第八章第二节 (2)

第二节 直线的交点坐标与距离公式1.1.两条直线的交点两条直线的交点唯一解唯一解无解无解有无数组解有无数组解2.2.三种距离三种距离点点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )之间之间的距离的距离 _ _点点P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )到直线到直线l:Ax+By+C:Ax+By+C=0=0的距离的距离 _ _两条平行线两条平行线Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0与与Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0间的距离间的距离 d=_d=_222121(xx )(yy )0022|AxByC|ABd 1222|CC |AB12|PP |判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.( ).( )(2)(2)点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )到直线到直线y=kx+by=kx+b的距离为的距离为 ( )( )(3)(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离距离.( ).( )(4)(4)若点若点A A，B B关于直线关于直线l :y=kx+b(k0) :y=kx+b(k0)对称，则直线对称，则直线ABAB的斜率的斜率等于等于 且线段且线段ABAB的中点在直线的中点在直线l上上.( ).( )02|kxb|.1k1k，【解析】【解析】(1)(1)错误，当方程组有唯一解时两条直线相交，若方错误，当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合程组有无穷多个解，则两条直线重合. .(2)(2)错误，应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一错误，应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即本问题的距离为般式，即本问题的距离为 (3)(3)正确，因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，正确，因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离即点到直线的距离. .(4)(4)正确，因为线段正确，因为线段ABAB被直线被直线l垂直平分垂直平分. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (4) (3) (4)002|kxyb|.1k1.1.已知点已知点(a,2)(a(a,2)(a0)0)到直线到直线l：x-y+3=0 x-y+3=0的距离为的距离为1 1，则，则a a等等于于( )( )(A)(A) (B) (B)(C) (D) (C) (D) 【解析】【解析】选选C.C.由由 且且a a0 0，得，得2222121|a23|12a21.2.2.若三条直线若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点，相交于同一点，则点则点(m,n)(m,n)可能是可能是( )( )(A)(1(A)(1，-3) (B)(3-3) (B)(3，-1)-1)(C)(-3(C)(-3，1) (D)(-11) (D)(-1，3)3)【解析】【解析】选选A.A.由由m+2n+5=0m+2n+5=0，点点(m,n)(m,n)可能是可能是(1(1，-3).-3).y2x,x1,xy3,y2,得3.3.点点(a,b)(a,b)关于直线关于直线x+y+1=0 x+y+1=0的对称点是的对称点是( )( )(A)(-a-1,-b-1) (B)(-b-1,-a-1)(A)(-a-1,-b-1) (B)(-b-1,-a-1)(C)(-a,-b) (D)(-b,-a)(C)(-a,-b) (D)(-b,-a)【解析】【解析】选选B.B.设对称点为设对称点为(x,y)(x,y)，则，则 解得：解得：x=-b-1x=-b-1，y=-a-1.y=-a-1.yb( 1)1,xaxayb1022 ，4.4.已知已知A(a,-5)A(a,-5)，B(0,10)B(0,10)，|AB|=17|AB|=17，则，则a=_.a=_.【解析】【解析】依题设及两点间的距离公式得：依题设及两点间的距离公式得： 解得解得a=a=8.8.答案答案: :8 822(a0)( 5 10)17, 5.5.平行线平行线l1 1：3x-2y-5=03x-2y-5=0与与l2 2: : 之间的距离为之间的距离为_._.【解析】【解析】直线直线l2 2可化为：可化为：3x-2y+ =03x-2y+ =0，由平行线间的距离公式，由平行线间的距离公式得：得：答案答案: :33yx2432223| 5|132d.23( 2) 132考向考向 1 1 直线的交点直线的交点【典例【典例1 1】求经过直线求经过直线l1 1:3x+2y-1=0:3x+2y-1=0和和l2 2:5x+2y+1=0:5x+2y+1=0的交点，的交点，且垂直于直线且垂直于直线l3 3:3x-5y+6=0:3x-5y+6=0的直线的直线l的方程的方程. .【思路点拨】【思路点拨】可先求出两条直线的交点坐标，再用点斜式可先求出两条直线的交点坐标，再用点斜式求解；也可用与直线垂直的直线系方程或过两条直线交点求解；也可用与直线垂直的直线系方程或过两条直线交点的直线系方程求解的直线系方程求解. .【规范解答】【规范解答】方法一：先解方程组方法一：先解方程组得得l1 1，l2 2的交点坐标为的交点坐标为(-1(-1，2)2)，再由再由l3 3的斜率的斜率 求出求出l的斜率为的斜率为于是由直线的点斜式方程求出于是由直线的点斜式方程求出l： 即即5x+3y-1=0.5x+3y-1=0.3x2y 105x2y10 ，3553 ，5y2(x1)3 ，方法二：由于方法二：由于ll3 3，故，故l是直线系是直线系5x+3y+C=05x+3y+C=0中的一条，中的一条，而而l过过l1 1，l2 2的交点的交点(-1(-1，2)2)，故故5 5(-1)+3(-1)+32+C=02+C=0，由此求出，由此求出C=-1C=-1，故故l的方程为的方程为5x+3y-1=0.5x+3y-1=0.方法三：由于方法三：由于l过过l1 1，l2 2的交点，故的交点，故l是直线系是直线系3x+2y-1+(5x+2y+1)=03x+2y-1+(5x+2y+1)=0中的一条，中的一条，将其整理，得将其整理，得(3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0.(3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0.其斜率其斜率 解得解得代入直线系方程即得代入直线系方程即得l的方程为的方程为5x+3y-1=0.5x+3y-1=0.355223 ，15 ，【拓展提升】【拓展提升】1.1.两直线交点的求法两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点方程组的解为坐标的点即为交点. .2.2.常见的三大直线系方程常见的三大直线系方程(1)(1)与直线与直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0平行的直线系方程是平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mRAx+By+m=0(mR且且mC).mC).(2)(2)与直线与直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0垂直的直线系方程是垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR).Bx-Ay+m=0(mR).(3)(3)过直线过直线l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与与l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的直线系的交点的直线系方程为方程为A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(R)=0(R)，但不包括，但不包括l2 2. .【变式训练】【变式训练】(1)(1)已知直线方程为已知直线方程为(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0，求证：无论求证：无论a a为何实数值，直线必过定点，并求出该定点的坐为何实数值，直线必过定点，并求出该定点的坐标标. .【解析】【解析】原方程可化为原方程可化为x-2y+5+a(2x+3y-18)=0 x-2y+5+a(2x+3y-18)=0，它表示过直线它表示过直线x-2y+5=0 x-2y+5=0与直线与直线2x+3y-18=02x+3y-18=0交点的直线系方程，交点的直线系方程，无论无论a a取何值它都过两直线的交点，由取何值它都过两直线的交点，由所以直线过定点所以直线过定点(3(3，4).4).x2y50,x3,2x3y 180,y4.解得(2)(2)当当m m为何值时，三条直线为何值时，三条直线l1 1：4x+y-3=04x+y-3=0与与l2 2：x+y=0,x+y=0,l3 3：2x-3my-4=02x-3my-4=0能围成一个三角形能围成一个三角形? ?【解析】【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点. .当当m0m0时，有时，有24123mmm.26313m ，解得：且，又因为又因为l1 1：4x+y-3=04x+y-3=0与与l2 2：x+y=0 x+y=0的交点为的交点为(1,-1)(1,-1)，所以所以2+3m-402+3m-40，解得，解得当当m=0m=0时，时，l3 3:2x-4=0,:2x-4=0,l1 1:4x+y-3=0,:4x+y-3=0,l2 2:x+y=0,:x+y=0,l1 1与与l3 3的交点为的交点为(2,-5)(2,-5)，l1 1与与l2 2的交点为的交点为(1,-1),(1,-1),l2 2与与l3 3的交点为的交点为(2,-2)(2,-2)，能构成三角形，符合题意能构成三角形，符合题意. .综上可知：综上可知：2m.3122m,mm.633 且且考向考向 2 2 三种距离公式的应用三种距离公式的应用【典例【典例2 2】(1)(2012(1)(2012北京模拟北京模拟) )在在OABOAB中，中，O O为坐标原点，为坐标原点，A(1A(1，cos )cos )，B(sin B(sin ，1)1)，则，则OABOAB的面积的取值范围的面积的取值范围是是( )( ) 1 3A (01 B 2 21 31 3C D 4 24 4， ，(2)(2)圆圆C C：x x2 2+y+y2 2=4=4上的点到直线上的点到直线l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0距离的最大值为距离的最大值为_._.(3)(3)已知直线已知直线l1 1:mx+8y+n=0:mx+8y+n=0与与l2 2:2x+my-1=0:2x+my-1=0互相平行，且互相平行，且l1 1, ,l2 2之之间的距离为间的距离为 求直线求直线l1 1的方程的方程. .5，【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)利用两点间距离公式求出利用两点间距离公式求出|OA|OA|，再利用点到，再利用点到直线的距离公式求出点直线的距离公式求出点B B到直线到直线OAOA的距离的距离d.d.然后将然后将S SOABOAB表示成表示成的函数再求范围的函数再求范围. .(2)(2)利用几何性质，只需先求圆心到直线利用几何性质，只需先求圆心到直线l的距离，再加上半径的距离，再加上半径即得即得. .(3)(3)先由先由l1 1l2 2, ,求出求出m m的值，再根据的值，再根据l1 1, ,l2 2之间的距离为之间的距离为 求出求出n n的值，即得的值，即得l1 1的方程的方程. .5，【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.由两点间距离公式得由两点间距离公式得又直线又直线OAOA的斜率的斜率直线直线OAOA的方程为的方程为y=xcos y=xcos ，即，即xcos -y=0 xcos -y=0，点点B(sin B(sin ，1)1)到直线到直线OAOA的距离的距离2|OA|cos1 ，OAcos 0kcos 1 0，2|sin cos 1|dcos 1211sin 221cos，2OAB2OAB11sin 2112S|OA| dcos1221cos11sin2 ,R2413S.44又，(2)(2)圆圆C C：x x2 2+y+y2 2=4=4的圆心的圆心(0(0，0)0)到直线到直线l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0的距离的距离直线直线l与圆与圆C C相离相离, ,最大值为最大值为4+2=6.4+2=6.答案答案: :6 6223 04 020d4 234 ，(3)(3)l1 1l2 2，当当m=4m=4时，直线时，直线l1 1的方程为的方程为4x+8y+n=04x+8y+n=0，把，把l2 2的方程写成的方程写成4x+8y-2=04x+8y-2=0， 解得解得n=-22n=-22或或n=18.n=18.所以，所求直线的方程为所以，所求直线的方程为2x+4y-11=02x+4y-11=0或或2x+4y+9=0.2x+4y+9=0.m8n2m1，m4,m4,n2n2. 或|n2|51664，当当m=-4m=-4时，直线时，直线l1 1的方程为的方程为4x-8y-n=04x-8y-n=0，l2 2的方程为的方程为4x-8y-2=04x-8y-2=0， 解得解得n=-18n=-18或或n=22.n=22.所以，所求直线的方程为所以，所求直线的方程为2x-4y+9=02x-4y+9=0或或2x-4y-11=0.2x-4y-11=0.| n2|5,1664 【互动探究】【互动探究】本例题本例题(2)(2)中圆中圆C C变为椭圆变为椭圆CC： 则最大则最大值如何？值如何？【解析】【解析】设与设与l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0平行且与椭圆相切的直线平行且与椭圆相切的直线l的方的方程为：程为：3x+4y+c=0(c-20)3x+4y+c=0(c-20)，由由 消去消去y y得关于得关于x x的一元二次方程为的一元二次方程为18x18x2 2+6cx+c+6cx+c2 2-144=0,-144=0,=(6c)=(6c)2 2-4-41818(c(c2 2-144)=0-144)=0，解得解得22xy1169 ，223x4yc0 xy1169，c12 2. 数形结合得最大距离为数形结合得最大距离为l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0与与3x+4y+ =03x+4y+ =0间的距间的距离，离，12 222|12 2( 20)|1242.534 【拓展提升】【拓展提升】 1.1.三种距离的求法三种距离的求法(1)(1)两点间的距离两点间的距离设点设点A(xA(xA A,y,yA A),B(x),B(xB B,y,yB B) )，特例：特例：ABxABx轴时，轴时，|AB|=|y|AB|=|yA A-y-yB B| |；AByABy轴时，轴时，|AB|=|x|AB|=|xA A-x-xB B|.|.22ABAB|AB|(xx )(yy ) .(2)(2)点到直线的距离点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式必须为一般式. .(3)(3)两平行直线间的距离两平行直线间的距离利用利用“化归化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式利用两平行线间的距离公式. .【提醒】【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时应用两平行线间的距离公式求距离时, ,要注意两平行要注意两平行直线方程中直线方程中x x，y y的系数必须相等的系数必须相等. .2.2.解析几何中最值问题的两大求解思想解析几何中最值问题的两大求解思想(1)(1)函数思想：选变量构建目标函数，转化为求函数的最值函数思想：选变量构建目标函数，转化为求函数的最值. .(2)(2)数形结合思想：利用待求量数形结合思想：利用待求量( (式式) )的几何意义，数形结合求的几何意义，数形结合求解解. .【变式备选】【变式备选】已知点已知点A(2A(2，-1)-1)，(1)(1)求过点求过点A A且与原点距离为且与原点距离为2 2的直线的直线l的方程的方程. .(2)(2)求过点求过点A A且与原点距离最大的直线且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多的方程，最大距离是多少？少？(3)(3)是否存在过点是否存在过点A A且与原点距离为且与原点距离为6 6的直线？若存在，求出方的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由程；若不存在，请说明理由. .【解析】【解析】(1)(1)当斜率不存在时，直线当斜率不存在时，直线l的方程为的方程为x=2x=2，此时，此时，原点到直线原点到直线l的距离为的距离为2 2，符合题意；，符合题意；当斜率存在时，设直线当斜率存在时，设直线l的方程为的方程为y+1=k(x-2)y+1=k(x-2)，即，即kx-y-2k-1=0kx-y-2k-1=0，由已知得，由已知得解得解得 此时直线此时直线l的方程为的方程为3x-4y-10=0,3x-4y-10=0,综上可知：直线综上可知：直线l的方程为的方程为x=2x=2或或3x-4y-10=0.3x-4y-10=0.2| 2k1|2,k13k4，(2)(2)过点过点A A且与原点且与原点O O距离最大的直线是过点距离最大的直线是过点A A与与AOAO垂直的直线，垂直的直线，由由lAOAO，得，得k klk kOAOA=-1=-1，所以，所以 由直线的点斜式得由直线的点斜式得y+1=2(x-2)y+1=2(x-2)，即，即2x-y-5=02x-y-5=0，即直线，即直线2x-y-5=02x-y-5=0是过点是过点A A且与原点且与原点距离最大的直线距离最大的直线l的方程，最大距离是的方程，最大距离是OA1k2k ，l| 5|5.5(3)(3)由由(2)(2)可知，过点可知，过点A A不存在到原点距离超过不存在到原点距离超过 的直线，的直线，因此不存在过点因此不存在过点A A且与原点距离为且与原点距离为6 6的直线的直线. .5考向考向 3 3 对称问题对称问题【典例【典例3 3】已知直线已知直线l：2x-3y+1=02x-3y+1=0，点，点A(-1,-2).A(-1,-2).求：求：(1)(1)点点A A关于直线关于直线l的对称点的对称点AA的坐标的坐标. .(2)(2)直线直线m:3x-2y-6=0m:3x-2y-6=0关于直线关于直线l的对称直线的对称直线mm的方程的方程. .(3)(3)直线直线l关于点关于点A A的对称直线的对称直线l的方程的方程. .【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)设出对称点设出对称点AA的坐标，利用线段的坐标，利用线段AAAA被直线被直线l垂直平分，构建方程组求解垂直平分，构建方程组求解. .(2)(2)可设法找到可设法找到mm上两个点的坐标，再由两点式求出方程上两个点的坐标，再由两点式求出方程. .(3)(3)可设法找到两个点的坐标，即可求出直线可设法找到两个点的坐标，即可求出直线l的方程；或利的方程；或利用对称性得用对称性得ll，利用待定系数法求直线，利用待定系数法求直线l的方程；也可在的方程；也可在l上任取一点，利用该点关于点上任取一点，利用该点关于点A A的对称点在直线的对称点在直线l上得出方程上得出方程. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)设对称点设对称点AA的坐标为的坐标为(m,n)(m,n)，由已知可得，由已知可得33n22m133 413m13A (,).4m 1n213 13n23101322 ，解得即，(2)(2)在直线在直线m m上取一点，如上取一点，如B(2B(2，0)0)，则，则B B关于关于l的对称点必的对称点必在在mm上上. .设对称点为设对称点为B(a,b),B(a,b),则由则由 得得a2b0231022b021a23 ，6 30B(,).13 13设设m m与与l的交点为的交点为N N，由由 得得N(4N(4，3).3).又又mm过过N N点，由两点式得直线点，由两点式得直线mm的方程为的方程为 即即9x-46y+102=0.9x-46y+102=0.2x3y10,3x2y60, y3x4306341313，(3)(3)方法一：在方法一：在l：2x-3y+1=02x-3y+1=0上任取两点，如上任取两点，如M(1M(1，1)1)，N(4N(4，3).3).则则M M，N N关于点关于点A A的对称点的对称点MM，NN均在直线均在直线l上上. .易知易知M(-3M(-3，-5)-5)，N(-6N(-6，-7)-7)，由两点式可得，由两点式可得l的方程为的方程为2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.方法二：方法二：ll，可设可设l的方程为的方程为2x-3y+c=0(c1).2x-3y+c=0(c1).点点A A到两直线的距离相等，到两直线的距离相等，由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得 得得c=-9c=-9，l的方程为的方程为2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.2222| 26c| 26 1|2( 3)2( 3) ，方法三：设方法三：设P(x,y)P(x,y)是是l上任一点，则上任一点，则P(x,y)P(x,y)关于点关于点A(-1A(-1，-2)-2)的对称点为的对称点为P(-2-x,-4-y).P(-2-x,-4-y).点点PP在直线在直线l上，上，2(-2-x)-3(-4-y)+1=0.2(-2-x)-3(-4-y)+1=0.整理得整理得2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.l的方程为的方程为2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.【拓展提升】【拓展提升】 1.1.中心对称问题的两个类型及求解方法中心对称问题的两个类型及求解方法(1)(1)点关于点对称：若点点关于点对称：若点M(xM(x1 1,y,y1 1) )及及N(xN(x，y)y)关于关于P(a,b)P(a,b)对称，对称，则由中点坐标公式得则由中点坐标公式得 进而求解进而求解. .11x2axy2by，(2)(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用求出一个对称点，再利用l1 1l2 2，由点斜式得到所求直线，由点斜式得到所求直线方程方程. .2.2.轴对称问题的两个类型及求解方法轴对称问题的两个类型及求解方法(1)(1)点关于直线的对称：点关于直线的对称：若两点若两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )与与P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )关于直线关于直线l:Ax+By+C=0:Ax+By+C=0对称，则线对称，则线段段P P1 1P P2 2的中点在对称轴的中点在对称轴l上，而且连接上，而且连接P P1 1P P2 2的直线垂直于对称轴的直线垂直于对称轴l，由方程组，由方程组可得到点可得到点P P1 1关于关于l对称的点对称的点P P2 2的坐标的坐标(x(x2 2,y,y2 2)()(其中其中B0B0，x x1 1xx2 2).).12122121xxyyA()B()C022yyA()1xxB ，(2)(2)直线关于直线的对称：直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行. .【变式训练】【变式训练】在在ABCABC中，中，BCBC边上的高所在的直线方程为边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,Ax-2y+1=0,A的平分线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为y=0y=0，若点，若点B B的坐的坐标为标为(1(1，2)2)，求点，求点A A和点和点C C的坐标的坐标. .【解析】【解析】如图，如图，由由得得A(-1,0).A(-1,0).y0,x2y10 ，x1,y0 ，y=0y=0是是AA的平分线，的平分线，点点B B关于关于y=0y=0的对称点的对称点B(1B(1，-2)-2)在直线在直线ACAC上，上，直线直线ACAC的方程为的方程为 即即y=-x-1.y=-x-1.又又BCBC的方程为的方程为y-2=-2(x-1)y-2=-2(x-1)，即，即y=-2x+4.y=-2x+4.由由点点C(5C(5，-6).-6).综上，点综上，点A A的坐标为的坐标为(-1(-1，0)0)，点，点C C的坐标为的坐标为(5(5，-6).-6).y21x11 1 ，yx1,x5,y2x4y6. 解得，【创新体验】【创新体验】有关有关“距离距离”的创新问题的创新问题【典例】【典例】(2013(2013长沙模拟长沙模拟) )已知点已知点A(0A(0，2)2)，B(2B(2，0).0).若点若点C C在在函数函数y=xy=x2 2的图象上，则使得的图象上，则使得ABCABC的面积为的面积为2 2的点的点C C的个数为的个数为( )( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1(A)4 (B)3 (C)2 (D)1【思路点拨】【思路点拨】 【规范解答】【规范解答】选选A.A.设点设点C(t,tC(t,t2 2) )，直线，直线ABAB的方程是的方程是x+y-2=0 x+y-2=0，|AB|= |AB|= 由于由于ABCABC的面积为的面积为2 2，则这个三角形中，则这个三角形中ABAB边上的边上的高高h h满足方程满足方程 即即 由点到直线的距离公式由点到直线的距离公式得得 即即|t|t2 2+t-2|=2+t-2|=2，即，即t t2 2+t-2=2+t-2=2或者或者t t2 2+t-2=-2.+t-2=-2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C C有有4 4个个. .2 2.12 2h22 ，h2.2| tt2|22，【思考点评】【思考点评】1.1.方法感悟：本题充分体现了转化与化归思想和函数与方程思方法感悟：本题充分体现了转化与化归思想和函数与方程思想在解题中的应用，即通过转化将点想在解题中的应用，即通过转化将点C C的个数问题转化为关于的个数问题转化为关于点点C C的横坐标方程解的个数问题求解，这种将的横坐标方程解的个数问题求解，这种将“形形”转化为转化为“数数”的思想方法值得我们仔细体会的思想方法值得我们仔细体会. .2.2.技巧提升：对于技巧提升：对于“距离距离”的创新问题，常见的类型有：求有的创新问题，常见的类型有：求有关长度或三角形面积的最值问题，或知长度、三角形面积情况关长度或三角形面积的最值问题，或知长度、三角形面积情况探究点的个数以及与圆位置有关的问题等，常用的思想方法有探究点的个数以及与圆位置有关的问题等，常用的思想方法有数形结合、转化与化归及函数与方程思想数形结合、转化与化归及函数与方程思想. . 有关有关“距离距离”的创新问题虽然问法新颖，但考查的还是距的创新问题虽然问法新颖，但考查的还是距离公式的应用，解题的关键是将所求问题转化为熟悉的问题求离公式的应用，解题的关键是将所求问题转化为熟悉的问题求解解. .1.(20131.(2013郑州模拟郑州模拟) )若直线若直线l与直线与直线y=1y=1和和x-y-7=0 x-y-7=0分别交于点分别交于点M M，N N，且，且MNMN的中点为的中点为P(1P(1，-1)-1)，则直线，则直线l的斜率等于的斜率等于( )( )【解析】【解析】选选B.B.设设l与与y=1y=1交于点交于点M(m,1)M(m,1)，l与与x-y-7=0 x-y-7=0交于点交于点N(n+7N(n+7，n).n).由中点坐标公式得由中点坐标公式得m=-2,n=-3m=-2,n=-3，即，即M(-2M(-2，1)1)，kkPMPM= =2233(A) (B) (C) (D)33222.32.(20132.(2013成都模拟成都模拟) )直线直线3x-4y+5=03x-4y+5=0关于关于x x轴对称的直线方程轴对称的直线方程为为( )( )(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0【解析】【解析】选选A.A.直线直线3x-4y+5=03x-4y+5=0关于关于x x轴对称的直线方程是轴对称的直线方程是3x-4(-y)+5=03x-4(-y)+5=0，即，即3x+4y+5=0.3x+4y+5=0.3.(20133.(2013泉州模拟泉州模拟) )过点过点A(1A(1，2)2)且与原点距离最大的直线方且与原点距离最大的直线方程为程为( )( )(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0【解析】【解析】选选A.A.所求直线过点所求直线过点A A且与且与OAOA垂直时满足条件，而垂直时满足条件，而k kOAOA=2=2，故所求直线的斜率为，故所求直线的斜率为 所以所求直线方程为所以所求直线方程为y-2= y-2= 即即x+2y-5=0.x+2y-5=0.12 ，1(x1),24.(20134.(2013青岛模拟青岛模拟) )如图，已知如图，已知A(4A(4，0)0)，B(0B(0，4)4)，从点，从点P(2P(2，0)0)射出的光线经直线射出的光线经直线ABAB反射后再射反射后再射到直线到直线OBOB上，最后经直线上，最后经直线OBOB反射反射后又回到后又回到P P点，则光线所经过的路程是点，则光线所经过的路程是( )( )(A) (B)6(A) (B)6(C) (D)(C) (D)2 103 32 5【解析】【解析】选选A.A.由题意知点由题意知点P P关于直线关于直线ABAB的对称点为的对称点为D(4D(4，2)2)，关于关于y y轴的对称点为轴的对称点为C(-2C(-2，0)0)，则光线所经过的路程的长为则光线所经过的路程的长为故选故选A.A.|CD| 2 10.5.(20135.(2013北京模拟北京模拟) )已知已知 (a(a0,b0,b0)0)，则点，则点(0,b)(0,b)到直线到直线x-2y-a=0 x-2y-a=0的距离的最小值为的距离的最小值为_._.111ab【解析】【解析】点点(0,b)(0,b)到直线到直线x-2y-a=0 x-2y-a=0的距离为的距离为 当当a a2 2=2b=2b2 2且且a+b=aba+b=ab，即，即 时时取等号取等号. .答案答案: :a2b11112ba1da2b ()(3)(32 2)abab55553 52 10,522a12,b2 3 52 1051.1.已知已知A A，B B两点分别在两条互相垂直的直线两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=02x-y=0和和x+ay=0 x+ay=0上，上，且且ABAB线段的中点为线段的中点为 则线段则线段ABAB的长为的长为( )( )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11(A)8 (B)9 (C)10 (D)11【解析】【解析】选选C.C.由已知两直线互相垂直得由已知两直线互相垂直得a=2a=2，线段线段ABAB中点为中点为P(0P(0，5)5)，且，且ABAB为直角三角形为直角三角形AOBAOB的斜边的斜边(O(O为两直线的交点为两直线的交点) )，由直角三角形的性质得由直角三角形的性质得|AB|=2|PO|=10.|AB|=2|PO|=10.10P(0)a， ，2.2.设两条直线的方程分别为设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0 x+y+a=0,x+y+b=0，已知，已知a,ba,b是方程是方程x x2 2+x+c=0+x+c=0的两个实根，且的两个实根，且0c 0c 求这两条直线之间的距离求这两条直线之间的距离的最大值和最小值的最大值和最小值. .18，【解析】【解析】a,ba,b是方程是方程x x2 2+x+c=0+x+c=0的两个实根，的两个实根，a+b=-1,ab=c,a+b=-1,ab=c,(a-b)(a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2-4ab=1-4c.-4ab=1-4c.又又两直线间的距离两直线间的距离这两条直线间的距离的最大值为这两条直线间的距离的最大值为 最小值为最小值为|ab|14c1d(0c)282，12d22，2,21.2