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三角形作辅助性方法大全1. 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出 来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题 例：已知 D ABC内任一点，求证：/ BDC /BAC 证法（一）：延长BD交AC于E,/ BDC EDC 的外角，/ BDC / DEC 同理：/ DEC Z BAC / BDC Z BAC证法（二）：连结AD，并延长交BC于F/ BDF是厶ABD的外角，/ BDF Z BAD 同理/ CDF Z CAD/ BDF +Z CDF Z BAD +Z CAD 即：/ BDC Z BAC2. 有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形例：已知，如图， AD ABC的中线且/ 1 = / 2,/ 3 = / 4, 求证：BE + CF EF=DC证明：在 DA上截取DN = DB，连结NE、NF，贝U DN 在厶BDE和厶NDE中，DN = DB/ 1 = / 2ED = ED BE = NE同理可证：CF = NF 在厶 EFN 中, EN + FN EF BE + CF EF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形例：已知，如图， AD ABC的中线，且/ 1 = / 2, / 3 = / 4,求证：BE + CFEF 证明：延长 ED至U M，使DM = DE，连结 CM、FM BDE和厶CDM 中，BD = CD/ 1 = / 5ED = MD BDE CDM CM = BE又/ 1 = / 2, / 3 = / 4/ 1 + / 2 +/ 3 + / 4 = 180 / 3 +Z 2 = 90oCM即/ EDF = 900 / FDM = / EDF = 90 0 EDF和厶MDF中ED = MD/ FDM = / EDFDF = DF EDF MDF EF = MF在 CMF 中，CF+ CM MFBE + CF EF（此题也可加倍 FD，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图， AD ABC的中线，求证： AB + AC 2AD证明：延长AD至E，使DE = AD，连结BE/ ADABC的中线 BD = CD在厶ACD和厶EBD中BD = CD / 1 = / 2AD = ED ACD EBD/ ABE 中有 AB + BE AEAB + AC 2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段; 补短法：延长较短线段和较长线段相等这两种方法统称截长补短法当已知或求证中涉及到线段 a b a 3 = c a 3 = ci如图，在 ABC 中，AB AC，/AB AC PB PC截长法： 在AB上截取 AN = AC在厶APN和厶APC中，AN = AC/ 1 = / 2例：已知，求证:证明:a、 b、c、d有下列情况之一时用此种方法:=/ 2, P为AD上任一点,连结PNAP = AP APN APC PC = PN/ BPN 中有 PB PCv BN PB PCv AB AC补短法： 延长AC至M，使AM = AB，连结PM在厶ABP和厶AMP中MAB = AM/ 1 = / 2AP = AP ABP AMP PB = PM又:在 PCM 中有 CM PM PC AB AC PB PC练习：1.已知，在 ABC中，/ B = 60o,AD、CE是厶ABC的角平分线,并且它们交于点 0求证：AC = AE + CD2已知，如图，AB / CD / 1 = / 2，/3 = / 4.求证：BC = AB + CD6.证明两条线段相等的步骤： 观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所 在的三角形全等. 如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，已知，BE、CD相交于F，/ B = / C ,Z 1 = / 2，求证：DF = EF证明：I/ ADF = / B +Z 3/ AEF = / C+Z 4又/ 3 = / 4/ B = / C / ADF = / AEF 在厶ADF和厶AEF中 / ADF = / AEF/ 1 = / 2AF = AF ADF AEF DF = EF7.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图Rt ABC中，AB = AC , / BAC = 90,过A作任一条直线 AN ,作BD丄AN于D,证明：CE 丄 AN 于 E，求证：DE = BD CE / BAC = 90 , BD 丄 AN/ 1 + / 2 = 90/ 1 + / 3 = 90 / 2 =/3/ BD 丄 ANCE 丄 AN / BDA = / AEC = 90 在厶ABD和厶CAE中，ABE/ BDA = / AEC/ 2 = / 3AB = AC ABD CAE BD = AE 且 AD = CE AE AD = BD CE DE = BD CE8. 三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等例：AD ABC的中线，且 CF丄AD于F, BE丄AD的延长线于 E 求证：BE = CF证明：（略）FCF9. 条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知 AC = BD , AD丄AC于A , BCBD于B 求证：AD = BC证明：分别延长 DA、CB交于点E/ AD 丄 ACBC 丄 BD/ CAE = / DBE = 90 0 在厶DBE和厶CAE中EAB/ DBE = / CAEBD = AC/ E = / E DBE CAE ED = EC , EB = EA ED EA = EC EB AD = BC10. 连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题 例：已知，如图， AB / CD , AD / BC求证：AB = CD证明：连结AC （或BD）/ AB / CD , AD / BC1=/2在厶ABC和厶CDA中,/ 1 = / 2AC = CA/ 3 = / 4 ABC CDAECB AB = CD练习：已知，如图， AB = DC , AD = BC , DE = BF ,F求证：BE = DF11. 有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为角分垂等腰归”.例：已知，如图，在 Rt ABC 中，AB = AC，/ BAC = 90 o,Z 1 = / 2 , CE丄 BD 的延长 线于E求证：BD = 2CE证明：分别延长 BA、CE交于F/ BE 丄 CF/ BEF = / BEC = 90 在厶BEF和厶BEC中BE = BE/ BEF = / BEC1 CE = FE = CF2/ BAC = 90 , BE 丄 CF/ BAC = / CAF = 90 / 1 + Z BDA = 90 / 1 + Z BFC = 90/ BDA = / BFC 在厶ABD和厶ACF中AB = AC ABD ACF BD = CF BD = 2CE练习：已知，如图，Z ACB = 3 Z B ,Z 1 = Z 2,CD丄AD于D ,求证：AB AC = 2CD12. 当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形例：已知，如图， AC、BD相交于 O,且AB = DC , AC = BD , 求证：Z A = Z D证明：（连结BC ,过程略）13. 当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件 例：已知，如图，AB = DC , Z A = Z D求证：Z ABC = Z DCB证明：分别取 AD、BC中点N、M , 连结NB、NM、NC （过程略）14. 有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，禾U用角平分线上的点到角两边距 离相等证题.证明：过P作PE丄BA于E例：已知，如图，/ 1 = / 2 , P为BN上一点，且 PD丄BC于D, AB + BC = 2BD , 求证：/ BAP + Z BCP = 180/ PD丄 BC,/ 1 = / 2 PE = PD在 Rt BPE 和 Rt BPD 中BP = BPPE = PD Rt BPE 也 Rt BPD BE = BD/ AB + BC = 2BD , BC = CD + BD , AB = BE AE AE = CD/ PE 丄 BE, PD 丄 BC/ PEB = / PDC = 90在厶PEA和厶PDC中PE = PD/ PEB = / PDCAE =CD PEA PDC / PCB = / EAP/ BAP +Z EAP = 180 / BAP +Z BCP = 180练习：1已知，如图，PA、PC分别是 ABC夕卜角/ MAC与/ NCA的平分线，它们交于 P,PD丄BM于M , PF丄BN于F，求证：BP为/ MBN的平分线2.已知，如图，在 ABC 中，/ ABC =100 ,/ ACB = 20, CE 是/ ACB 的平分线, D是AC上一点，若/ CBD = 20 ,求/ CED的度数。B15. 有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD丄AC于D ,求证：/ BAC = 2 / DBC1证明：（方法一）作/ BAC的平分线 AE，交BC于E,则/ 1 = / 2 =/ BAC2又 AB = AC AE 丄 BC/ 2 +Z ACB = 90 BD 丄 AC / DBC + Z ACB = 90 / BAC = 2 / DBC（方法二）过 A作AE丄BC于E （过程略）（方法三）取 BC中点E,连结AE （过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图， ABC中，AB = AC , D为BC中点，DE丄AB于E, DF丄AC于F,求证：DE = DF 证明：连结AD./ D为BC中点， BD = CD又 AB =AC AD 平分/ BAC / DE 丄 AB , DF 丄 AC DE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图， ABC中，AB = AC，在BA延长线和 AC上各取一点 E、F，使AE=AF ,证明：延长求证：EF丄BCBE 至U N，使 AN = AB,连结 CN,贝U AB = AN = ACB = / ACB, / ACN = / ANCB + Z ACB +Z ACN +Z ANC = 180 0 2 / BCA + 2 / ACN = 180 0 / BCA +Z ACN = 90 0即/ BCN = 90 0 NC 丄 BC / AE = AF / AEF = / AFE又/ BAC = / AEF +Z AFE/ BAC = / ACN +Z ANC / BAC =2 / AEF = 2 / ANC / AEF = / ANC EF/ NC EF BC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在 ABC中，AB = AC , D在AB上，E在AC延长线上，且 BD = CE , 连结DE交BC于F求证：DF = EF证明：（证法一）过 D 作 DN / AE，交 BC 于 N，则/ DNB = / ACB，/ NDE = Z E,/ AB = AC ,Z B = Z ACBEEZ B = Z DNB BD = DN又 BD = CE DN = EC在厶DNF和厶ECF中Z 1 = Z 2Z NDF = Z EDN = EC DNF ECF DF = EF（证法二）过 E作EM / AB交BC延长线于 M,则Z EMB = Z B （过程略） 常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图， ABC中，AB =AC , E在AC上，D在BA延长线上，且 AD = AE , 连结DEN D求证：DE丄BC 证明：（证法一）过点E作EF / BC交AB于F,则ZAFE = Z BZ AEF = Z C / AB = AC Z B=Z C Z AFE = Z AEF/ AD = AE Z AED = Z ADE又tZ AFE + Z AEF + Z AED + Z ADE = 180 2 Z AEF + 2 Z AED = 90 即Z FED = 90 DE 丄 FE又 EF / BC DE 丄 BC（证法二）过点 D作DN / BC交CA的延长线于N ,（过程略）（证法三）过点 A作AM / BC交DE于M ,（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图， ABC 中，AB = AC , Z BAC = 80 ,P 为形内一点，若Z PBC = 10 Z PCB = 30 求Z PAB 的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结 CE则Z BAE = Z ABE = 60AE = AB = BE/ AB = AC AE = ACZ ABC = Z ACB Z AEC =Z ACEvZ EAC =Z BAC Z BAE=80 60 = 20 Z ACE =1(180Z EAC)= 802vZ ACB=1-(180Z BAC)= 502 Z BCE =ZACE Z ACB_ _ UC=80 50 = 30vZ PCB =30 Z PCB =Z BCEvZ ABC =Z ACB = 50 , Z ABE = Z EBC =ZABE Z ABC = 60-vZ PBC =10 Z PBC =Z EBC在厶PBC和厶EBC中60 -50 =10BC = BC BP = BE / AB = BE AB = BP/ ABP = / ABC -Z PBC = 50 10 = 401 Z PAB =(180Z ABP)= 70 2解法二:解法三:以AC为一边作等边三角形，证法同一。以BC为一边作等边三角形 BCE，连结AE,则EB = EC = BC , Z BEC = Z EBC = 60 / EB = EC E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上 EA所在的直线是BC的中垂线 EA 丄 BC1Z AEB = Z BEC = 30 = Z PCB2由解法一知：Z ABC = 50 Z ABE = Z EBC Z ABC = 10 = Z PBC-/ ABE = / PBC,BE = BC, / AEB = / PCB . ABE PBC AB = BP/ ABP = / ABC -Z PBC = 50o- 10 = 4011Z PAB =(180 -Z ABP) =(180 - 40)= 70 2216. 有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在 ABC 中，Z 1 = Z 2,Z ABC = 2 Z C,求证：AB + BD = AC证明：延长AB至U E，使 BE = BD，连结DE则Z BED = Z BDEvZ ABD = Z E+Z BDE Z ABC =2 Z EvZ ABC = 2 Z C Z E= Z C在厶AED和厶ACD中AD = AD AED ACDZ E = Z C AC = AE/ AE = AB + BE AC = AB + BE即 AB + BD = AC平分二倍角 例：已知， 求证： 证明：如图，在Z ABC =作Z BACABC 中，BD 丄 AC 于 D , Z BAC = 2 Z ACBZ DBC的平分线 AE交BC于E,则Z BAE = BD 丄 ACZ CAE = Z DBCBCZ DBCZ CBD +Z C = 90Z CAE +Z C= 90 Z AEC= 180-Z CAE-Z C= 90 AE 丄 BC Z ABC +Z BAE = 90 Z CAE +Z C= 90Z BAE = Z CAE Z ABC = Z ACB加倍小角例：已知，如图，在 ABC中，BD丄AC于D , Z BAC = 2 求证：Z ABC = Z ACB证明：作Z FBD = Z DBC,BF交AC于F （过程略）BC17.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来例：已知，如图， ABC 中，AB = AC , Z BAC = 120,BC于F，交AB于E1求证：BF = FC2证明：连结AF，贝U AF = BF Z B = Z FAB/ AB = AC ZZEF为AB的垂直平分线， EF交B = Z CBAC = 120 1B = Z CZ BAC =(180Z BAC) = 30 2FAB = 30 FAC = Z BAC -Z FAB = 12030 =90AL1 AF = FC21- BF = FC2练习：已知，如图，在 ABC中，Z CABDM丄AB于M , DN丄AC延长线于 求证：BM = CN的平分线AD与BC的垂直平分线 DE交于点D ,18.有垂直时常构造垂直平分线 例：已知，求证：证明：如图，在 ABC中，Z B =2 Z C, AD丄BC于DCD = AB + BD(一)在 CD上截取 DE = DB，连结 AE，贝U AB = AE Z B = Z AEB/ B = 2 / C/ AEB = 2 / C又/ AEB = / C+Z EAC/ C = Z EAC AE = CE又 CD = DE + CE . CD = BD + AB（二）延长 CB至U F，使DF = DC，连 结AF则AF =AC （过程略）（三）19.有中点时常构造垂直平分线 .例：已知，如图，在 ABC 中，BC = 2AB, / ABC = 2 / C,BD = CD 求证： ABC为直角三角形证明：过 D作DE丄BC,交AC于E,连结 BE,贝U BE = CE , / C = / EBC/ BC = 2AB , BD = CD BD = AB在厶ABE和厶DBE中AB = BD/ ABE = / EBCBE = BE/ BDE = 90 0/ BAE = 90 0即厶ABC为直角三角形20.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题 例：已知，如图，在 ABC中，/ A = 90, DE为BC的垂直平分线求证：BE2AE2 = AC2证明：连结 CE,贝U BE = CE/ A=90 AE2+ AC2=EC2 AE2+ ac2=BE2 BE2AE2 :=AC2练习：已知，如图，在厶ABC 中,求证:2PB22+ PC2=22PA/ BAC = 90 o, AB = AC , P 为 BC 上一点21.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中例：已知，如图，在 ABC 中，/ B = 45,/ C = 30, AB = .2，求 AC 的长.解：过A作AD丄BC于D/ B + / BAD = 90 ,/ B = 45,/ B = / BAD = 45 , AD = BD/AB2 = AD2+ BD2, AB =2 AD = 1/ C = 30, AD 丄 BC AC = 2AD = 2
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