ACB=90，CD平分ACB交AB于点D，按下列步骤作图：步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；步骤3：连接DE，DF若AC=4，BC=2，则线段DE的长为A B C D【答案】D【关键点拨】本题主要考查了角平分线，垂直平分线，相似三角形的性质，解题的关键是证明DECB.2如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（ ）A BC D【答案】D3如图，正ABC的边长为2，过点B的直线lAB，且ABC与ABC关于直线l对称，D为线段BC上一动点，则ADCD的最小值是（ ）A4 B3 C2 D2【答案】A【解析】连接CC，连接AC交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示ABC与ABC为正三角形，ABC=A/=60，A/B/=BC=A/C/，A/C/BC，四边形A/BCC/为菱形，点C关于BC/对称的点是A/，当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，此时AD+CD=2+2=4.故选A. 【关键点拨】本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质，找出点C关于BC/对称的点是A/是解题的关键.4如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90至图位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90至图位置，以此类推，这样连续旋转2017次若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）A2017 B2034 C3024 D3026【答案】D5如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A B C D【答案】A【解析】过点F作FGAB于点G，【关键点拨】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出CEF=CFE6如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AEBD，垂足为F，则tanBDE的值是（）A B C D【答案】A【解析】四边形ABCD是矩形，AD=BC，ADBC，点E是边BC的中点，BE=BC=AD，BEFDAF，EF=AF，EF=AE，点E是边BC的中点，由矩形的对称性得：AE=DE，EF=DE，设EF=x，则DE=3x，DF=x，tanBDE= .故选A【关键点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键7如图，四边形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E若DE=3，则AD的长为（）A5 B4 C3 D2【答案】D【解析】如图：连接BE，在RtABC中，AB5，BC10，AC5，【关键点拨】考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键8如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由位置滚动到位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（）A240 B360 C480 D540【答案】C【解析】由题意可得：第一次AO顺时针转动了120，第二次AO顺时针转动了240，第三次AO顺时针转动了120，故当由位置滚动到位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是：120+240+120=480故选C9如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）A B C D【答案】BOF=FHOH=2=，AEFO，AMEFMO，=，AM=AF=，ADBF，ANDFNB，=，AN=AF=，MN=ANAM=，故选B【关键点拨】构造相似三角形是本题的关键，且求长度问题一般需用到勾股定理来解决，常作垂线10如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A、E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：LKB=22.5，GEAB，tanCGF=，SCGE：SCAB=1：4其中正确的是（）A B C D【答案】A故正确；LAO=GAO，AOL=AOG=90，ALO=AGO，CGF=AGO，BLK=ALO，CGF=BLK，在RtBKL中，tanCGF=tanBLK=，故正确；连接EL，AL=AG=EG，EGAB，四边形ALEG是菱形，AL=EL=EGBL，EGAB，CEGCBA，故不正确；本题正确的是：，故选A【关键点拨】本题考查了基本作图：角平分线和线段的垂直平分线，三角形相似的性质和判定，菱形的性质和判定，三角函数，正方形的性质，熟练掌握基本作图是关键，在正方形中由于性质比较多，要熟记各个性质并能运用；是中考常考的选择题的压轴题11如图，等边三角形的边长为4,点是的中心，.绕点旋转,分别交线段于两点，连接,给出下列四个结论:;四边形的面积始终等于;周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( )A1 B2 C3 D4【答案】C当D与B重合时，E与C重合，此时BDE的面积=0，ODE的面积0，两者不相等，故错误；O为中心，OHBC，BH=HC=2OBH=30，OH=BH=，OBC的面积=OBDOCE，四边形ODBE的面积=OBC的面积=，故正确；过D作DIBC于I设BD=x，则BI=，DI=BD=EC，BC=4，BE=4x，IE=BE-BI=在RtDIE中，DE= = =，当x=2时，DE的值最小为2，BDE的周长=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE，当DE最小时，BDE的周长最小，BDE的周长的最小值=4+2=6故正确故选C 【关键点拨】本题是几何变换-旋转综合题考查了等边三角形的性质以及二次函数的性质解题的关键是证明OBDOCE12如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，于点，连分别交，于点，过点作交于点，则下列结论：；.其中正确结论的个数为（）A5 B4 C3 D2【答案】BCAD是等腰三角形，且顶角CAD=150，ADC=15，故正确；AEBD，即AED=90，DAE=45，AFG=ADC+DAE=60，FAG=45，AGF=75，由AFGAGF知AFAG，故错误；记AH与CD的交点为P，在RtAPF中，设PF=x，则AF=2x、AP=x，设EF=a，ADFBAH，【关键点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点13如图，AOB=60，点P是AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则PMN周长的最小值是（）A B C6 D3【答案】D【解析】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，BOP=BOD，AOP=AOC，PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，COD=BOP+BOD+AOP+AOC=2AOB=120，此时PMN周长最小，作OHCD于H，则CH=DH，OCH=30，OH=OC=，CH=OH=,CD=2CH=3故选D【关键点拨】本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题14如图，在矩形ABCD中，ABBC，E为CD边的中点，将ADE绕点E顺时针旋转180，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作MEAF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：AM=AD+MC；AM=DE+BM；DE2=ADCM；点N为ABM的外心其中正确的个数为（）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】BMEFF，ECMF，EC2=CMCF，又EC=DE，AD=CF，DE2=ADCM，故正确；ABM=90，AM是ABM的外接圆的直径，BMAD，当BMAD时， 1，N不是AM的中点，点N不是ABM的外心，故错误综上所述，正确的结论有2个，故选B【关键点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的距离相等15如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则ABC的面积为（）A B C D【答案】ABE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60，BPE为等边三角形，PE=PB=4，BPE=60，在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，【关键点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等16如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BEAP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CHBE于点G，交AB于点H，连接HF下列结论正确的是（）ACE= BEF= CcosCEP= DHF2=EFCF【答案】D【解析】连接四边形ABCD是正方形，CD=AB=BC=AD=2，CDAB，BEAP，CGBE，CHPA，四边形是平行四边形，CP = AH，CP=PD=1，AH=PC=1，AH=BH，在RtABE中，AH=HB，EH=HB，HCBE，BG=EG，CB=CE=2，故选项A错误，CH=CH，CB=CE，HB=HE，CBHCEH，CBH=CEH=90，HF=HF，HE=HA， RtHFERtHFA，AF=EF，设EF=AF=x，【关键点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题17如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EGBC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB=，EF=2，H=120，则DN的长为（ ）A B C D【答案】C【关键点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，翻折变换（折叠问题），正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.二、填空题18如图，已知RtABC中，B=90，A=60，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当DCM为直角三角形时，折痕MN的长为_【答案】或【解析】分两种情况：如图，当CDM=90时，CDM是直角三角形，ANM=DNM=60，AMN=60，AN=MN=；如图，当CMD=90时，CDM是直角三角形，【关键点拨】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等19如图，在RtACB中，ACB=90，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE下列结论：ACEBCD；若BCD=25，则AED=65；DE2=2CFCA；若AB=3，AD=2BD，则AF=其中正确的结论是_（填写所有正确结论的序号）【答案】ACB=90，BC=AC，B=45BCD=25，BDC=180-45-25=110，BCDACE，AEC=BDC=110，DCE=90，CD=CE，CED=45，则AED=AEC-CED=65，故正确；BCDACE，CAE=CBD=45=CEF，ECF=ACE，CEFCAE， ，CE2=CFAC，在等腰直角三角形CDE中，DE2=2CE2=2CFAC，故正确；如图，过点D作DGBC于G，BCDACE，CE=，CE2=CFAC，CF=，AF=AC-CF=3-=，故错误，故答案为：【关键点拨】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出BCDACE是解本题的关键20在ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BDCE，垂足为O若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为_cm【答案】4【解析】连接AO并延长，交BC于H，【关键点拨】重心分中线的比为2比1，这个结论很重要.填选题可直接用，解答题需证明21如图，若ABC内一点P满足PAC=PCB=PBA，则称点P为ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮已知ABC中，CA=CB，ACB=120，P为ABC的布罗卡尔点，若PA=，则PB+PC=_【答案】1+【解析】作CHAB于H【关键点拨】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题22如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC2，BD2，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为_【答案】7【解析】四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=，ABO=CBO，ACBDAO=1，BO=，tanABO=，ABO=30，AB=2，ABC=60由折叠的性质得，EFBO，OE=BE，BEF=OEF，BE=BF，EFAC，BEF是等边三角形，BEF=60，OEF=60，AEO=60，AEO是等边三角形，AE=OE，BE=AE，EF是ABC的中位线，EF=AC=1，AE=OE=1同理CF=OF=1，五边形AEFCD的周长为=1+1+1+2+2=7故答案为：723如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE=8，过点E作EFBC，分别交BD、CD于G、F两点若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为_【答案】2 解得，FG=4，FN=2，MN=62=4，QH=4，PH=PN+QM，PH=6，PQ=2，故答案为：2【关键点拨】本题考查了三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、结合图形熟练应用相关性质和定理进行解题是关键.24如图，ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH当BHD=60，AHC=90时，DH=_【答案】sinAHE=，HE=AH，AE=AHsin60=AH，CH=AH，在RtAHC中，AH2+（AH）2=AC2=（）2，解得AH=2，BE=2，HE=1，AE=CH=，BH=BEHE=21=1，在RtBFH中，HF=BH=，BF=，BFCH，CHDBFD，=2，DH=HF=，故答案为：【关键点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，解题的关键是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形25如图，在ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为_【答案】 【解析】如图，作AQBC于点Q，交DG于点P，【关键点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理26如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E若BE=，则AP的长为_【答案】 在中，故答案为：【关键点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和应用相关的性质定理是解题的关键.27如图，平面直角坐标系中是原点， 的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连接，则下列结论：是的中点；与相似；四边形的面积是；其中正确的结论是 _（填写所有正确结论的序号）【答案】，故 和 不相似，故错误；由得，点G是AB的中点， 是 的中位线， 是OB的三等分点， ， ，四边形 是梯形， ，故正确； ,故错误，综上：正确，故答案为：.【关键点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形的中位线等，正确添加辅助线是解题的关键.28如图，O为坐标原点，OAB是等腰直角三角形，OAB90，点B的坐标为，将该三角形沿轴向右平移得到，此时点的坐标为，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为_.【答案】4线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2=4故答案为：4【关键点拨】此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利用平移规律得出对应点坐标是解题关键29如图，AOB中，O=90，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了_s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切【答案】(4t)2=22+()2，解得：t=或t=，0t4，t=.故答案为：【关键点拨】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，难度较大，尤其是动点问题，给此题增加的一定的难度，很好地考查学生综合运用知识的能力.30如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，AOC=60，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75，得到四边形OABC，则点B的对应点B的坐标为_【答案】 OH=BH=OB=，点B的坐标为（，），故答案为：（，）【关键点拨】本题考查了坐标与图形变化，旋转的性质，解直角三角形等，熟知旋转前后哪些线段或角相等是解题的关键.31如图所示，已知：点A(0，0)，B（，0），C（0，1）在ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个AA1B1，第2个B1A2B2，第3个B2A3B3，则第个等边三角形的边长等于_ 【答案】依此类推，第n个等边三角形的边长等于【关键点拨】本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律32如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BGCE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_【答案】2-2【解析】如图：故答案为：-2.【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.33如图，在菱形ABCD中，是锐角，于点E，M是AB的中点，连结MD，若，则的值为_【答案】【解析】延长DM交CB的延长线于点H，或舍弃，故答案为：【关键点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键.34如图，MAN=90，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，ABC与ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交AB所在直线于点F，连接AE当AEF为直角三角形时，AB的长为_【答案】或4 【解析】当AEF为直角三角形时，存在两种情况：当AEF=90时，如图1，.ABC与ABC关于BC所在直线对称，AC=AC=4，ACB=ACB，.ADF=A=DFB=90，ABF=90，ABC与ABC关于BC所在直线对称，ABC=CBA=45，ABC是等腰直角三角形，AB=AC=4；.综上所述，AB的长为4或4；故答案为：4或4.【关键点拨】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题35如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线于点B3，按照此规律进行下去，则点An的横坐标为_【答案】【关键点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型，通过解直角三角形找出点A2、A3、An的坐标是解题的关键36如图，点 C 为 RtACB 与 RtDCE 的公共点，ACB=DCE=90，连 接 AD、BE，过点 C 作 CFAD 于点 F，延长 FC 交 BE 于点 G若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，则的值为_ 【答案】CDF=ECH，FAC=PCB，DCFCEH，ACFCBP，EH=CF，BP=CF，=，=， 故答案为：【关键点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推导是解题的关键.三、解答题37将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，（1）求GC的长；（2）如图2，将DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想（3）在（2）的条件下，将DEF沿DB方向平移得到DEF，当DE恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD的长度【答案】（1）2；（2）DM=DN；（3）【解析】（1）如图1在RtABC中，BC=2，B=60，AC=BCtan60=6，AB=2BC=4DF是线段AB的垂直平分线，AD=BD=2在RtADG中，AG4，CG=AC=AG=64=2在等边三角形 BCD中，CNBD，ND=NB又AD=BD，MD=ND（3）如图3中，作GKDE交AB由K在AGK中，AG=GK=4，A=GKD=30，作GHAB于H则AH=AGcos30=2，可得AK=2AH=4，此时K与B重合，DD=DB=2【关键点拨】本题考查了几何变换综合题、旋转变换平移变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题38如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转（090）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若=1，求的值【答案】（1）D到点D1所经过路径的长度为；（2）（负根已经舍弃）【解析】（1）作A1HAB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形（2）BCEBA2D2，CE=-1，A1C=，BH=A1C=，m2-n2=6，m4-m2n2=6n4，1-=6，（负根已经舍弃）【关键点拨】本题考查轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型39我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”.（1）概念理解:如图1,在中, ,.,试判断是否是“等高底”三角形，请说明理由.（2）问题探究:如图2, 是“等高底”三角形,是“等底”，作关于所在直线的对称图形得到,连结交直线于点.若点是的重心,求的值.（3）应用拓展: 如图3,已知,与之间的距离为2.“等高底”的“等底” 在直线上,点在直线上,有一边的长是的倍.将绕点按顺时针方向旋转得到,所在直线交于点.求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）（3）的值为,2即ABC是“等高底”三角形（2）如图2， ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，AD=BC， ABC与ABC关于直线BC对称， ADC=90 点B是AAC的重心， BC=2BD设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x ，由勾股定理得AC=x，如图4，此时ABC是等腰直角三角形， ABC绕点C按顺时针方向旋转45得到A B C， ACD是等腰直角三角形， CD=AC= 当AC=BC时，如图5，此时ABC是等腰直角三角形 ABC绕点C按顺时针方向旋转45得到A BC，ACl1，CD=AB=BC=2【关键点拨】本题是几何变换-旋转综合题考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解40再读教材:宽与长的比是 (约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图中所示的AD处，第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DEND,则图中就会出现黄金矩形，问题解决: （1）图中AB=_(保留根号); （2）如图,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由; （3）请写出图中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由. （4）结合图.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【答案】（1）；(2)见解析;(3) 见解析; (4) 见解析. （3）如图中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE AD=AN=AC=1，CD=ADAC=1 BC=2，=，矩形BCDE是黄金矩形 =，矩形MNDE是黄金矩形 （4）如图1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形 长GH=1，宽HE=3【关键点拨】本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目41如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点P为射线BD，CE的交点（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把ADE绕点A旋转，当EAC=90时，求PB的长；【答案】（1）证明见解析；（2）PB的长为或（2）解：当点E在AB上时，BE=ABAE=1EAC=90，CE=同（1）可证ADBAEC，DBA=ECAPEB=AEC，PEBAEC，PB=当点E在BA延长线上时，BE=3EAC=90，CE=同（1）可证ADBAEC，DBA=ECABEP=CEA，PEBAEC，PB=综上所述，PB的长为或【关键点拨】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得PEBAEC是解题的关键42如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90，EDF=30操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为 ，其中m的取值范围是 （直接写出结论，不必证明）探究二：若且AC=30cm，连接PQ，设EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由（2）随着S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围【答案】探究一：（1）EP=EQ；证明见解析；（2）1:2，证明见解析；（3）EP：EQ=1：m，0m2+；探究二：（1）当x=10时，面积最小，是50cm2；当x=10时，面积最大，是75cm2（2）50S62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5S75时，这样的三角形有一个【解析】探究一：（1）连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得BE=CE，PBE=C，又BEP=CEQ，则BEPCEQ，得EP=EQ；（3）过E点作EMAB于点M，作ENBC于点N，在四边形PEQB中，B=PEQ=90，EPB+EQB=180（四边形的内角和是360），又EPB+MPE=180（平角是180），MPE=EQN（等量代换），RtMEPRtNEQ，在RtAMERtENC，EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m，0m2+；（当m2+时，EF与BC不会相交）探究二：若AC=30cm，（1）设EQ=x，则S=x2，所以当x=10时，面积最小，是50cm2；当x=10时，面积最大，是75cm2；（2）当x=EB=5时，S=62.5cm2，故当50S62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5S75时，这样的三角形有一个【关键点拨】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解是关键43如图1在ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I若CI4，HI3，AD矩形DFGI恰好为正方形（1）求正方形DFGI的边长；（2）如图2，延长AB至P使得ACCP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DFGI，正方形DFGI分别与线段DG、DB相交于点M、N，求MNG的周长【答案】（1）2；（2）三角形；（3）4【解析】 (1)HIAD，AD6，IDCDCI2，正方形的边长为2；(2)三角形，理由如下：如图2中，设点G落在PC时对应的点为G，点F的对应的点为F (3)如图3中，如图将DMI绕点D逆时针旋转90得到DFR，此时N、F、R共线MDNNDF+MDINDF+DFRNDR45，DNDN，DMDR，NDMNDR，MNNRNF+RFNF+MI，MNG的周长MN+MG+NGMG+MI+NG+FR2IG4【关键点拨】本题考查的是四边形综合题，涉及了矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题44如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE当OE=DE时，求AE的长；（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EFEC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G当BE平分ABC时，求BG的长；（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D处，过点D作DNAD于点N，与EH交于点M，且AE=1求 的值；连接BE，DMH与CBE是否相似？请说明理由【答案】（1）AE=；（2）BG=；（3）；相似，理由见解析.【解析】（1）如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，BAD=90在RtABD中，根据勾股定理得，BD=，O是BD中点，OD=OB=OA=，OAD=ODA，OE=DE，EOD=ODE，EOD=ODE=OAD，ODEADO，DO2=DEDA，设AE=x，DE=5x，（）2=5（5x），x=，即：AE=；（2）如图2，FEC=90，AEF+CED=90，A=90，AEF+AFE=90，CED=AFE，D=A=90，AEFDCE，AF=DE=2，BF=ABAF=1，过点G作GKBC于K，EBC=BGK=45，BK=GK，ABC=GKC=90，KCG=BCF，CHGCBF，设BK=GK=y，CK=5y，y=，BK=GK=，在RtGKB中，BG=；设DH=DH=z，HC=3z，根据勾股定理得，（3z）2=1+z2，z=，DH=，CH=，DNAD，AND=D=90，DNDC，EMNEHD，DNDC，EDM=ECH，MED=HEC，EDMECH，；DM=DH，ADBC，NED=ECB，MDH=ECB，CE=CB=5，DMHCBE【关键点拨】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键45如图1，以ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，如图2，若ADC=60，求的值；如图3，若ADC=（090）,直接写出的值.（用含的三角函数表示）【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）.【解析】（1）， 理由如下：四边形是平行四边形，.四边形是菱形， ，.，.又， .（2）方法1：过点作，交于点， 四边形是平行四边形， .，.，即.是等边三角形. . 方法2：延长，交于点，.由（1）结论知. , .（3）. 如图3，连接EC交DF于O，=cos【关键点拨】本题是四边形综合题，其中涉及到菱形的性质，等边三角形、全等三角形、平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度适中利用数形结合及类比思想是解题的关键46如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，ADB=30P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线ABBC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PNAD，垂足为点N连接PQ，以PQ，PN为邻边作PQMN设运动的时间为x（s），PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQAB时，x等于多少；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值【答案】（1）s；（2）y=；（3）当x=s或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分 (2)如图1中，当0x时，重叠部分是四边形PQMNy=2xx=2x2如图中，当x1时，重叠部分是四边形PQENy=(2x+2x)x=x2+x.如图3中，当1x2时，重叠部分是四边形PNEQy=(2x+2)x2(x1)=x23x+4；综上所述，y=（3）如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件则有：tanEAB=tanQPB，=，解得x=如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件此时tanDEA=tanQPB，=，解得x=，综上所述，当x=或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分故答案为：(1)s；(2)y=；(3)x=或【关键点拨】本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题47如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角HDE为45，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角GEF为60，点A、B、C三点在同一水平线上（1）计算古树BH的高；（2）计算教学楼CG的高（参考数据：14，1.7）【答案】（1）BH =8.5米；（2）CG= 18.0米（2）作HJCG于G则HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x在中， ，米【关键点拨】此题重点考察学生对直角三角形的性质，矩形的性质，三角形正切值的综合应用能力，抓住直角三角形的性质，角与边之间的关系，三角形正切值的计算方法是解题的关键.48在矩形ABCD中，ADAB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PFBC，交对角线BD于点F（1）如图1，将PDF沿对角线BD翻折得到QDF，QF交AD于点E求证：DEF是等腰三角形；（2）如图2，将PDF绕点D逆时针方向旋转得到PDF，连接PC，FB设旋转角为（0180）若0BDC，即DF在BDC的内部时，求证：DPCDFB如图3，若点P是CD的中点，DFB能否为直角三角形？如果能，试求出此时tanDBF的值，如果不能，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；或 .当FDB=90时，如图所示，DF=DF=BD，tanDBF=；当DBF=90，此时DF是斜边，即DFDB，不符合题意；当DFB=90时，如图所示，DF=DF=BD，DBF=30，tanDBF=.【关键点拨】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.49如图，在矩形ABCO中，AO=3，tanACB=，以O为坐标原点，OC为轴，OA为轴建立平面直角坐标系.设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为秒.（1）求直线AC的解析式；（2）用含的代数式表示点D的坐标；（3）当为何值时，ODE为直角三角形？（4）在什么条件下，以RtODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式.【答案】（1）；（2）D（，）；（3），；（4）（2）分别作DFAO，DHCO，垂足分别为F，H，则有ADFDCHACO，AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，而AD=（其中0），OC=AB=4，AC=5，FD=AD=，AF=AD=，DH=，HC=，D（，）；上述三个方程在0内的所有实数解为，；（4）当DOOE，及DEOE时，即和时，以RtODE的三个顶点不确定对称轴平行于轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于轴的抛物线D（，），E（4-，0），当时，D（，），E（3，0），因为抛物线过O（0，0），所以设所求抛物线为，将点D，E坐标代入，求得，所求抛物线为.（当时，所求抛物线为）.【关键点拨】本题考查的是代数几何综合应用，涉及了待定系数法、相似三角形的性质、勾股
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