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4.7相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的识别相似三角形的识别问：相似三角形的识别方法有哪些？问：相似三角形的识别方法有哪些？证二组对应证二组对应角相等角相等证三组对应边证三组对应边成比例成比例证二组对应边成证二组对应边成比例，且夹角相比例，且夹角相等等相似三角形的特征相似三角形的特征问：你知道相似三角形的特征是什么吗？问：你知道相似三角形的特征是什么吗？角：对应角相等角：对应角相等边：对应边成比例边：对应边成比例问：什么是相似比？问：什么是相似比？相似比相似比= =对应边的比值对应边的比值= = 如右图，如右图，A B C ABCA AB BC CA AB BC CD DD D已知：已知： ABC A B C,相似比为相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。你的结论。想一想想一想相似三角形相似三角形对应边上的高对应边上的高有什么关系呢？有什么关系呢？ 归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。ABCDA D C ADC则则:(1):(1)利用方格把三角形扩大利用方格把三角形扩大2 2倍，得倍，得ABCABC，并作出并作出BCBC边上的高边上的高A A D D 。 A B C A B C 与与ABCABC的相似比为的相似比为多少？多少？AD AD 与与A DA D有什么关系？有什么关系？右图右图A B C A B C ， AD AD为为 BC BC 边上的高。边上的高。DABC(2)(2)如右图两个相似三角形相似比为如右图两个相似三角形相似比为k k，则则对对应边上的高有什么关系呢？应边上的高有什么关系呢？_说说你判断的理由是什么？说说你判断的理由是什么？_相似三角形相似三角形对应角的角平分线对应角的角平分线有什么有什么关系呢？关系呢？归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。(2)(2)如右图两个相似三角形相似比为如右图两个相似三角形相似比为k k，则则对应角的角平分线比是多少？对应角的角平分线比是多少？说说你判断的理由是什么？说说你判断的理由是什么？_A F C AFC如右图如右图A B C A B C ， AF AF为为 A A 的角平分线。的角平分线。则则:(1):(1)把三角形扩大把三角形扩大2 2倍后得倍后得ABCABC，A A F F 为为 AA的角平分线的角平分线， A B C A B C 与与ABCABC的相似比为多少？的相似比为多少？ AF AF 与与A FA F比比是多少？是多少？ABCFABCF归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。相似三角形相似三角形对应边上的中线对应边上的中线 有什么关有什么关系呢？系呢？如右图如右图A B C ， AE为为 BC 边上的中线。边上的中线。则则:(1)把三角形扩大把三角形扩大2倍后得倍后得ABC，A E为为 BC边上边上的中线。的中线。 A B C 与与ABC的相似比为多少？的相似比为多少？ AE 与与A E比是多少？比是多少？ABCE ABCEA E C AEC(2)如右图两个相似三角形相似比为如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边则对应边上的中线的比是多少呢？上的中线的比是多少呢？ 说说你判断的理由是什么？说说你判断的理由是什么？_课堂练习课堂练习: 填空：填空： （1）两个三角形的对应边的比为）两个三角形的对应边的比为3:4，则这两个三，则这两个三角形的对应角平分线的比为角形的对应角平分线的比为_ ，对应边上的高的，对应边上的高的比为比为_，对应边上的中线的比为，对应边上的中线的比为_ (2)相似三角形对应角平分线比为相似三角形对应角平分线比为0.2,则相似比为则相似比为_,对应中线的比等于对应中线的比等于_; 3、ABCABC中，中，AEAE是角平分线，是角平分线，D D是是ABAB上上的一点，的一点，CDCD交交AEAE于于G G，ACD=ACD=B B，且，且AC=2ADAC=2AD.则则ACDACD _.它们的它们的相似比相似比K K =_,_AGAEABCED DGSBCREDA例例1,1,如图，如图，ADAD是是ABCABC的高的高AD=hAD=h，点，点R R在在ACAC边上边上,SRAD,SRAD垂足为垂足为 E,E,当当SR= BCSR= BC时，求时，求DEDE的长。如果的长。如果SR= BCSR= BC呢？呢？2131解：解：SRAD BCADSRAD BCAD即即SR/BCSR/BCASR=B,ARS=C ASR ABCBCSRADAEBCSRADDEAD当当SR= BCSR= BC时时21当当SR= BCSR= BC时时31hDEhDEh21.21解得得hDEhDEh21,21解得得1.1.已知已知ABCABCABCABC，BDBD和和BDBD是它们的对应是它们的对应中线中线, , 求求BDBD的长？的长？23CAACcmDB4小试牛刀小试牛刀2 2、ABCABCA ABCBC，ADAD和和 ADAD是它们是它们的对应角平分线，已知的对应角平分线，已知ADAD8cm8cm，A AD D3cm3cm，求求ABCABC和和ABCABC对应高的比。对应高的比。你会应用吗？你会应用吗？3、ABCABC，BD和和BD是它们的对应中线，已是它们的对应中线，已知知 ，BD=4cm，求，求BD的长的长. 23CAAC解：解： ABCABCA ABCBC，BDBD和和BDBD是它们的对应中线是它们的对应中线23CAACDBBD（相似三角形对应中线的比都等于相似比）（相似三角形对应中线的比都等于相似比） BD=6 BD=6234BD 4.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片如图是一个照相机成像的示意图，如果底片XY宽宽35mm，焦距是，焦距是50mm，能拍摄，能拍摄5m外的景物有多宽？外的景物有多宽？拓广应用空间：拓广应用空间：35mm50mm5mXYABL相似三角形的周长相似三角形的周长有什么关系呢？有什么关系呢？归纳：相似三角形的周长比等于相似比。归纳：相似三角形的周长比等于相似比。右图（右图（1 1）（）（2 2）（）（3 3）分别是边）分别是边长为长为1 1、2 2、3 3的等边三角形，它的等边三角形，它们都相似们都相似（2 2）与（）与（1 1）的相似比）的相似比_，（2 2）与（）与（1 1）的周长比）的周长比_;_;（3 3）与（）与（1 1）的相似比）的相似比_，（3 3）与（）与（1 1）的周长比）的周长比_.2:12:13:13:1从上面可以看出当相似比从上面可以看出当相似比k时，周长比时，周长比_k 相似三角形的面积相似三角形的面积有什么关系呢？有什么关系呢？2:1归纳：相似三角形的面积比等于相似比的平方。归纳：相似三角形的面积比等于相似比的平方。右图（右图（1 1）（）（2 2）（）（3 3）分别是边）分别是边长为长为1 1、2 2、3 3的等边三角形，它的等边三角形，它们都相似们都相似（2 2）与（）与（1 1）的相似比）的相似比_，（2 2）与（）与（1 1）的面积比）的面积比_;_;（3 3）与（）与（1 1）的相似比）的相似比_，（3 3）与（）与（1 1）的面积比）的面积比_.4:13:19:1从上面可以看出当相似比从上面可以看出当相似比k k时，面积比时，面积比= =_ k2 算一算：算一算： ABCABC与与ABCABC的相似比是的相似比是多少？多少？ABCABC与与ABCABC的周长比是多少的周长比是多少? ? 面积比是多少？面积比是多少？44正方形网格正方形网格看一看：看一看： ABCABC与与ABCABC有什么关系？有什么关系？ 为什么？为什么？ 想一想：想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？（相似）（相似）22222周长比等于相似比，面积比等于相似比的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方平方101022215522ABCACB已知两个三角形相似，请完成下列表格已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比相似比周长比周长比面积比面积比注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要求面积比要平方平方，而已知面积比，求相似比或周长比则要而已知面积比，求相似比或周长比则要开方开方。24100100100001913132D DB BC C例例2 2：如图将：如图将 ABC ABC沿沿BCBC方向平移得到方向平移得到DEFDEF。ABCABC与与DEFDEF重叠部分（图中阴重叠部分（图中阴影部分）的面积是影部分）的面积是ABCABC面积的一半已知面积的一半已知BC=2BC=2，求，求ABCABC平移的距离。平移的距离。A AE EF FGECGEC ABCABC解：根据题意，解：根据题意，EG/ABEG/ABGEC=B,EGC=AGEC=B,EGC=AG2222221222222ECBCBEECECECECBCBCECSSABCGEC即即即ABCABC平移的距离平移的距离为为2-2-2BACDE如图，已知如图，已知DE/BC,AB=30m,BD=18m,DE/BC,AB=30m,BD=18m, ABCABC的周长为的周长为80m80m，面积为，面积为100m100m2 2, ,求求ADEADE的周长和面积的周长和面积30m18m1 1、在、在ABCABC中，中，DEDEBCBC，E E、D D分别在分别在ACAC、ABAB上，上，EC=2AEEC=2AE，则，则S S ADEADE：S S ABCABC的比为的比为_练习练习2 2、如图，、如图， ABCABC中，中，DEDEFGFGBCBC，AD=DF=FBAD=DF=FB，则，则ADEADE: :四边形四边形DFGEDFGE: :四边形四边形FBCGFBCG=_=_A AB BC CD DE ES S ADEADE：S S四边形四边形DBCEDBCE的比为的比为_1/91/81、把、把 一个三角形变成和它相似的三角形，则一个三角形变成和它相似的三角形，则如果边长扩大为原来的如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为倍，那么面积扩大为原来的原来的_倍；倍；如果面积扩大为原来的如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为倍，那么边长扩大为原来的原来的_倍。倍。课堂练习课堂练习10000102、已知已知ABCABCABCABC，AC: A C=4:3AC: A C=4:3。（1 1）若若ABCABC的周长为的周长为24cm24cm，则则ABCABC的周长的周长为为 cmcm；（2 2）若若ABCABC的面积为的面积为32 cm32 cm2 2 ，则则ABCABC的面的面积为积为 cmcm2 2。1818课堂练习课堂练习3 3、已知，在、已知，在A B C A B C 中，中，DE|BC, DE:BC=3:5 DE|BC, DE:BC=3:5 则则(1)AD:DB=(1)AD:DB= (2) (2)ADEADE的面积的面积: :梯形梯形DECBDECB的面积的面积= = (3) (3)A B CA B C的面积为的面积为2525，则，则A DEA DE的面积的面积=_ =_ 3:29:1694 4、如图，已知、如图，已知DEBCDEBC，BD=3ADBD=3AD，S SABCABC =48 =48，求：求：ADEADE的面积。的面积。课堂练习课堂练习解：因为解：因为DEBCDEBC所以所以ADE=ABC, AED=ACBADE=ABC, AED=ACB所以所以ADE ADE ABCABC又因为又因为BD=3ADBD=3AD比比可得可得相似相似k=AD:AB=1:2k=AD:AB=1:2所以所以S SADEADE =1/4 S =1/4 SABCABC =12 =12小结小结 相似三角形的性质相似三角形的性质对应角相等、对应边成比例对应角相等、对应边成比例对应高之比、对应中线之比、对对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比应角平分线之比都等于相似比周长之比等于相似比周长之比等于相似比面积之比等于相似比的面积之比等于相似比的平方平方（你学到了什么呢？）（你学到了什么呢？）
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