28章锐角三角函数教案

课题 281 锐角三角函数（1）备课教师赵燕单位湾龙中学教学目标知识与技能了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力情感态度价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯教学重点正弦三角函数概念及其应用教学难点使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实用含有几个字母的符号组sinA、表示正弦。教法教师引导学生比较、分析，得出结论学法小组探究，归纳总结教具三角板，课件教学流程 教师与学生活动内容设 计 意 图复习引入 教师讲解：杂志上有过这样的一篇报道：始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之分，仍巍然屹立可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险为此意大利当局1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm从实际生活出发，激发学生进一步探究和学习新知识的兴趣和热情。 根据上面的这段报道中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？ 这个问题涉及到锐角三角函数的知识学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了! 探究新知 （1）问题的引入 教师讲解：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 教师提出问题：怎样将上述实际问题用数学语言表达，要求学生写在纸上，互相讨论，看谁写得最合理，然后由教师总结教师总结：这个问题可以归纳为，在RtABC中，C=90，A=30，BC=35m，求AB（课本图281-1）根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”，即 可得AB=2BC=70m，也就是说，需要准备70m长的水管 教师更换问题的条件后提出新问题：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点 教师引导学生得出这样的结论：在上面求AB（所需水管的长度）的过程中，虽然问题条件改变了，但我们所用的定理是一样的：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于也是说，只要山坡的坡度是30这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变教师提出第2个问题：既然直角三角形中，30角的斜边与对边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？我们再换一个解试一试如课本图281-2，在RtABC中，C=90，A=45，A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？任意画RtABC和RtABC（课本图281-3），使得C=C=90，A=A=a，那么有什么关系 在课本图281-3中，由于C=C=90，A=A=a，所以RtABCRtABC，即 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值（二）正弦函数概念的提出 教师讲解：在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的为了引用这个结论时叙述方便，数学家作出了如下规定：如课本图281-4，在RtBC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即sinA= = 教师再将问题提升到更高一个层次：当A=45时，A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值这就引发我们产生这样一个疑问：当A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 教师直接告诉学生，这个问题的回答是肯定的，并边板书，边与学生共同探究证明方法。在课本图281-4中，A的对边记作a，B的对边记作b，C的对边记作c例如，当A=30时，我们有sinA=sin30=； 当A=45时，我们有sinA=sin45=（三）正弦函数的简单应用 教师讲解课本第79页例题1 例1 如课本图281-5，在RtABC中，C=90，求sinA和sinB的值 教师对题目进行分析：求sinA就是要确定A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定B的对边与斜边的比我们已经知道了A对边的值，所以解题时应先求斜边的高解：如课本图285-1（1），在RtABC中， AB=5 因此 sinA=，sinB= 如课本图285-1（2），在RtABC中， sinA=，AC=12 因此，sinB=随堂练习 做课本第77页练习1在RtABC中，C=90，sinA=，则sinB等于（ ） A B C D 2（2004辽宁大连）在RtABC中，C=90，a=1，c=4，则sinA的值是（ ） A 3如图3，在RtABC中，C=90，AB=10，sinB=，BC的长是（ ） A2总结并讲解强调本节的重点知识，板书，在教师的讲授下，让学生对正弦函数的理解从感性认识上升到理性认识的水平归纳小结在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值 在RtABC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，作业布置做课本第82页习题281复习巩固第1题、第2题（只做与正弦函数有关的部分）板书设计 课题课题28.1.2 余弦、正切函数(第2课时)备课教师赵燕单位湾龙中学教学目标知识与技能了解锐角三角函数的概念，能够正确应用cosA、tanA表示直角三角形中两边的比过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力情感态度价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯教学重点余弦、正切三个三角函数概念及其应用教学难点使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实用含有几个字母的符号组表示正切、余弦；正切、余弦概念教法教师引导学生比较、分析，得出结论学法合作探究，归纳总结，实践操作教具三角板，课件教学流程 教师与学生活动内容设 计 意 图复习引入 教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义它 复习巩固意在对谅解知识承上启下 ，教师提问，学生口答 学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如课本图281-6所示，在RtABC中，C=90，当锐角A确定时，A的对边与斜边的比就随之确定了现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？探究新知 （一）余弦、正切概念的引入 我们把A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即cosA=；把A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即tanA= 教师讲解并板书：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数同样地，cosA，tanA也是A的函数（二）余弦正切概念的应用教师解释课本第78页例2题意：如课本图281-7，在RtABC中，C=90，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值提出疑问，激发兴趣，导入新课教师引导学生自己作出结论，其证明方法与上一节课证明对边比斜边为定值的方法相同，都是通过两个三角形相似来证明学生证明过后教师进行总结：类似于正弦的情况，在课本图281-6中，当锐角A的大小确定时，A的邻边与斜边的比、A的对边与邻边的比也分别是确定的 教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直角三角形中一条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求 教师分析完后要求学生自己解题学生解后教师总结并板书 解：sinA=， AB=6=10， 又AC=8， cosA=，tanB= 随堂练习 学生做课本第78页练习1、2、3题归纳小结 在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，把A的对边与斜边的比叫做A的正切，记作tanA作业布置做课本第82页习题281复习巩固第1题、第2题（只做与余弦、正切函数有关的部分）板书设计 课题课题28.1.3 特殊角的三角函数值备课教师赵燕单位湾龙中学教学目标知识与技能了解锐角三角函数的概念，记忆30、45、60的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力情感态度价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯教学重点正弦、余弦；正切三个三角函数概念及其应用教学难点使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念教法教师引导学生比较、分析，得出结论学法合作探究，数形结合，总结归纳教具三角尺，课件教学流程教 学 内 容设 计 意 图复习引入 教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值 提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值探究新知 （一）特殊值的三角函数 学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结 30、45、60的正弦值、余弦值和正切值如下表：304560sin cos tan 1 教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为，与对于余弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为，与对于正切，60度的正切值为，当角度递减时，分别将上一个正切值除以，即是下一个角的正切值 要求学生记住上述特殊角的三角函数值教师强调：（sin60）2用sin260表示，即为（sin60）（sin60）（二）特殊角三角函数的应用 1师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值 （1）cos260+sin260 （2）-tan45教师以提问方式一步一步解上面两题学生回答，教师板书 解：（1）cos260+sin260=（）2+（）2=1 （2）-tan45=-1=0 2师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意： （1）如课本图281-9（1），在RtABC中，C=90，AB=，BC=，求A的度数 （2）如课本图281-9（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数 解：（1）在课本图281-9（1）中， sinA=， A=45 （2）在课本图281-9（2）中， tana=， a=60 教师提醒学生：当A、B为锐角时，若AB，则 sinAsinB，cosAcosB，tanAtanB随堂练习 学生做课本第80页练习第1、2题板书设计 课题30、45、60的正弦值、余弦值和正切值如下表：304560sin cos tan 1 归纳小结学生要牢记下表格，对于sina与tana，角度越大函数值也越大；对于cosa，角度越大函数值越小作业布置做课本第82页习题281复习巩固第3题1、计算2sin30-2cos60+tan45的结果是（ ） A2 B C D12、已知A为锐角，且cosA，那么（ ） A0A60 B60A90 C0A30 D30A903在ABC中，A、B都是锐角，且sinA=，cosB=，则ABC的形状是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定课题2814 利用计算器求三角函数值备课教师赵燕单位湾龙中学教学目标知识与技能能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力情感态度价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯教学重点正弦、余弦；正切三个三角函数概念及其应用教学难点灵活应用计算器求三角函数的 方法。教法自学后引导概括学法自学讲述，实践操作教具计算器，课件教学流程教师与学生活动内容设 计 意 图复习引入 教师讲解：通过上面几节的学习我们知道，当锐角A是30、45或60等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值探究新知 （一）已知角度求函数值 教师讲解：例如求sin18，利用计算器的sin键，并输入角度值18，得到结果sin18=0.309016994 又如求tan3036，利用tan键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591398351 利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同 因为3036=30.6，所以也可以利用tan键，并输入角度值30.6，同样得到答案0.591398351 （二）已知函数值，求锐角 教师讲解：如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角例如，已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作： 依次按键2ndf sin，然后输入函数值0.5018，得到A=30.11915867（如果锐角A精确到1，则结果为30） 还可以利用2ndf ”键进一步得到A=30070897（如果锐角A精确到1，则结果为308，精确到1的结果为3079） 使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的锐角 通过复习提问，承上启下，对于任意角的三角函数值的求法激起学习的欲望。学生自学中，培养学生自学，交流，讲述，概括的能力，让学生在合作中，找到自己的优点和不足，激起上进的学习态度。此处设置小组比赛，看哪组表现最好。 教师提出：怎样验算求出的A=3079是否正确？让学生思考后回答，然后教师总结：可以再用计算器求3079的正弦值，如果它等于0.5018，则我们原先的计算结果就是正确的随堂练习 课本第81页练习第1、2题作业布置做课本第82页习题281复习巩固第4题，第5题课时总结 已知角度求正弦值用sin键；已知正弦值求小于90的锐角用2ndf sin键，对于余弦与正切也有相类似的求法板书设计 课题课题282 .1 解直角三角形备课教师赵燕单位湾龙中学教学目标知识与技能理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系。过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力情感态度价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯教学重点直角三角形的解法 教学难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用教法注意加强知识间的纵向联系 学法注意数形结合，注意体现数与形之间的联系教具多媒体，三角板教学流程 教师与学生活动内容设 计 意 图 复习引入 教师讲解：上一节我们介绍了直角三角函数我们知道，一个直角三角形有许多元素的值，各三边的长，三个角的度数，三角的正弦、余弦、正切值我们现在要研究的是，我们究竟要知道直角三角形中多少值就可以通过公式计算出其他值探究新知 概念的引入 1 先看1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如课本图282-1），在RtABC中，C=90，BC=5.2m，AB=54.5m图282-1 sin=0.0954 所以A508 教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角2 要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50a75，现有一个长6m的梯子，问：1使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到0.1m）？2当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 教师对问题的解法进行分析：对于问题1，当梯子与地面所成的角a为75时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度 教师讲解问题1的解法： 所以 BC60.975.8 因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m 教师分析问题2：当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在RtABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角a的度数 教师解题：由于cosa=0.4， 利用计算器求得a66因此当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66，由506675可知，这时使用这个梯子是安全的 随堂练习如下图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD 学生做完此题后教师要讲评： 解题方法分析：由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出RtABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD设置此题，即使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的 教师要求学生将上述问题用数学语言表达，学生做完后教师总结并板书：我们可以把问题1归结为：在RtABC中，已知A=75，斜边AB=6，求A的对边BC的长解：过A作AECD，于是有AC=ED，AE=CD 在RtABE中，sinA= BE=ABsinA=160sin11=30.53（米） cosA=解：过A作AECD，于是有AC=ED，AE=CD 在RtABE中，sinA= BE=ABsinA=160sin11=30.53（米） cosA=归纳小结利用三角函数解应用题时，首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角，然后再运用三角函数知识解题作业布置课本练习 做课本第92页习题282复习巩固第1题、第2题板书设计 课题课题282 .2 解直角三角形备课教师赵燕单位湾龙中学教学目标知识与技能会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力情感态度价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯教学重点直角三角形的解法 教学难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用教法注意加强知识间的纵向联系 学法注意数形结合，注意体现数与形之间的联系教具多媒体，三角板教学流程 教师与学生活动内容设 计 意 图 复习引入 教师讲解：上一节课我们通过实例大致了解了通过已知条件来求三角形其他元素解法这一节课我们将提出解直角三角形这一概念，并通过实例说明它的解法 教师提出以下问题要求学生自行解答：三角形有六个元素，分别是三条边和三个内角在RtABC中，1根据A=75，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗 2根据AC=24，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ 学生解答完后教师给出解法 探究新知 （一）什么是解直角三角形 教师讲解什么是解直角三角形事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形 （二）解直角三角形用的知识 师生共同思考，在解直角三角形的过程中，要用到哪些已学过的知识教师总结：如课本图282-2所示，解直角三角形时一般要用到下面的某些知识：282-2 （1）三边之间的关系 a2+b2+c2（勾股定理） （2）两锐角之间的关系 A+B=90 （3）边角之间的关系： sinA=，sinB= 教师对问题的解法进行分析：对于问题1，当梯子与地面所成的角a为75时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度 cosA=，cosB= tanA=，tanB= （三）解直角三角形实例 1教师解释例1题意：例1 如课本图282-3，在RtABC中，C=90，AC=，BC=，解这个直角三角形282-3 教师给出解法并板书 解：tanA=， A=60 B=90-A=90-60=30 AB=2AC=2 2教师讲解例2题意，解题并板书：例2 如课本图282-4，在RtABC中，C=90，B=35，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）图282-4 解：A=90-B=90-35=55 tanB= a=28.6 sinB=， c=35.1 （教师要求学生将上述问题用数学语言表达，学生做完后教师总结并板书：我们可以把问题1归结为：在RtABC中，已知A=75，斜边AB=6，求A的对边BC的长随堂练习 课本第87页练习归纳小结解直角三角形就是已知直角三角形三条边，三个角中的2个元素（其中有一个必须是边）求其他元素的过程解直角三角形常用的知识有：勾股定理，正弦、余弦、正切，两个内角和为90度作业布置课本练习 做课本第92页习题282第3题，第4题，第5题板书设计 课题课题28.2.3 求不可到达的两点间距离备课教师赵燕单位湾龙中学教学目标知识与技能，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力情感态度价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯教学重点直角三角形的解法 教学难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用教法注意加强知识间的纵向联系 学法注意数形结合，注意体现数与形之间的联系教具多媒体，三角板教学流程 教师与学生活动内容设 计 意 图 复习引入 教师讲解：本节课将利用解直角三角形知识解决生活中的许多问题2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功我们将应用直角三角形知识探究有关飞船运行的一些知识探究新知 （一）讲解例3图282-5当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行如课本图282-5，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km） 教师对问题进行分析：从飞船上能直接看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点如图282-6所示，O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是O的切线，切点Q是从飞船观察地球时的最远点PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离（这一点教师务必讲解清楚，千万不能用弦PQ去代替）为了计算PQ的长需先求出POQ（即a） 在图282-5中，FQ是O的切线，FCQ是直角三角形 cos=0.95， 18 PQ的长为64001.34640=2009.6由此可见，当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km （二）讲解例4教师分析题意：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，问这栋高栋有多高？（结果精确到0.1m）图282-6教师提出问题：教师对问题进行分析 在解决例3的问题时，要综合运用圆和解直角三角形的知识 教师要求学生思考解法，然后提问，学生回答后教师作出总结并板书； 教师对解法进行分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角因此，在课本图282-6中，AD是与水平面平行的直线，则=30，=60，我们可以把这道题分成两个直角三角形来解在RtABD中，a=30，AD=120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地在ACD中可以求出CD进而求出BC 解：如课本图282-6，=30，=60，AD=120 tan= BD=ADtan=120tan30=120=4， CD=ADtan=120tan60=120=120， BC=BD+CD=40+120=160277.1 答：这栋楼房约为277.1m随堂练习 课本89页练习第1题、第2题教师对解法进行分析，教师要求学生独立完成该题学生做完后教师给出该题的答案并板书：归纳小结如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量作业布置课本练习 做课本第93页习题282第6题、第7题、第8题板书设计 课题课题28.2.4 方位角与方向角问题备课教师赵燕单位湾龙中学教学目标知识与技能，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力情感态度价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯教学重点直角三角形的解法 教学难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用教法注意加强知识间的纵向联系 学法注意数形结合，注意体现数与形之间的联系教具多媒体，三角板教学流程 教师与学生活动内容设 计 意 图 复习引入 本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题 探究新知 （一）方位角与方向角 1方向角创设情境，导入并板书课题教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90的角叫做方向角如图中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60，南偏东30，北偏西70特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45的角，如图:目标方向线OD与正南方向成45角，通常称为西南方向 2方位角 教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角如图:目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40，135，225 （二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点 解题时一般有以下三个步骤： 1审题按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知 2将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形 3根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形教师提出问题：教师对问题进行分析教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解 （三）例题讲解教师解释题意：如课本图282-7所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.1海里） 教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似因为APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，ACP与PCBPC是东西走向的一条直线AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即ACP与BDP均为直角再通过65度角与APC互余的关系求APC；通过34度角与BPC互余的关系求BPC 解：如课本图282-7，在RtAPC中， PC=PAcos（90-65） =80cos25800.91=72.505 在RtBPC中，B=34， sinB=， PB=129.7 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约129.7海里教师分析后要求学生自行做完这道题学生做完后教师再加以总结并板书归纳小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： 1将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） 2根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形 3得到数学问题的答案 4得到实际问题的答案 作业布置课本练习第97-98页 1 2. 8 10板书设计 课题课题小结与复习备课教师赵燕单位湾龙中学教学目标知识与技能回顾并理解本章知识与解题技巧。过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力情感态度价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯教学重点三角函数的实际应用 教学难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用教法注意加强知识间的纵向联系 学法注意数形结合，注意体现数与形之间的联系教具多媒体，三角板教学流程 教师与学生活动内容设 计 意 图 知识结构 创设情境，导入并板书课题 基础知识 1直角三角形的边角关系：在RtABC中， A+B=90， a2+b2=c2， sinA=cosB=， cosA=sinB=， tanA=cotB=， cosA=tanB= 2互余两角三角函数间的关系：如A+B=90，那么sinA=cosB，cosA=sinB 3同角三角函数间的关系： sin2A+cos2A=1，tanAcotA=1，tanA= 4特殊角的三角函数三角函数030456090 sin 0 1 cos 1 0 tan 0 1 不存在 cot不存在 1 0 解直角三角形的基本类型解直角三角形的基本类型及其解法如下表：类型已知条件解法两边两直角边a、bc=，tanA=，B=90-A一直角边a，斜边cb=，sinA=，B=90-A一边一锐角一直角边a，锐角AB=90-A，b=acotA，c=斜边c，锐角AB=90-A，a=csinA，b=ccosA教师提出问题：教师对问题进行分析教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解 应用题解题步骤 第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义 第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形） 第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错 第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位 思想方法总结 1转化思想 2数形结合思想 3函数思想 4方程思想 中考新题型 例1 计算： （1）sin230-cos45tan60（2）分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可 解：（1）sin30-cos45tan60=-=- （2）原式=+1-3（）2+2 =+1-1+2（1-）=2教师对解法进行分析，教师要求学生独立完成该题学生做完后教师给出该题的答案并板书：例2 如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角=30，=45小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin470.7314，cos470.6820，tan471.0724） 分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF分别在RtABC和RtDBF中求出BC与DF，两者之和即为所求 解：在RtABC中，AB=200米，BAC=30， BC=ABsin=200sin30=100（米） 在RtBDF中，BD=200米，DBF=47， DF=BDsin=200sin472000.7314=146.28（米） BC+DF=100+146.28=246.28（米） 答：缆车垂直上升了246.28米 说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力例3某山路坡面坡度,某人沿此山路向上前进200米,那么他在原来基础上升高了_米【考点要求】本是考查坡度与坡角正切值关系。【思路点拨】坡度即坡角的正切值为，所以坡角的正弦值可求得等于，所以沿着山路前进200米，则升高200=10（米）。【答案】填10。【方法点拨】少数学生因为未能正确理解坡度的意义，而出现使用错误。突破方法：牢记坡度表示坡角的正切值即坡角的对边：坡角的邻边=，然后再结合直角三角形，可求出坡角的正弦值，从而容易求得结果。图8-1例4如图8-1，在ABC中，C90，点D在BC上，BD4，ADBC，cosADC=求：（1）DC的长；（2）sinB的值【考点要求】本题考查锐三角函数概念的相关知识及其简单运用。【思路点拨】（1）在RtABC中，cosADC，设CD3k，AD5k又BCAD，3k+45k，k2 CD3k6（2）BC3k46410，AC4k8ABsinB= 【答案】（1）CD6；（2）sinB=。【方法点拨】本题的关键是抓住“ADBC”这一相等的关系，应用锐角三角函数的定义及勾股定理解题拓展练习第1题图一、填空题1如图，如果APB绕点B按逆时针方向旋转30后得到APB，且BP=2，那么PP的长为_ (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15=，cos15=)2用计算器计算： （精确到0.01） 3如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 度北甲北乙第3题图第4题图xOAyB4如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60的方向上，则原来A的坐标为 （结果保留根号）5求值：sin260+cos260= 6在直角三角形ABC中，A=，BC=13，AB=12，那么 二、选择题9在ABC中，C900，ACBC1，则tanA的值是（ ）A B C1 D10在RtABC中，CD是斜边AB上的高线，已知ACD的正弦值是，则的值是（ ）第11题图A B C D11如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到，那么（ ）A等于1米 B大于1米 C小于1米 D不能确定第12题图12如图，延长RtABC斜边AB到D点，使BDAB，连结CD，若cotBCD3，则tanA（ ）A B1 C D三、解答题13已知等腰梯形ABCD中，ADBC18cm，sinABC，AC与BD相交于点O，BOC1200，试求AB的长14如图，河对岸有一铁塔AB在C处测得塔顶A的仰角为30，向塔前进16米到达D，在D处测得A的仰角为45，求铁塔AB的高 第15题图第13题图15如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40夹角，且DB=5m，则BC的长度是多少？现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留三个有效数字）【参考数据：】归纳小结谈谈收获作业布置课本练习课本第93页习题282拓广探索第9题、第10题板书设计 课题40