陕西省安康市2021届高三数学上学期10月联考试题文₍含解析₎

陕西省安康市2021届高三数学上学期10月联考试题 文（含解析）本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算得到，再计算交集和补集得到答案.【详解】，.故选：B.2. 已知是复数的共轭复数，则（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】化简得到，再计算得到答案.【详解】，.3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为，而不能推出，故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4. 已知是第二象限角，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】先利用二倍角公式化简，再利用同角三角函数商的关系即得结果.【详解】由已知得，由题意，.故选：A.5. 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺【答案】B【解析】分析】结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.【详解】从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设公差为，前项和为所以冬至、立春、春分日影长分别为，由冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则,解得 则芒种日影长为 故选：B【点睛】本题考查等差数列的前项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.6. 已知函数的极值点为，则所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，得（），令（），则，在上单调递增，由，可得存在，使，即，进而可判断出为其极值点【详解】解：由，得（），令（），则，所以在上单调递增，因为，所以存在，使，即，当时，当时，所以为 的极大值点，所以所在的区间为，故选：C【点睛】此题考查导数的应用，考查极值点的判断，考查计算能力，属于中档题7. 定义在上的偶函数满足，且当时， ，则（ ）A. B. C. 4D. 16【答案】B【解析】【分析】由题设可得函数的周期为，从而，再利用偶函数的性质可得的值.【详解】因为，故，故函数的周期为，所以，又为偶函数，故，故，故选：B.【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性，一般地，如果函数满足，那么函数的一个周期为，本题属于中档题.8. 在平行四边形中，则（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】由条件根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得，然后转化求解即可【详解】可得，两式平方相加可得故选：9. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（ ）A. 10%B. 30%C. 60%D. 90%【答案】B【解析】【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；【详解】解：当时，当时， 约增加了30%.故选：B10. 四棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为的正方形，若四棱锥体积的最大值为54，则球O的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据四棱锥体积的最大值为54，可求得P到平面的最大距离，根据四棱锥的几何性质，即可求得球O的半径r，代入表面积公式，即可得答案.【详解】设球心到平面的距离为h，球O的半径为r，根据题意，当P到平面距离最大，即为r+h时，四棱锥的体积最大，所以，解得，又都在球面上，设平面所在圆心为，由题意得，所以，解得，所以表面积.故选：C【点睛】本题关键点在于根据体积最大值，求得P到平面的最大距离，再根据外切关系，利用勾股定理，求得半径r，考查空间想象，分析计算的能力，属中档题.11. 函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. 是图像的一条对称轴B. 图像的对称中心为C. 的解集为D. 的单调递减区间为【答案】C【解析】【分析】结合五点作图法和函数图像可求得函数解析式，采用代入检验法可依次判断各个选项得到结果.【详解】且，又，由五点作图法可得：，解得：，.对于，当时，是的对称中心，错误；对于，当时，是的对称轴，错误；对于，由得：，解得：，正确；对于，当时，当时，不是的单调递减区间，错误.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查正弦型函数的性质的判断，解决此类问题常用的方法有：（1）代入检验法：将所给单调区间、对称轴或对称中心代入，确定的值或范围，根据是否为正弦函数对应的单调区间、对称轴或对称中心来确定正误；（2）整体对应法：根据五点作图法基本原理，将整体对应正弦函数的单调区间、对称轴或对称中心，从而求得的单调区间、对称轴或对称中心.12. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则当的周长最大时，的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理将进行边化角，可得值，再结合余弦定理和基本不等式即得【详解】解析：由正弦定理得， , ，由余弦定理得：，当且仅当时取等号，此时二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知等比数列的公比为2,前n项和为,则=_.【答案】 【解析】由等比数列的定义，S4=a1a2a3a4=a2a2qa2q2，得1qq2=.14. 若函数与的图像在处有相同的切线，则_.【答案】2【解析】【分析】首先求出切点为，对，求导，根据题意得到，再解方程组即可得到答案.【详解】因为，所以切点为，且，在处有相同的切线，所以，解得，.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于简单题.15. 将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则在区间上的值域为_.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的性质进行伸缩和平移，然后，利用三角函数的单调性即可求解值域【详解】由题意得，的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，这时变为，再把得到的图像向左平移个单位长度，这时变为，所以，.故答案：16. 已知函数，若，则_.【答案】0【解析】【分析】由和相加可得 ，再把代入可得到，从而得到答案.【详解】因为， ，即，得，所以，得，则，故答案为：0三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 为检查学生学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级名新生进行了传染病防控知识测试，并从中随机抽取了份答卷，按得分区间、分别统计，绘制成频率分布直方图如下.（1）求图中的值；（2）若从高一年级名学生中随机抽取人，估计其得分不低于分的概率；（3）估计高一年级传染病防控知识测试得分的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值；（2）根据直方图可计算出事件“从高一年级名学生中随机抽取人，其得分不低于分”的概率；（3）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得出高一年级传染病防控知识测试得分的平均数.【详解】（1）由图可得，解得； （2）估计得分不低于分的概率为；（3）估计得分的平均数.18. 如图，多面体中，平面，D，E分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求平面将多面体分成上、下两部分的体积比.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用一边平行且相等，证明四边形为平行四边形，进而利用线面平行的定义即可证明；（2）利用线面垂直，分别找出上、下两部分的高，然后，利用体积公式，求出多面体分成上、下两部分的体积比【详解】解析：（1）如图，取的中点F，连接、，E、F分别是、的中点，D是的中点，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面.（2），又平面，平面，平面，同理，上、下两部分的体积比为.【点睛】（1）方法点睛：利用线面平行证明面面平行主要使用的方法有：1.三角形的中位线证线线平行；2.平行四边形证线线平行；（2）关键点睛：第（2）题解题的关键在于，找出上、下两部分锥体的高，利用线面垂直的定义来找即可，本题属于中档题.19. 已知分别为内角的对边，.（1）证明：；（2）若，求的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用辅助公式和三角函数的两角和差公式，分别求出和，进而可求证（2）利用，设，然后，利用余弦定理和三角形的面积公式求解即可【详解】解析：（1），A为锐角，.（2）由（1）知，.设，由已知得，即，解得，.【点睛】关键点睛：（1）解题的关键在于判断出，A为锐角；（2）解题的关键在于设，和利用余弦定理求出.20. 已知直线l：过抛物线E：的焦点，且与E交于A，B两点.（1）求抛物线E的方程；（2）以为直径的圆与x轴交于C，D两点，若，求k的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点在轴上，再由直线过抛物线的焦点可得焦点坐标，进而求出抛物线的方程；（2）直线方程与抛物线的方程联立可得两根之和，进而可得以为直径的圆的圆心的坐标及半径的表示，由题意求出弦长的值，再由的范围可得的范围【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点在轴上，再由直线过抛物线的焦点，令，所以，可得焦点坐标为，所以抛物线的方程为：；（2）设，联立直线与抛物线的方程，整理可得：，可得，因为过抛物线的焦点，所以以为直径的圆的圆心为，半径为，所以，解得，即或，所以的取值范围为：【点睛】本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合，属于中档题求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求a的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）时，成立，当时，问题转化为，当时，问题转化为，令，根据函数的单调性求出的范围即可【详解】解析：（1），若，则，此时单调递增；若，由得，由得，此时在单调递减，在单调递增.（2）由得，当时，显然成立；当时，令，则，在上单调递减，此时；当时，由知在时取得最小值，此时，综上可得a的取值范围是.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线：，M是上的动点，点N在射线上且满足，设点N的轨迹为.（1）写出曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为(t为参数，)，曲线截直线l所得线段的中点坐标为，求的值.【答案】（1）， ；（2）.【解析】【分析】（1）设，得到代入的方程得到，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.（2）将l的参数方程代入的直角坐标方程，求得，再结合直线参数方程的几何意义，得到，即可求解.【详解】（1）设，因为，可得，代入满足的方程，可得，即，两边同乘以并展开整理得，又由，所以的直角坐标方程为.（2）将l的参数方程代入的直角坐标方程，整理得，可得，又由直线的参数方程经过点，可得，即，即，因为，所以.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数.（1）在坐标系中画出函数图像，并写出的值域；（2）若恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）图象答案见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）分类讨论得到分段函数解析式，进而确定图像；由图像可得函数值域；（2）采用数形结合的方式，利用图像确定临界状态，由此得到所求范围.【详解】（1），其图像如图所示：由图像可得的值域为.（2）在同一坐标系中画出满足题意的，的图像，当过点时，或，由图像可知：，即实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：求解含绝对值的恒成立中的参数范围问题通常有两种方法：（1）分离参数法：根据绝对值不等式的解法先将参数分离，转化为求解函数值域问题；（3）数形结合法：利用函数图像确定临界值或临界状态，从而得到所求范围.