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1.5.3 定 积 分 的 概 念观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 观 察 下 列 演 示 过 程 ， 注 意 当 分 割 加 细 时 ，矩 形 面 积 和 与 曲 边 梯 形 面 积 的 关 系 求 由 连 续 曲 线 y=f(x)对 应 的 曲 边 梯 形 面 积 的 方 法 (2)取 近 似 求 和 :任 取 xixi-1, xi， 第 i个 小 曲 边 梯 形 的 面 积 用高 为 f(xi)而 宽 为 Dx的 小 矩 形 面 积f(xi)Dx近 似 之 。 (3)取 极 限 :， 所 求 曲 边 梯 形 的面 积 S为 取 n个 小 矩 形 面 积 的 和 作 为 曲 边 梯形 面 积 S的 近 似 值 ：xi y=f(x) x yO ba xi+1xi xD1lim ( )n in iS f xx = D 1 ( )n iiS f xx= D (1)分 割 :在 区 间 0,1上 等 间 隔 地 插 入 n-1个 点 ,将 它 等 分 成n个 小 区 间 : 每 个 小 区 间 宽 度 x b an-= 1 1 2 1 1, , , , , , , , ,i i na x x x x x x b- - 一 、 定 积 分 的 定 义 1 1( ) ( )n ni ii i b af x f nx x= = -D = 小 矩 形 面 积 和 S=如 果 当 n时 ， S 的 无 限 接 近 某 个 常 数 ，这 个 常 数 为 函 数 f(x)在 区 间 a, b上 的 定 积 分 ， 记 作 baf (x)dx， 即 baf (x)dx = = ni 10limf (x i)Dxi。 从 求 曲 边 梯 形 面 积 S的 过 程 中 可 以 看 出 ,通 过 “ 四 步曲 ” :分 割 -近 似 代 替 -求 和 -取 极 限 得 到 解 决 .1( ) lim ( )n in i b af x dx fn x = -= ba即定 积 分 的 定 义 ：定 积 分 的 相 关 名 称 ： 叫 做 积 分 号 ， f(x) 叫 做 被 积 函 数 ， f(x)dx 叫 做 被 积 表 达 式 ， x 叫 做 积 分 变 量 ， a 叫 做 积 分 下 限 ， b 叫 做 积 分 上 限 ， a, b 叫 做 积 分 区 间 。 1( ) lim ( )n in i b af x dx fn x = -= ba即 O a b xy )(xfy = =ba Idxxf )( iini xf D= )(lim 10 x被积函数 被积表达式 积分变量积 分 下 限积 分 上 限 S=ba f (x)dx； 按 定 积 分 的 定 义 ， 有 (1) 由 连 续 曲 线 y=f(x) (f(x)0) ， 直 线 x=a、 x=b及 x轴所 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 为 (2) 设 物 体 运 动 的 速 度 v=v(t)， 则 此 物 体 在 时 间 区 间a, b内 运 动 的 距 离 s为 s=ba v(t)dt。 定 积 分 的 定 义 ：O a b( )v v t= tv1( ) lim ( )n in i b af x dx fn x = -= ba即1 1 20 0 1( ) 3S f x dx x dx= = = 根 据 定 积 分 的 定 义 右 边 图 形 的 面 积 为 1 x yO f(x)=x2 13S =1SD 2SD 2( ) 2v t t= - +Ov t12 ggg g gg3SD jSD nSD1n 2n 3n jn 1n n-4SD 1 1 20 0 5( ) ( 2) 3S v t dt t dt= = - = 根 据 定 积 分 的 定 义 左 边 图 形 的 面 积 为baf(x)dx = baf (t)dt = baf(u)du。 说 明 ： (1) 定 积 分 是 一 个 数 值 , 它 只 与 被 积 函 数 及 积 分 区 间 有 关 ， 而 与 积 分 变 量 的 记 法 无 关 ， 即（ 2） 定 义 中 区 间 的 分 法 和 xi的 取 法 是 任 意 的 . ba f(x)dx = baf (x)dx -(3)(2)定 积 分 的 几 何 意 义 ：O x y a b y=f (x)baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 x=a、 x=b与 x轴 所 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 。 当 f(x)0时 ， 积 分 dxxfba )( 在 几 何 上 表 示 由 y=f (x)、 特 别 地 ， 当 a=b 时 ， 有 baf (x)dx=0。 当 f(x)0时 ， 由 y=f (x)、 x=a、 x=b 与 x 轴 所 围 成 的 曲边 梯 形 位 于 x 轴 的 下 方 ， x yOdxxfS ba )(-=-，dxxfba )( a b y=f (x) y=-f (x)dxxfS ba )(-=baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 =-S上 述 曲 边 梯 形 面 积 的 负 值 。 定 积 分 的 几 何 意 义 ：积 分 baf (x)dx 在 几 何 上 表 示 baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 =-Sa b y=f (x)O x y ( )y g x=探 究 :根 据 定 积 分 的 几 何 意 义 ,如 何 用 定 积 分 表 示 图 中 阴 影 部 分 的面 积 ? a 1 )baS f d x= 1 2 ( ) ( )b ba aS S S f xdx g xdx= - = - 2 ( )baS g x dx=三 : 定 积 分 的 基 本 性 质 性 质 1. dx)x(g)x(fba = ba ba dx)x(gdx)x(f性 质 2. ba dx)x(kf = ba dx)x(fk三 : 定 积 分 的 基 本 性 质 定 积 分 关 于 积 分 区 间 具 有 可 加 性 = bccaba dx)x(fdx)x(fdx)x(f 性 质 3. = 21 21 cc bccaba dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f O x ya b y=f (x)性 质 3 不 论 a， b， c的 相 对 位 置 如 何 都 有a b y=f(x)baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 ba f (x)dx =caf (x)dx bcf (x)dx。 ba f (x)dx =ca f (x)dxbc f (x)dx。 cO x ybaf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 例 1： 利 用 定 积 分 的 定 义 ,计 算 的 值 . 1 30 x d x 作 业 ： 组 （ ） 组 练 习 ： - 组 ， 组 ， ，
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