整式乘法及因式分解

高 青 金 钥 匙 培 训 学 校 成 功 整式的乘法 同 底 数 幂 的 乘 法 : am.an=am+n幂 的 乘 方 ： (am)n=amn积 的 乘 方 : (ab)n=anbn预备知识 1.单 项 式 乘 以 单 项 式 ： 把 它 们 的 系 数 、 同 底 数 的 幂 分 别 相乘 ， 对 于 只 在 一 个 单 项 式 里 出 现 的字 母 连 同 它 的 指 数 作 为 积 的 一 个 因式 。 如 4a2yx5.(-3ab2x)2.单 项 式 乘 以 多 项 式 ： 转 化 单 项 式 乘 以 单 项 式m(a+b+c)=ma+mb+mc 再 如 （ ab2-2ab). ab32 21如 （ -4x2).(2x-y-1)3.多 项 式 乘 以 多 项 式 ： 转 化 单 项 式 乘 以 多 项 式 (a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn如 (x-y)(x 2+xy+y2) 相 反 变 形难 点 am+n=am.anamn=(am)nan.bn=(ab)n 想一想 a2 a3 a5+ =(1) a2aa2 =(2)(x-y)2(y-x)5=(x-y)7(8) x2( )3=x5(4) 47(6) (-5) (-5)=511 (-3)233= (-3)5(7)2(5) 35a2a=10a6(3)a3a3=2a3 练 习 一1.计 算(1)100.10m+1.10m-2 (2)an+2.an+1.an.a2(3)(102)3 (4)(xy3n)2+(xy6)n (5)-p.(-p)4(6)(b+2)2(b+2)5(b+2) (7)(a-2b)3(b-2a)4(8)(-a2.(-a4b3)2)3 (9)(x-2y)2(y-2x)3注 意 ： 通 过 以 上 练 习 可 知 ， 公 式 中 的a既 可 以 是 一 个 数 也 可 以 是 一 个 字 母 ，也 可 以 是 一 个 代 数 式 。 2.(1).- x2y2. xyz (2)( a2+ab-0.6b2).(- a2b2)(3)(2x+y)(x-3y) (4)3y(y2+4y+4)-y(y-3)(3y+4)(5)(2m-3n)(3m-4n) (6)若 ab2=-1,则 -ab(a2b5-ab3-b)的 值 是 多 少 ？4332 23 34 比 一 比 算计(1) 3x2( )3-7x3 x3-x4x2+1( )a2( )-2b2 a+2b( )-2ab(a-b)(2) 先 化 简 ， 再 求 值 :其 中 a=1,b= 21 . 公 式 的 逆 向 使 用nmnm aaa mnnmmn aaa ba ba ba 32 32 10102 101 710410 ） （ ） （ ， 求 下 列 各 式 的 值， 已 知（ 3） 已 知 2m=3， 2n=5， 求 23m+2n+2的 值 . 1、 若 10 x=5,10y=4,求 102x+3y+1 的 值 .2、 计 算 ： 0.251000 （ -2） 20016701004 )271()9.(3 注意点：（ 1） 指 数 ： 相 加 底 数 相 乘转化（ 2） 指 数 ： 乘 法 幂 的 乘 方转化（ 3） 底 数 ： 不 同 底 数 同 底 数转化 （ 3） （ 1） 0 12516( 8) 17；（ 2）逆 用 公 式 即 baab nnn ）（ ）（ abba nnn 5050 505050 93 12443 31515 )2(125.0 公 式 的 反 向 使 用- - 整式的乘法 1.单 项 式 乘 以 单 项 式2.单 项 式 乘 以 多 项 式3.多 项 式 乘 以 多 项 式逆运算 预 备 知 识 am an=am-n 当 m=n时 ， 规 定 ： a0=1(a0)整式的除法 1.单 项 式 除 以 单 项 式2.多 项 式 除 以 单 项 式 3.多 项 式 除 以 多 项 式 单 项 式 相 除 ， 把 系 数 与 同 底 数 的 幂 分 别 相除 作 为 商 的 因 式 ， 对 于 只 在 被 除 式 里 含 有的 字 母 连 同 它 的 指 数 作 为 商 的 一 个 因 式 。如 20 x4y2z (- x3y2) (-2a2b3c)2 a3b241 单 单转 化 (a+b) m=a m+b m如 (0.25a2b-0.5a3b2- a4b3) (-0.5a2b)41初 中 阶 段 不 学 习 am.an=am+n(am)n=amn(ab)n=anbn 特 例 乘法公式 1.平 方 差 公 式2.完 全 平 方 公 式 (a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2相 反 变 形 因 式 分 解 (1)(-a)8 (-a2)(2)-5a5b3c 5a4b3(4)-3a2x4y3 (-axy2)(5)(4 109) (-2 103)=-a6=-ac=3ax3y=-2 106 (3) 6m2n (-2mn)= -3m (1)(-2a4b3c)3 (-8a4b5c)(3 )(-3.6 1010) (-2 102)2 (3 102)2=a8b4c2= 10(2)(6x2y3)2 (3xy2)2 =4x2y2 2234 )21()212)(4( xxxx 练 习1.计 算(1).x152.计 算(1).-3a7b4c 计 算 （ 一 ） ： （ 1） （ 2x 3） （ 2x 3） （ 2） （ x 2） （ x 2） （ 3） （ 2x y） （ 2x y） （ 4） （ y x） （ x y） ( 5 )1998 2002填 空(1).(a+ ) 2=a2+6a+ 。 (2).(2x- )2=4x2- +25(3).a2+b2=(a-b)2+ 。 (4).(x-y)2+ =(x+y)2 想 一 想 下 列 计 算 是 否 正 确 ？ 如 不 正 确 ， 应如 何 改 正 ？(-x+6)(-x-6) =-x2-6(1) 2-x-1(-x-1)(x+1) =(2)(3) (-2xy-1)(2xy-1) =1-2xy2 计 算(1).(5a+3)(5b-3) (2).(3m-2)(3m-2)(3).(3m+4)(3m-4) (4).(-2x-1)(-2x+1)(5).(x+3y)2 (6).(2x-3y)2(7)(-x+y)2 (8).(-2x2-3y)2 已 知 (a+b)2=11, (a-b)2=7,则 ab=( )(1)（ A） 1 （ B） -1（ C） 0 （ D） 1或 -1(C) (D)(2) 如 果 4x +12xy+k是 一 个 关 于 x、 y的 完 全2平 方 式 ， 则 k=( )(A) (B)3y2 9y2 y 36y 2AB （ 3） 如 果 a+a1 =3,则 a2+a21 =( )(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11所 以 =9a+ a1( ) 2所 以 a + a1 =92 2+ 2 A故 a a1 =72+ 2因 为 a+ a1 =3解 ： (a-2b+3)(a+2b-3)的 结 果 是 （ ）（ A） 2 2a+4b +12b-9（ C） 2 2a+4b -12b-9 （ B） a2-4b2-12b-9（ D） a2-4b2+12b-9D（ 4） 计 算=a-(2b-3)a+(2b-3)=a2-(2b-3)2=a2-(4b -12b+9)2 =a2-4b2+12b-9(a-2b+3)(a+2b-3)解 ： 是 一 个 关 于 x、 y的 完 全 平如 果 4x2+kxy+9y2方 式 ， 则 k=( )填 空 22)2)(2( )2)(1( nm nm ： 计 算 因式分解1.运 用 前 两 节 所 学 的 知 识 填 空1).m(a+b+c)= .2).(a+b)(a-b)= .3).(a+b)2= .2.试 一 试 填 空 :1).ma+mb+mc= m( )2).a2-b2=( )( )3).a 2+2ab+b2=( )2ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2你能发现这两组等式之间的联系和区别吗?a+b+ca+ba+b a-b 一 般 地 ， 把 一 个 多 项 式 转 化 成 几 个 整 式 的 的 形 式 ，叫 做 ， 有 时 我 们 也 把 这 一 过 程 叫 做 。定义 理解概念判 断 哪 些 是 因 式 分 解 ? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5)(a-3)(a+3)=a2-9 因 式 分 解整 式 乘 法整 式 乘 法因 式 分 解整 式 乘 法 )43(43)6( 2 aaaaa 两 者 都 不 是 像 (1)这 种 因 式 分 解 的 方 法 叫 提 公 因 式 法像 (2),(3)利 用 乘 法 公 式 对 多 项 式 进 行 因 式 分解 的 这 种 因 式 分 解 的 方 法 就 称 为 公 式 法 .1) ma+mb+mc=m( a+b+c )2) a2-b2=(a+b)(a-b )3) a2+2ab+b2=(a+b)2 注 意 事 项 1) 首 选 提 公 因 式 法 （ 若 各 项 间 有 公 因 式 ， 要 先 将 公 因 式 提 出 来 ） ， 另 一 个 因 式 再 考 虑 其 他 方 法 。 x3-4x 2)一 般 情 况 下 ， 两 项 考 虑 平 方 差 公 式 ， 三 项 考 虑 完 全 平 方 公 式 。 x4-2x2y2+y4 3） 因 式 分 解 要 彻 底 。 4） （ 可 用 整 式 的 乘 法 检 验 ） 但 不 走 回 头 路 。 m 4-1=(m2+1)(m2-1)=(m2+1)(m+1)(m-1)=(m2+1)(m2-1) 找 出 下 列 各 多 项 式 中 的 公 因 式223 1218)3( 525)2( 1536)1( baba aab cba 找一找公因式系 数字 母 35a6a b各 项 系 数 的 最大公 约 数取 每 项 中 含 有 的 相 同 字 母问 :多 项 式 中 的 公 因 式 是 如 何 确 定 的 ？指 数 相 同 字 母 的 最低次 幂 易错分析25) ( ) ( )x y y x y 2 x 2 23 )8 1 9a b 24) 8 4x x 34x1、 把 下 列 各 式 分 解 因 式 ： 1） 18-2b 2) x4 1 26)4 3 (4 3 )a b a b 22 )2()1(25)7 xx 2.选 择 题 ：1)下 列 各 式 能 用 平 方 差 公 式 分 解 因 式 的 是 （ ）A. 4X+y B. 4 x- (-y) C. -4 X-y D. - X+ y2) -4a +1分 解 因 式 的 结 果 应 是 （ ）A. -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1)C. -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1) DD 拓展提高1.把 下 列 多 项 式 因 式 分 解1). 6x(a+2b)2-3x(a+2b)2). (b-a)2-2a+2b3). a(a-b)2+(b-a)3提公因式法因式分解 1) 13.8 0.125+86.22) 0.73 32-0.32 633) 33+112+664)已 知 a+b=5,ab=3,求 a2b+ab2的 值 .巧计妙算18 3.解 方 程 :(5x+3)(5x+6)-(5x+3)(5x+7)=0(x-2004)2=(2004-x)(2005-x)提公因式法因式分解 ( ) ( ) x2 16练 习 ： 分 解 下 列 各 式 : （ 1） x2-16 解 ： (1) （ 2） 9m2-4n2 x x ( ) ( ) a2 b2 a ab b( ) ( ) x2 42(2) 9m2-4n2 3m 3m ( ) ( ) a2 a ab b (3m)2 (2n)2b2 2n 2n 平 方 差 公 式 的 应 用 题 ： 1、 利 用 分 解 因 式 简 便 计 算 (1) 652-642 (2) 5.42-4.62(3) (4) 22 )412()435( 22 2248252100解 :652-642=(65+64)(65-64)=129 1=129 解 :5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =10 0.8 =8答 案 :5 答 案 :28 提 高 题 ： 2、 已 知 , ,求 （ a+b） 2-(a-b)2的 值 。 7522a 4425b解 : (a+b)2-(a-b)2 =(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b) =2a2b =4ab当 ， 时 ，原 式 =4 =7522a 4425b7522 442532 3、 求 证 :当 n是 整 数 时 ， 两 个 连 续 奇 数 的 平 方 差 (2n+1)2-(2n-1)2是 8的 倍 数 。 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2 a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2 用 他 们 可 以 把 一 个 三 项 式 分 解 因 式 的 特 点 ： 两 项 是 两 个 数 (式 ） 的 平 方 另 一 项 是 加 上 (或 减 去 )这 两 个 数 （ 式 ） 积 的 两倍 x2-4x+4 =x2-22x+22 =(x-2)2 a2 +2a+1= a2 +2a1 +12=（ a+1） 2 a2+10a+25=a2+2a( )+( )2=(a+ )2 5 55 X2+12ax+36a2=X2+2x6a +(6a)2=(x+6a)2 4a2+25b2-20ab=(2a)2 -22a5b +(5b)2=(2a-5b)2 -8x2y-2x3-8xy2 =-2x(x2+4xy+4y2) =-2x(x+2y)2 动 手 做已 知 x=a+2b,y=a-2b，求 :x +xy+y 2 2 1 、 已 知 a+b=5 ， ab= -2， 求 （ 1） a2+b2 （ 2） a-ba2+b2=(a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab2、 已 知 a2-3a+1=0， 求 （ 1） （ 2）22 1aa 1a a3、 已 知 求 x2-2x-3的 值3 1x 4.若 (x-m)2=x2+8x+n,求 mn的 值5.若 9x2-mx+4是 一 个 完 全 平 方 式 ， 求 m的 值6.若 (m+n)2=11,(m-n)2=7.求 5mn的 值 7.在 整 式 4x2+1中 加 上 一 个 单 项 式 使 之 成为 完 全 平 方 式 ， 则 应 添 。8.在 式 子 中 加 上 一 个 单 项 式 使 之 成 为 完 全 平 方 的形 式 ， 则 应 添 。22 1xx 9.若 (2m-3n)2=(2m+3n)2+A成 立 ， A应 为 。10.若 x2+2mx+36是 完 全 平 方 式 ， 求 m的 值 11.已 知 ： a+b=5,ab=3,求 a2+b2的 值12.已 知 ： a-b=3,a2+b2=17， 求 (a+b)2的 值13.已 知 ： ab=12,a2+b2=25, 求 (a-b)2的 值 14.已 知 ： m2+n2+4m-6n+13=0,求 mn的 值 。的 值 。和求 已 知 4422 11 ,31.15 mmmm mm 考 查 知 识 点 ： （ 当 m,n是 正 整 数 时 ）1、 同 底 数 幂 的 乘 法 ： am an = am+n 2、 幂 的 乘 方 : (am )n = amn 3、 积 的 乘 方 : (ab)n = an bn 4、 合 并 同 类 项 :计 算 ：x3(-x)5-(-x4)2-(-2x3)4 -(-x10)(- x)231解 此 类 题 应 注 意 明 确 法 则 及 各 自 运 算 的 特 点 ， 避 免 混 淆. 计 算 ：(1) (-2a 2 +3a + 1) (- 2a)3 (2) 5x(x2+2x +1) - 3(2x + 3)(x - 5)(3) (2m2 1)(m 4) -2 ( m2 + 3)(2m 5)注 意 点 ：1、 计 算 时 应 注 意 运 算 法 则 及 运 算 顺 序2、 在 进 行 多 项 式 乘 法 运 算 时 ， 注 意 不 要 漏 乘 ， 以 及 各 项 符 号 是 否 正 确 。 计 算 ：(1) (1-x)(1+x)(1+x2)-(1-x2)2(2) (x2+32)2-(x+3)2(x-3)2 (2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+2(x-1)2 (x+4y-6z)(x-4y+6z) (x-2y+3z)2 例 1、 已 知 ： x2+y2+6x-8y+25=0, 求 x,y的 值 ； yyxyyxyx 21)(2)()( 222 并 化 简 求 值 1、 已 知 x2-2mx+16 是 完 全 平 方 式 ， 则 m=_4、 如 果 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那 么 a+b=_2、 已 知 x2-8x+m是 完 全 平 方 式 ， 则 m=_3、 已 知 x2-8x+m2是 完 全 平 方 式 ， 则 m=_ 416 4 4mx 85.若 则 m=( )A. 3 B. -10 C. -3 D.-5 5)2)(x-(x10-mxx 2 A 观 察 : ；181-3 22 请 你 用 正 整 数 n的 等 式 表 示 你 发 现 的 规 律 _. nnn 8)12()12( 22 正 整 数 n；283-5 22 ；385-7 22 ；487-9 22 观 察 下 列 各 组 数 , ；1-231 2 请 用 字 母 表 示 它 们 的 规 律；1-453 2 ；1-675 2 ；1-897 2 14)12)(12( 2 nnn n是 正 整 数 观 察 下 列 各 组 数 , 252514321 21112115432 21936116543 请 用 字 母 表 示 它 们 的 规 律 21)2)(1(1)3)(2)(1( nnnnnn n是 正 整 数 设 (n为 大 于 0的 自 然 数 ). 探 究 an 是 否 为 8的 倍 数 ， 并 用 文 字 语 言 表 述 你所 获 得 的 结 论 ； 22n 222 221 )12()12(a 3-5a 1-3a nn ，两 个 连 续 奇 数 的 平 方 差 是 8的 倍 数