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概率论与数理统计 公式(全)大蚂蚱网vvwdannzha com（1）排列 组合公式P： -从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。（m- n）C：=- 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法 和乘法原 理加法原理（两种方法均能完成此事）：n+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n 种方法來完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mXn某件爭由两个步骤来完成，第一个步骤町由m种方法完成，第二个步骤町由n 种方法來完成，则这件事可由mXn种方法来完成。（3） 一些 常见排列重复排列和非重复排列（有序） 对立班件（至少有一个）顺序问题（4）随机 试验和随 机事件如果一个试验在相同条件卜可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个, 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试脸为随机试 验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本 爭件、样本 空间和事 件在一个试验下，不管事件有多少个，总町以从其中找出这样一组爭件，它具有 如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个爭件： 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用血来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Q表示。一个爭件就是由。中的部分点（基本爭件）组成的集合。通常用大写字母A, B. C,表示事件，它们是。的子集。G为必然事件，0为不可能事件。不可能爭件（0）的概率为零，而概率为零的爭件不一定是不町能事件；同理， 必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定足必然事件。（6）事件 的关系与 运算关系：如果爭件A的组成部分也是爭件3的组成部分，（S发生必有爭件8发生）：A u B如果同时有4uB, Bn 4,则称事件M与事件8等价，或称力等于必A=BoA. 3中至少有一个发生的事件：SUB，或者S+&属于力而不属于3的部分所构成的爭件，称为川与8的差，记为力也町表示为力如或者AB,它表示力发生而方不发生的事件。A. 8同时发生：或者陋。aHb=0,则表示A与B不可能同时发生， 称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。G-A称为事件A的逆專件，或称A的对立班件，记为刁。它表示A不发生 的班件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)二(AB)C AU (BUC)二(AUB) UC分配率：(AB) UC二(AUC) A (BUC) (AUB) ClC= (AC) U (BC)CO8p| A = IJ Ai徳摩根率：冋冋AJB=ACB.= AUB(7)概率 的公理化 定义设G为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满 足下列三个条件：1 OWP(A)W1,2 P(Q) =13对于两两互不相容的琨件人，Aif有厂8、8P JA. =P(4)1丿冋常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为爭件4的概率。(8)古典 概型1 ， 2 p()=Pg、)= ()=丄。n设任一爭件A,它是由3宀叫组成的，则有尸二()u g)u u(%) = pg)+p )+p(%) m A所包含的基本事件数U基本事件总数(9)几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并II每个结果岀现的町能性均匀同时样本空 间中的每一个基本事件町以使用一个有界区域來描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一爭件A,p(A) =- o其中L为几何度量(长度、面积、体积)。1(G)(10)加法 公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)= 0 时,P (A+B) =P (A)+P (B)(11)减法 公式P (A-B) =P (A) -P (AB)当 BCA 时，P (A-B) =P (A)-P (B) 当 A二Q时，P()=l- P(B)(12)条件概率定义设A、B是两个事件,HP(A)0,则称切为事件A发生条件下，事 P(A)件B发生的条件概率，记为P(B/A)二少工。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P (Q /B)二 1 =P (万 /A)二l-P (B/A)(13)乘法 公式乘法公式：P(AB) = P(A)P(B/A)更一般地，对爭件Ai, AiA,若P (AiArArJ 0,则有P(AiAi. An) = P(Ai)P(Ai | Ai)P(A | AiAi)P(An A1A2.An - 1)* o(14)独立性 两个事件的独立性设事件力、B满足P(AB) = P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。 若事件4、相互独立，且P(A),则有P(戸)丿呛)十(历P(A)P(A) _若帀件力、拆相互独立，则可得到刁与、A与万、刁与丘也都相互独 立。必然事件。和不可能事件0与任何事件都相互独立。0与任何爭件都互斥。 多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P (CA)=P (C)P (A)并且同时满足 P (ABC)=P (A)P (B)P (C) 那么A、B、C柑互独立。对于n个事件类似。(15)全概 公式设事件Bi, B,Bn满足1 Bi,B2, ,Bn两两互不相容,p(3) 0(心，A c QB,2 日 ，则有P(A) = P(Bi)P(A | Bi)+ P(Bi)P(A | 旳)+ + P(B)P(A B)设事件b,旳，”及A满足1。 Bi, B,，3两两互不相容，P()0,心1, 2,，】,2- US P(4)0,则PQ / A) = P)P d)，口，2,f f P(巧)P(A/Q)jm(16)贝叶 斯公式此公式即为贝叶斯公式。P(BJ , (，= 1, 2,，n),通常叫先验概率。P(B. /A),(匸1, 2, 舁)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。(17)伯努 利概型我们作了畀次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或人不发生； 次试验是重复进行的，即人发生的概率每次均一样： 每次试验是独立的，即每次试验4发生与否与其他次试验4发生与 否是互不影响的。这种试脸称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用p表示每次试验4发生的概率，则久发生的概率为p=q,用p”伙)表示“重伯努利试验中力出现k(0 W 0 o2。QW(3)离散 与连续型 随机变量 的关系P(X = x) P(x X x+ dx) Jx)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论屮所起的作用与P(X = u)= 0在离 散型随机变最理论中所起的作用相类似。(4)分布 函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x) = P(X x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X ，T内的概率。分布函数具有如下性质：10 F(j) 1, -sxv+s；2F(x)是单调不减的函数，即aixz时，有F(xi) -C0x-K4F(x+0) = F(x),即 F(x)是右连续的；5 P(X = x) = F(x) - F(x- 0) o对于离散型随机变量，F(x)二工p* ：X对于连续型随机变量，F(x)= jf(x)dx o-00(5)八大 分布0-1分布P(X=l)=p, P (X=0) =q二项分布在“觅贝努里试验中，设那件A发生的概率为。爭件力发生 的次数是随机变量，设为X,则乂町能取值为0,1,2, -,/oP(X = k)= P(k) = Cpkqnk,其 中g = 1- p,0 /? 0, k = 0,1,2 -,则称随机变量X服从参数为久的泊松分布，记为X;r(2)或者 P(2)o泊松分布为二项分布的极限分布(np二入，n-*0 )。超几何分布随机变最X服从参数为n, N. M的超几何分布，记为H (n, N, M).几何分布p(x =k) =(严 p,k = 1,2,3,，其中 p$0, q=l-po随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p) o均匀分布设随机变量X的值只落在a, b内，其密度函数/(X)在a, b上为常数f1即a- a1aWxWb/W = b-a b其他，则称随机变量x在a, 分布函数为b上服从均匀分布，记为XU(a, b)o0,xbo当aWx心Wb时,X落在区间(XX2)内的概率为P( Y V X V ) J7ba指数分布r 加,xo/(x) J1 o,兀,其中几 ,则称随机变量X服从参数为兄的指数分布。X的分布函数为r 1-严，xo尸彳0J u,x 为常数，则称随机变屋X服从参数为、cr的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为XN(a，)。/(X)具有如下性质：r/(X)的图形是关于X =对称的：2当X = A时，=为最大值：,72(7若X _雌的分布换数为O O参数=、b = l时的正态分布称为标准正态分布，记为XN(O,1其童度函数记为0 = -r=e 27 Z兀,-00 x +00 ,分布函数为1 -(x) = -J= J 2 dt o(X)是不可翳H函数，其函数值，己编制成表可供查用。(-x)=1-(x)且 e (o) =丄。X 2如果则N(0,I)。PgvX(6)分位 数下分位表：P(X /za)=a)=Q。(7)函数 分布离散型己知X的分布列为XXi, X2,，9P(X = Xi) /71,卩2,，0,Y= g(X)的分布列(y,=：g()互不相等)如下：Yg(E，g(X2),g(x“),若:某&!(龙倫等，抽应蒋対需爲p和加作为g(Q的概率。连续型先利用X的概率密度f*(x)写岀Y的分布函数F,y)=P(g(X)Wy)，再利用变上下限积分的求导公式求出ft(y) o(1)联合离散型 分布如果二维随机向量？(X, Y)的所有可能取值为至多町列 个有序对(xy),则称孑为离散型随机最。设百二(X, Y)的所有可能取值为(兀，儿)(i, J = 1,2,)， 且事件/(兀，儿)的概率为屜，称P(X ,y)= (x.，儿) = Pjj (Z, j = 1,2,)为百二(X, Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用卜面的概率分布表来表示：*Xiy： X1PnP12 Pu X2P21P22 p苗 X*Pn 这里Pu貝有下面两个性质:(1) p&O (i, j=l, 2,；工工Pij = i J连续型对于二维随机向量？=(x,y),如果存在非负函数 f (X,y)(-6 X +00,-co y +co),使对任意一个其邻边 分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X, Y)|axb,cyd)有P(X,Y)wD = Jj7(x,y)dxdy,D则称g为连续型随机向量；并称f(x,y)为，(X, Y)的分布 密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x, y)具有下面两个性质：(1) f(x, y)M0;(2) 匸13/(斗)厶心=1.(2)二维 随机变呈 的本质(X = x,Y=y) = X = xnY=y)(3)联合 分布函数设(X, Y)为二维随机变量，对于任总实数X, y,-元函数F(x,y)=PXx,y 刃称为二维随机向屋(X, Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函 数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 (，)卜s X(col)-co y(69:) y)的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)fl有以下的基本性质：(1) 0F(x,y) &时,有 F (x：, y) MF(X1, y);当 y2y】时，有 F (x, y2) MF (x, yj ;(3) F (x, y)分别对x和y是右连续的，即F(x, y) = F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0);(4) F(-oo,-co) = F(-co,y)=尸(x,一co) = 0,F(+s,+s) = 1.(5) 对于X x2, y1 y2,尸(兀，2)一尸(心，儿)一尸(兀，儿)+尸(兀，)i)n(4)离散 型与连续 型的关系P(X = x, Y = y) P(x X x + dx, y Y 0,q 0,|p| 1是5个参数,则称（X, Y）服从二维正态分布，记为（X, Y）N （“I，? of,CT；,p）.由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，即XN （角,于）,丫仏2&）.但是若XN （jCrjY-NUSg；）, （X, Y）未必是二维正态分布。（10）函数 分布Z=X+Y根据定义计算:Fzu）= p（zz）= p（x + r 0,/（“） = 2珂另0,u 0.我们称随机变量W服从口由度为n的2?分布，记为WZ2 00 , 其中14概率论与数理统计 公式（全）大蚂蚱网vvwdannzha com所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设匕-才仇），则kz=Y乙才（耳+耳+ +）|1t分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，且xN（o,i）,yFoo,可以证明函数XVFTn+ n/n+1(-CO n E（X）“（要求绝对收敛）设X是连续型随机变量，其概率密度为f（x）,E（X）= jxf （x）dx-, kKD(X)= Jx-E(X)2/W-co#概率论与数理统计 公式（全）大蚂蚱网vvwdannzha com矩 对于F整数k,称随机变最X 的k次呈的数学期塑为X的k 阶原点矩，记为5即vk=E(X*)=工 Pi ,ik=l, 2, . 对于正整数k,称随机变量X 与E (X)差的k次幕的数学期望为X的k阶中心矩，记为角, 即A= E(X - E(X)k=工(兀一 E(X)S ik=l, 2, 对于正整数k,称随机变量X的 k次幕的数学期里为X的k阶原点 矩，记为J即v,=E() = xkf(x)dxk=l, 2, 对于正整数k,称随机变量X与 E (X)差的k次幕的数学期望为X的k阶中心矩，记为即山=E(X - E(XA= x-E(X)kf(.x)dx,k=l, 2, 切比雪夫不等式设随机变MX JL有数学期塑E(X)二U,方差D (X) =02,则对于 任意正数 ,有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P(|X - )的一种估计，它在理论上有重要意义。(2) 期望 的性 质(1) E (C) =C(2) E(CX) =CE (X)nn(3) E(X+Y) =E(X) +E(Y), E(工C”X J =工 CE(X Ji=iz=i(4) E(XY) =E(X) E(Y),充分条件:X 和 Y 独立；充要条件：X和Y不相关。(3) 方差 的性 质(1) D(C)=O： E (0 =C(2) D(aX) =at)(X):E(aX) =aE(X)(3) D(aX+b)= a：D (X): E(aX+b)=aE (X)+b(4) D(X)=E (X2) -E: (X)(5) D(X土Y)二D(X)+D(Y),充分条件：X 和 Y 独立：充要条件：X和Y不相关。D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。 而E (X+Y)二E (X)+E (Y),无条件成立。(4) 常见 分布期望方差0-1 分布 BQ,p)Pp(l- p)的期 望和 方差二项分布B (n, p)np”pQ- p)泊松分布P(；l)2A几何分布G(p)1P1_ PP2超几何分布HgM,N)nMNnM T MYN-nN I N)n-1)均匀分布U(a,b)a + b2(b-a)212指数分布呛)1I1T正态分布N (/z,2)/- 2(5) 二维 随机 变量 的数 字特 征期望E(X) = d”1=1KOE(X)= J xfx (x)dx-COE(Y)=jyfY(y)dy-co函数的期望G(X,r) = 工工G(兀，儿)P ,.iD(Y)xj-E(Y)yP.j jKoD(X)= Jx-E(X)2AW-D(y)= 7.v-(y)r/rmJ-coL19概率论与数理统计 公式（全）大蚂蚱网vvwdannzha com协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩“n为X与Y的协方差或相关矩，记为o刘或cov(x,y),即6丫 = “口 =耳(X - E(X)(Y -与记号O灯相对应，X与Y的方差D (X)与D (Y)也可分别记为% 与 bjy 相关系数对于随机变量X与Y,如果D (X) 0, D(Y)0,则称XYW(X)JD(Y)为X与Y的相关系数，记作(有时可简记为)。1 P 11,Sip 1=1 时称X 与 Y 完全相关：P(X = aY + b) = 亠全相关j正相关，当 = 1时(。0)， 负相关，为卩=-1时(o 0)而当p= 0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的： Pxr = 0 1 cov(X, Y)二0; E(XY)二 E (X)E(Y); D(X+Y)二D(XHD(Y);D (X-Y) =D (X) +D (Y).协方差矩阵b XX11知 YY J混合矩对于随机变量X与Y,如果有E(XkYr)存在，则称之为X与Y的 斤幻阶混合原点矩，记为匕/； A幻阶混合中心矩记为：(6) 协方 差的 性质(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX, bY)=ab cov(X, Y);(iii) cov(Xi+X2, Y)=cov(Xx, Y)+cov CG, Y);(lv)cov (X, Y)二E (XY) -E (X)E (Y).(7) 独立 和不 相关(1)若随机变量X与Y相互独立，则p“=0；反之不真。(ii)若(X, Y)N (“”角。；,。)，则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。(1)大数定律X/i切比雪夫人数设随机变最X- 相互独立，均貝有有限方差，且被同一 常数C所界：D(X),是相互独立同分布的随机变量序列，且E 数定律 (XJ二U ,则对于任意的正数有L#概率论与数理统计 公式（全）大蚂蚱网vvwdannzha comL#概率论与数理统计 公式（全）大蚂蚱网vvwdannzha comL#概率论与数理统计 公式（全）大蚂蚱网vvwdannzha com（2）中心极限定列维一设随机变量X：, X相互独立.HI支从同一分布，且具有理林德伯相 同的数学期超和方差 ：X-7V (/)H格定理E(X J = “, D(X )=a1 工 0 伙=1,2, ),则随机变量nY _ 1=1的分布函数丘（龙）対任意的实数X,有liin Fn (x) = lun Pco X x* - w g%= -%此定理也称为独立同另卜布的中心极限定理。棣莫弗一拉普设随机变呈X”为只有参数n, p（Opcox” - w 叩Q- p)%.（3）二项定理若当Nts时，一-p（儿k不变），则Nk 厂ML*Dk厂fin卩J N(1-旷(N co).超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理若当h s时,np /I 0 ,则亠 k- co).其中 k-0, 1, 2二项分布的极限分布为泊松分布。（1）数理 统计的基 本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全 体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随 机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。L22概率论与数理统计 公式（全）大蚂蚱网vvwdannzha com样本我们把从总体中抽取的部分样品呂,称为样本。样本 中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在-般情况下， 总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机 变呈，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结 果时，兀，,表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，旺,兀,，兀表示n个具体的数值（样本值）。我们 称之为样本的两重性。样本函数和 统计量设“2,，兀为总体的一个样本,称0=0（山入,，心）为样本函数，其中0为一个连续函数。如果0中不包含任何未 知参数，则称0 （坷,兀,心）为一个统计量。常见统计量 及其性质样本均值n丄y X,.样本方差样本标准差S-I 1 Y(-x)2.样本k阶原点矩M严丄土斤,1,2,.川r =l样本k阶中心矩1 n_M； = _，(e - x)k yk = 23 ” )-；ni 一 1 /-In2 一 1(-1F(n1 -lji, - 1)表示第一自由度为-1 ,第二自由度为一 1的F分布。(3)正态 总体下分 布的性质片与S，独立。点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数”2,则其分布函数川以表成F（x；G，&2,盅）.它的k阶原点矩叫=E（X）（k = 1,2,I）中也 包含了未知参数，盅，即坯二坯,2,久）。又设 “2，,为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为丄丈# （ 1,2,加）.这样，我们按照“当参数等于其估计最时，总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程，即有叫（&，&，） =丄 兀，1=11=1由上面的m个方程中，解出的m个未知参数（玄魚，丄）即为参数 （久2,0”）的矩估计量。若各为&的矩估计,g（x）为连续函数,则g）为g（0）的矩估计。极大似 然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为/（x；q,G,久），其中屛 为未知参数。又设石，禺，,E为总体的一个样本,称L , G，G，盅）1=1为样本的似然函数，简记为厶当总体X为离型随机变量时，设其分布律为PX = X)= p(6,，&，比）则称厶（呂,兀，,x”；q,2,易) = flpa；q ,G,，久)/=1为样本的似然函数。若似然函数厶（召,XAAAM；q,G,，盅）在。，吐处取到最人值，则称必,以，,3,”分别为，盅的最衣似然估计值，相应的统计量称为垠大似然估计量。讥”=0,/ = 1,2,，加de,若3为&的极人似然估计， 似然估计。g（E为单调函数，则g为g（&）的极大（2）估 计量的 评选标 准无偏性AAA设8=8（曲/2,，忑）为未知参数&的估计最。若E （0）二0,则称A&为&的无偏估计屋。E ( X ) =E (X), E (S:) =D (X)有效性AAAA设Oi = Oxx,2x和= 02(“川2 ,)是未知参数&的两个无偏估计量。若D（）i），则称矗比N有效。一致性设是&的一串估计量，如果对于任意的正数，都有liniP( 6n- 0= 0,T8则称为。的一致估计量(或相合估计量)。若3为&的无偏估计，且D)t0(”ts),则3为。的一致估计。 只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。(3)区间估计置信区 间和置 信度设总体X含有一个待估的未知参数&。如果我们从样本旺,兀,X”出 发，找出两个统计量 q =2,，牙”)与2 =2(X,X，2 ,X”)(G 2)，使得区间q,Q以 l-a(0al)的概率包含这个待估参数0,即Pq ee, = -ay那么称区间G,4为e的置信区间，1-G为该区间的盘信度(或置信水平)。单止态 总体的 期望和 方差的 区间估 计设兀,心，,心为总体XNU厶丹)的一个样本，在置信度为1-Q 下，我们来确定“和的置信区间q,Q。具体步骤如下：(i) 选择样本函数；(ii) 由置信度1-6Z,查表找分位数：(ill)导出置信区间0M，已知方差，估计均值(i) 选择样本函数u = _ N(0,1).CT。/(ii) 查表找分位数 Z -W = V （” 一 1）.（ii）査表找分位数:（n - 1）52 刁）_P 兄(或时否定仏 否则认为弘 相容。两类错误第一类错误当忆为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的 检验法则，应当否定必。这时，我们把客观上禺成立判为 弘为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真 当假”的错误或第一类错误，记Q为犯此类错误的概率，即 P否定4凶为真） = ;此处的a恰好为检验水平。第二类错谋当必为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的 检验法则，应当接受廉这时，我们把客观上於。不成立判 为从成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记0为犯此类错误的概率，即P接受忆|必为真二卩。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当 容量n 定时，a变小，则0变大：相反地，0变小，则a 变人。取定a要想使0变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概 率，即给定显著性水平a。a人小的选取应根据实际情况而 定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则 应把a取得很小，如0.01,甚至0. 0010反之，则应把a取 得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件零假设统计量对应样本 函数分布否定域己知亍Hj 卩=“U = N (0, 1)a1 ylt rw未知Hq A “s/亦W - 1)|f a(-1)1f f IP (n - 1)H。 A /z0/ -G-a (” - 1)未知HQ :a2- a1JAT2 (/ 一 1)w K：za(n-l)H *W (/?- 1)a1 gW K： (/?- 1)31
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