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8.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换 8.3傅立叶变换的性质一、基本性质二、卷积与卷积定理*三、利用Matlab实现F ourier变换18.3傅里叶变换的性质#8.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换、基本性质。在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的Fourier变换均存在，且尸9）=苗/（切，GS） =苗g（/）。对于涉及到的一些运算（如求昱、积金、极限及求和等）的次序交换问题，均不另作说明。1.线性性质直接进入基本性质汇总？性质设0为常数，则和（0+ 处=aF（0）+ bG）证明（略）38.3傅里叶变换的性质#8.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换基本性质2.位移性质性质设如5为实常数，则(1) WG=eWs);（时移性质） 旷109-5）=如几）（频移性质）#8.3傅里叶变换的性质58.3傅里叶变换的性质证明 co /a-o)i=C/a-o)e-dr令f f+7(x)e-.e-dxJ00（2）同理，可得到频移性质。#8.3傅里叶变换的性质#8.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换、基本性质2.位移性质性质设如为实常数，则(1) /a-o)l = e-ZoF(d);（时移性质） 旷109-5）=丿如几）（频移性质）#8.3傅里叶变换的性质78.3傅里叶变换的性质。时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份 的大小不发生改变，但相位发生变化；0频務性质则被用来讲行频谱搬移,这一技术在通信系统中 得到了广泛应用。第八章傅里叶变换、基本性质3. 相似性质性质设“为非零常数，则 冏/(讪二+尸. I。丿证明当。0时，金耳 丄r%)e冷肛=丄H纠 a J-a a)(2)当 a 1），则其频谱被扩展;若信号被扩展（+00证明 由 lim /（r） = 0,有 lim f（t）eja）t =0,If 1-+8IZl-+oO孑广（小訂二广=fWf +0 +Mp7（/）e%缶00 ,= /(/)=二 ja)F(a) e7dfi;= I严)(l)I = C 1(沟)FS)|e购d0第八章傅里叶变换、基本性质4.微分性质0同理，可得到像函数的导数公式 /rFSis 旷“叫讪= (-”)/(Q上式可用来求t1 f (/)的Fourier变换. 记忆 由 F(ty) = J/(r)e-dr, n 戸s = row)e-dz； *00 = |f()s)| = f+c01( 一河 J00 第八章傅里叶变换、基本性质5. 积分性质性质 若lim f /(Odr = 0,则 和)肛=丄弘) r-+cO J_Q0J8JQ)证明 令 g(0 = f /(t)dr,则 lim g(l) = O,lflT+00由微分性质有为gC) = /血G(e),又 g(r) = /(r),有孑/()=/血孑g(O, 即得肌L/W小盒158.3傅里叶变换的性质178.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换基本性质6-帕塞瓦尔Eseval）等式芽咖心幻二屮（劲讼证明由F(6y) = J/(0e-dr, zdz, 右边=- f+F(ft)-F().位移性质 和叫F（Q;（时移性质）旷/-如匸/匕.（频移性质）相似性质#8.3傅里叶变换的性质218.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换、基本性质（汇总）微分性质 和严）（切= （M）FS）;旷 1F()S) = (-)/(/)积分性质/(Z)dZ = -F(d) JG)Parseval 等式(+cf2(t)dt =f IF(fi)l2d (直接进入Parseval等式举例?)#8.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换根据线性性质和频移性质有和/（切=冠匕 ss+）+諾亦+55）例 设/（） = （）2cos4.#8.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换例 设 f(t) = t2cost,求 y/(0.解 令 g(r) = COSf,则 f(t) = t2g(t),又已知GS)=萨cos门=兀50-1)+兀59+1),根据微分，性质茄一 1G() = ()2g(0,有=兀&(G) 1)兀5(血 + 1)第八章傅里叶变换 2例求积分号笋仏的值。解 设矩形脉冲函数/(/)=(?P200 例 8.12ki)l2dd = 2zrf f2(t)dt.J00J00n空評她=2垃讪心4兀.J-oo /J-l 2由于被积函数为偶函数，故有=(O2298.3傅里叶变换的性质#8.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换二、卷积与卷积定理1 卷积的概念与运算性质定义 设函数/卫）与心在区间（-8, +上有定义，如果P200定义&2广义积分工久心/-刁氏对任何实数t都收敛，则 它在（_8,+8）上定义了一个自变量为/的函数，称此函数为AC）与心（冇的卷超，记为/1（0*/2（0,即/1(0*(0=Ol(T)/2a-T)dT.318.3傅里叶变换的性质#8.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换二、卷积与卷积定理1卷积的概念与运算性质性质交换律P201/1(0*/2(0=/2(0*/1(0-结合律/1(0*/2(0*/3(0=/1(0*/2(0*/3(0 分配律几也+厶=/d+/d(Q338.3傅里叶变换的性质；#8.3傅里叶变换的性质；第八章傅里叶变换例 设/(f) = eF%(t),其中，。0,00,且求函数和g(r)的卷积。P201例8.13解 /(f)*g(。= J/(刃g(-刃皿，当r vo 时,/(O*g(O = 0-(2)当 f0 时,/a)*g(o=/(/-T)dr= e_are(zr)drT八g)丿Tg(煖妙)/、f(r)tT358.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换0 从上面的例子可以看出P203的关键。如果采用图形方式则比较容易确定积分限。(1)在计算一些分段函数的卷积时，如何确定积分限是解题(2)卷积由反褶、平移、相乘、积分四个部分组成。即首先将函数g(&)反褶并平移到t,得到gC -刃=g(-(r-O), 再与函数相乘后求积分,得到卷积 因此，卷积又称为褶积或卷乘。另外，利用卷积满足交换律这一性质，适当地选择两个函数 的卷积次序，还可以使积分限的确定更直观一些。第八章傅里叶变换例 求函数/（）和 曲）的卷积，其中，S（r）P202例&14修改f(t)= t2u(t), g(r) =o：其它解由卷积的定义及性质有/(O * g(f) =8/(c)g(f-r)dTJ0012 tW00378.3傅里叶变换的性质#8.3傅里叶变换的性质当f 1时，/(O*g(0 = 0.398.3傅里叶变换的性质#8.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换例求函数/()和曲)的卷积，其中, /22 lt2.f(t) = t2u(t), g(r) = 10， 其它.解由卷积的定义及性质有/(O * g(f) = P/(Cg(f-r)dfJ00f+8J00(2)当 1 t2 时,/C)*g(r) =2-(Z-r)2dr=丰(3丿 g(r)2-12418.3傅里叶变换的性质#8.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换求函数/()和曲)的卷积，其中,f(t) = t2u(t), g(t) =2，lt2 时，= |(Z-l)3-(Z-2)3.438.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换丿 g(r)2-1 2例求函数/()和曲)的卷积，其中,/22 lt2,f(t) = t2u(t), g(r) = 10， 其它.解由卷积的定义及性质有/(O * g(f) = f+CfMg(t-r)drJ00W00综合得0，tl,f(t)*g(t)n 2(11)3/3,lt2.458.3傅里叶变换的性质#8.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换二、卷积与卷积定理2.卷积定理定理 设同办（。=片（劲，和/2（。=场佃人贝IJ有P203定理8.4凤/；（小心01 =耳（劲迅0）； 旷1 X S） * 巧）=271（0 兀（ (昇)(B)478.3傅里叶变换的性质证明 /1(0*/2二71 */2e%仏100W00W00二匚齐（讥如匚从y）切d “ F S） F2 S）;同理可证（B）式。第八章傅里叶变换二、卷积与卷积定理*3卷积的物理意义 = 僦过?)背景 如何从收到的实际信号中分离出“想要”的某个频带 内的信号。(2)如何从收到的实际信号中消除在传输过程中加入的 高频干扰噪声。问题 设有某信号为试将该信号的低频成份完全保留,而高频成份完全去掉,即对其进行理想低通滤波。第八章傅里叶变换二、卷积与卷积定理*3卷积的物理意义方法方法一在频率域中实现（1）求出信号/频谱函数F）（2）令H（劲血広（理想低通滤波器）10, a）a.将FS）与H（劲相乘，得到戸（劲=F（劲 HS） 对戸S）作Fourier逆变换,得到于C）=萨一】戸S）0显然，新的信号了中完全保留了原信号/中频率低于a的频率成份，而去掉了频率高于a的频率成份。518.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换二、卷积与卷积定理*3卷积的物理意义方法方法二在时间域中实现二a.sin at(2) 求 应)=荻一1日(劲=竺，-(理想低通滤波因子)711(3) 计算卷积 7(O = /(O*MO.0由卷积定理，信号了与方法一申信号7(1)是一样的, MV* 这正是卷积的意义和价值。注 H(0)与h(t)分别又称为频率响应函数与冲激响应函数。rPl#8.3傅里叶变换的性质538.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换求函数方（冇和5的卷积。f 4-00解 方法一= h(T)S(t-T)T =h(t).J00方法二 已知 5(。的 Fourier变换为 ZS) = R(f) = l，令H） =和竝几根据卷积定理有h(t) * 3(t)=帝H(o) D(a)注一般地，有（g方（一0）（2）本例的结论被用来获取或者检测系统的2t激响应唾遨。#8.3傅里叶变换的性质558.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换皿 “/、 sin。/ /、 sinbt 七亠f例设函数m）=其中，“吩0,nt求函数/（O和曲）的卷积。P203例815解 函数/和g（0均为抽样信号，其频谱分别为1，0,（oay 小3。，）=1，0,令 c =min(a 上)9则 F(a)-G(a) =0,a)c.#8.3傅里叶变换的性质根据卷积定理有7lt/ia)*/2w= _1 Fi )竹(劲=畔#8.3傅里叶变换的性质578.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换例 求 /()=atbt (a 0)的 Fourier 变换。解方法_利用卷积定理求解令 g(t) = eat u(t)，h(t) = cosbt,则 GS)=苗g(f) =a+ja)H(co)= fh(t) = 7r6(a)+b)+6(a)-b)P204 例&16匚二 (跳过?)77G(a) * 3(o+ b) + G(co)* 3(0-b) In1 1 112 L+jS+b) a+J(a)-b)a+Ja)(a + ja)2+b2#8.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换_ a+ja）（+ja）y +b例 求 /（）=atbt （a 0）的 Fourier 变换。解方法二利用频移性质求解令 g(t) = er(r),则 GS)寿g(r) =r- a + j(o根据频移性质有孑/（/） = *G（血+Z9+G（血一）ir 11 i+2 La+j（o+b） a+加一L598.3傅里叶变换的性质第八三、利用Matlab实现Fourier变换(跳过?)#8.3傅里叶变换的性质#8.3傅里叶变换的性质。在数学软件Matlab的符号演算工具箱中,提供了专用函数来进行Fourier变换与Fourier逆变换。F = fourier(f)对函数/(兀)进行Fourier变换，对并返回结果F(w)o(2) f=ifourier(F)对函数F(w)进行Fourier逆变换,对并返回结果f(X)o例 求函数/(x) = cosax的Fourier变换。八章傅里叶变换clear; syms a real;syms x; f = cos(a*x);F = fourier(f )；输出 F = pi* Dirac (w - a) + pi * Dirac (w + a)其中，Dirac为5函数，pi代表兀即 F(a) = n3(a)-a) + 3(a)+a).618.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换例求函数/（x） =解Matlab程序a ( sin a 兀、兀I ax的Fourier变换。clear;syms a real;syms x;f = a *sin(a *x)/(pi *a *x);F = fourier(f )；输出 F=l/pi*(l/2*pi*(Heaviside(-w+a)-Heaviside(w-a)-l/2*pi*(Heaviside(-w-a)-Heaviside(w+a)其中，Heaviside为单位阶跃函数，pi代表兀#8.3傅里叶变换的性质638.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换例求函数/U) = 的Fourier变换。解 输出 F=1/pi (1/2*pi*(Heaviside(-w+a)-Heaviside(w-a)-l/2*pi*(Heaviside(-w-a)-Heaviside(w+a)其中，Heaviside为单位阶跃函数，pi代表兀1 jlTT即 F(fi) = (一( + a)-M(Q-a)(u(-Q-a)-u(Q + a)71 22+心+)#8.3傅里叶变换的性质658.3傅里叶变换的性质第八章傅里叶变换例已知函数E频谱为）=亦，求）解Matlab程序clear; syms a real; syms w; F=l/(a+j*w); f = ifourier(F )；输出 f = exp (-a *x) *Hea viside (x)其中，Heaviside为单位阶跃函数，exp为指数函数。即 f (x) = Gaxu(x)=x 09x 0.#傅里叶变换40
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