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空间向量及其运算空间向量及其运算理理1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及 其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量 积判断向量的共线与垂直积判断向量的共线与垂直4.掌握向量的长度公式、两向量的夹角公式、空间两掌握向量的长度公式、两向量的夹角公式、空间两 点间的距离公式，并会解决简单的立体几何问题点间的距离公式，并会解决简单的立体几何问题.理理 要要 点点一、空间向量及其有关概念一、空间向量及其有关概念语言描述语言描述共线向量共线向量(平平行向量行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线表示空间向量的有向线段所在的直线 共面向量共面向量平行于平行于 的向量的向量共线向共线向量定理量定理对空间任意两个向量对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在存在R，使，使a .平行或重合平行或重合同一平面同一平面b语言描述语言描述共面共面向量向量定理定理若两个向量若两个向量a、b不共线，则向量不共线，则向量p与向量与向量a，b共面共面存在唯一的有序实数对存在唯一的有序实数对(x，y)，使，使p .空间空间向量向量基本基本定理定理(1)定理：如果三个向量定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间不共面，那么对空间任一向量任一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z使得使得p . (2)推论：设推论：设O、A、B、C是不共面的四是不共面的四点，则对空间一点点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数都存在唯一的三个有序实数x、y、z使使 x y z 且且xyz .OP OA OB OC 1xaybzcxaybab0a2a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量和向量和 ab 向量差向量差 ab向量积向量积 ab共线共线ab (R)2向量的坐标运算向量的坐标运算(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3垂直垂直ab夹角夹角公式公式cosa，ba1b1a2b2a3b30究究 疑疑 点点1平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间 向量成立吗？向量成立吗？ 提示：提示：不一定，不一定，a与与c不一定共线不一定共线2(ab)ca(bc)成立吗？成立吗？提示：提示：成立成立答案：答案：A答案：答案：B归纳领悟归纳领悟 用已知向量表示未知向量时要注意：用已知向量表示未知向量时要注意：1把要表示的向量置于封闭图形中，利用三角形法则或把要表示的向量置于封闭图形中，利用三角形法则或 多边形法则进行基向量代换多边形法则进行基向量代换2用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基 底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减 法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘答案：答案：C解析：解析：对于，对于，“如果向量如果向量a，b与任何向量不能构成空间与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线的关系一定是共线”，所以，所以错误正确错误正确答案：答案：C答案：答案：C4.如图所示，已知如图所示，已知ABCD是平行四边形，是平行四边形， P点是点是ABCD所在平面外一点，连接所在平面外一点，连接 PA、PB、PC、PD.设点设点E、F、G、H 分别为分别为PAB、PBC、PCD、 PDA的重心的重心 (1)试用向量方法证明试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；四点共面； (2)试判断平面试判断平面EFGH与平面与平面ABCD的位置关系，并用向量方的位置关系，并用向量方 法证明你的判断法证明你的判断归纳领悟归纳领悟 应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：共面的方法比较：答案：答案：A解析：解析：由夹角公式可求由夹角公式可求.答案：答案：解析：解析：由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是在平面四边形中任一四边形的外角和是360，这与已，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形答案：答案：空间四边形空间四边形在本题条件下试证在本题条件下试证BC1A1D.归纳领悟归纳领悟1应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取空间应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取空间向量的一组基底，一般来讲该基底最好已知相互之间向量的一组基底，一般来讲该基底最好已知相互之间的夹角及各向量的模；二是建立空间直角坐标系利用的夹角及各向量的模；二是建立空间直角坐标系利用坐标系运算来解决，后者更为简捷坐标系运算来解决，后者更为简捷2在求立体几何中线段的长度时，转化为求在求立体几何中线段的长度时，转化为求aa|a|2， 或利用空间两点间的距离公式或利用空间两点间的距离公式一、把脉考情一、把脉考情 从近两年高考试题来看，空间向量的概念及其运算在解从近两年高考试题来看，空间向量的概念及其运算在解答题中单独命题较少，多置于解答题中作为一种方法进行考答题中单独命题较少，多置于解答题中作为一种方法进行考查，难度中等查，难度中等 多考查空间向量的坐标运算及数量积的应用，注重考查多考查空间向量的坐标运算及数量积的应用，注重考查学生的运算能力，预测学生的运算能力，预测2012年命题仍以此为热点年命题仍以此为热点二、考题诊断二、考题诊断1(2010广东高考广东高考)若向量若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c (1,1,1)满足条件满足条件(ca)(2b)2，则，则x_.解析：解析：ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，(ca)(2b)2(1x)2x2.答案：答案：2点点 击击 此此 图图 片片 进进 入入“课课 时时 限限 时时 检检 测测”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