北京市景山学校远洋分校2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）

北京市景山学校远洋分校2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）时间： 120分钟 总分： 100 分一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分）1. 设集合 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义，直接求交集.【详解】 ，.故选：B2. 下列函数在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别利用反比例函数、指数函数、二次函数的单调性，即可判断各选项的正误.【详解】对A，反比例函数在上是减函数，故A错误；对B，指数函数在上是增函数，故B正确；对C，指数函数在上是减函数，故C错误；对D，二次函数在上是减函数，故D错误.故选：B3. 已知，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义，举特例判断可得；【详解】解：当，时，但；当，时，但；综上，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断，属于基础题.4. 根据表格中的数据，可以判定方程exx2=0的一个根所在的区间为（ ）x10123exx20.6310.283.3915.09A. （1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）【答案】C【解析】【详解】令f（x）=exx2，由表知f（1）=2.7230，f（2）=7.3940，方程exx2=0的一个根所在的区间为（1，2）故选：C5. 已知函数若关于的函数有且只有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数零点的个数，即为函数与函数图象交点个数，结合函数图象可得实数的取值范围【详解】因为关于的函数有且只有三个不同的零点，所以函数与函数图象有三个不同的交点，画出图象，如图：由图可知，当时，函数与函数图象有三个不同的交点，所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.6. 下列不等式中错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对A、B利用指数函数单调性即可判断正误；对C、D利用幂函数的单调性即可判断正误.【详解】对A，考察指数函数，因为，所以在上是增函数，因为，所以，故A正确；对B，考察指数函数，因为，所以在上是减函数，因为，所以，故B正确；对C，考察幂函数，因为，所以在上是增函数，因为，所以，故C正确；对D，考察幂函数，因为，所以在上是减函数，因为，所以，故D错误.故选：D7. 已知函数，则函数（ ）A. 是奇函数，且在上单增B. 是奇函数，且在上单减C. 是偶函数，且在上单增 D. 是偶函数，且在上单减【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义，得到函数为奇函数，再结合指数函数的图象与性质，得到函数是增函数，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数为奇函数，又由，根据指数函数的图象与性质，可得函数和都是增函数，所以函数是增函数.故选：A8. 已知，则函数 的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据可知函数单调递增，再结合，即可得到答案.【详解】因为，所以函数在单调递增，故排除C、D，又当时，故排除A.故选：B【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数特征点，排除不合要求的图象.9. 函数是偶函数，且在上单调递增，满足的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的性质将不等式化为，再根据单调性去掉对应法则，解不等式即可求出的取值范围.【详解】由已知得函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以不等式可化为，又在上单调递增，所以，解得.故选：D【点睛】关键点点睛：要求的取值范围，就要列关于的不等式(组)，因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数式”是关键，属于中档题10. 已知函数,若存在区间,使得函数f(x)在区间 上的值域为则实数的取值范围为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性可知，即得，故可知是方程的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出【详解】根据函数的单调性可知，即可得到，即可知是方程的两个不同非负实根，所以，解得故选：D【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题二、填空题（共5个小题，每题3分，共15分）11. 函数是指数函数，则的取值范围_.【答案】且.【解析】【分析】根据指数函数的定义，即可求出的取值范围.【详解】根据指数函数的定义，可得且.故答案为：且12. 函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】由分式分母不为0，解不等式即可.【详解】由，得，故函数的定义域为.故答案为：13. 不等式的解集是【答案】【解析】【详解】.所以解集为：.14. 函数的零点个数是_【答案】【解析】【分析】首先求出函数的定义域为，将原问题转化为，解方程，即可得出的零点个数【详解】由题意可知的定义域为，令，可得， 解得（舍去）或，； 所以函数的零点个数为个 故答案为：1【点睛】本题把二次函数与二次方程有机的结合来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点15. 如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：函数f(x)的最大值为12；函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；关于x的方程最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.【详解】分别在上运动时的函数解析式，分别在上运动时的函数解析式，分别在上运动时的函数解析式，由图象可得，方程最多有个实数根故正确的是.故答案为：【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三、解答题（共6个小题，共45分）16. 求下列各式的值.() ()已知，求【答案】()；()【解析】【分析】()根据分数指数幂的运算性质直接计算，即可求出结果；()将变形，代入即可求出结果.【详解】() () 17. 已知函数在y轴右边的一部分图象如图所示，（）作出函数在y轴左边的图象；（）判断函数在上的单调性，并用单调性定义加以证明.【答案】（）见解析；（）函数在是增函数.证明见解析.【解析】【分析】（）可得函数是奇函数，利用对称性即可作出函数在y轴左边的图象；（）根据函数的图象，即可判断函数在上的单调性，然后根据函数单调性的定义证明即可.【详解】（）（）函数在是增函数.证：任取，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在是增函数.【点睛】思路点睛：运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取且在的条件下，转化为确定与的大小，要牢记五大步骤：取值作差变形定号小结18. 建一个容积为8立方米、深为2米的长方体无盖水池，如果池底造价是120元平方米，池壁的造价是80元平方米，求当池底宽为多少米的时候水池的总造价最低，并求出最低造价是多少【答案】求当池底宽为2米，总造价最低，最低为1760元【解析】【分析】根据池底的长，表示出宽，先根据题意求得池底的造价，进而表示池壁的面积，根据价格算出池壁的造价，二者相加即可表示出总造价，再利用均值不等式求最小值即可【详解】解：设池底的长为x米，故宽为米，总造价48032041760当且仅当，即x2时等号成立当池底的长为2米，宽也是2米时，总造价最低为1760元【点睛】解函数应用题一般程序：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性19. 已知函数（）求函数的定义域；（）求函数的单调增区间和单调减区间；（）求函数的值域【答案】（）R；（）单调减区间是，单调增区间是；（）【解析】【分析】（）由题意可直接得函数的定义域；（）由题意，令，由复合函数的单调性判断函数的单调增区间和单调减区间；（）由（）知，在R上的单调性，从而求函数的值域【详解】解：（）由题意得函数的定义域是R；（）令，在区间上是增函数，在区间上是减函数，且函数在R上是减函数，函数的单调减区间是，单调增区间是；（）函数的单调减区间是，单调增区间是，函数的值域是【点睛】复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)为减函数20. 已知函数（）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（）求函数在上的最大值【答案】（）1，）；（）答案见解析【解析】【分析】（）根据二次函数的图象和性质，可得函数的图象开口朝下，对称轴为直线xa，由函数在上是增函数，可得区间完全在对称轴的左边，进而可得实数a的取值范围；（）分a1，1a2时，a2时三种情况，结合函数在1，2上的单调性求最大值【详解】解：（）由已知得 函数的图象是开口朝下，且对称轴为直线xa的抛物线，因为函数在上是增函数，所以a1故实数a的取值范围是1，）； （）当a1时，函数在1，2上是减函数，于是；当1a2时，函数在1，a上是增函数，在（a，2上是减函数，于是； 当a2时，函数在1，2上是增函数，于是【点睛】易错点睛：二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，一定要讨论对称轴与区间的位置关系，确定单调性从而求出最值21. 已知函数对任意，总有，且当时， ，()求证：函数奇函数；()利用函数的单调性定义证明，在上的单调递减；()若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】() 见解析；（）见解析；（）【解析】【分析】()利用赋值法并结合奇函数的定义即可证出；()根据函数单调性的定义并函数是奇函数证明即可；()结合已知可知，再利用，将不等式化为，再利用单调性去掉对应法则，解不等式即可.【详解】()令，得，所以，令，得，即，所以，所以函数是上的奇函数.()任取,且，则，因为当时， ，而，即，所以，所以，所以在上的单调递减.()由()知是上的奇函数，所以，所以，所以，所以不等式可化为，即，所以，由()知，在上的单调递减，所以，故问题转化为对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，令，故问题可转化为对任意的恒成立，令，其对称轴为， 所以，所以.【点睛】方法点睛：解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成的形式；(2)考查函数的单调性；(3)据函数的单调性去掉法则“”，转化为形如“”或“”的常规不等式，从而得解