有理数典型例题

数怎么不够用了典型例题例1如果向东走8千米记作+ 8千米，向西走5千米记作-5千米，那么下列各数分 别表示什么？(1) + 4千米；(2)千米； (3) 0千米解：(1)+ 4千米表示向东走4千米.(2) 千米表示向西走 千米.(3) 0千米表示原地未动.说明：(1)用正数和负数可以表示意义相反的量. (2)正数前面可以加上 牛”号，一般 地，正数前面的 牛”号可省略不写，但有时为了强调，习惯上在正数前面要加上 牛”号.(3) 0除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义.例2用有理数表示下面各量.(1) 如果收入200元记作+ 200元，则如何表示支出 100元？(2) 如果海平面以下 100米记作100米，则如何表示海平面以上1000米？(3) 如果向南行100米记作+ 100米，则向北行 200米如何表示？(4) 如果比标准重量重 10千克记作+ 10千克，则比标准重量少 5克应如何表示？分析该题中每两个量都是意义相反的两个量，为了区别意义相反的量我们应用不同符号的数来表示.解 (1)支出100元表示为100元；(2)海平面以上1000米应表示为+ 1000米；(3) 向北行200米表示为200米；(4)比标准重量少 5克表示为5克.注意 (1) 一个量是用正数表示，还是用负数表示是人们规定的，但在表示中也应尊重人们在多年生活中形成的习惯.女口：零上温度一般规定为正； 海平面以上一般规定为正等；(2)正数前面的 牛”号是可以省略不写的.例3判断正误(正确的打 v,错误的打X).(1) -a 一定是负数.()(2) 零是自然数.()(3)没有最小的正有理数.()解：(1) X (2) V(3) V说明：应紧扣互为相反数、负数、零、正有理数的概念来解此类题，主要是应想到我们已经学到了代数领域了应时时注意到字母a可能为：负数、零、正数.例4(1)在知识竞赛中，如果+ 10表示加10,那么扣20分怎样表示？ ( 2)某人转动转盘，如果用+ 5表示沿用逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？(3) 在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0. 02克记作+ 0.02,那么0.03克表示什么？解：(1)扣20分记作一20分；(2)顺时针方向转了 12圈记作一12圈；(3) 0.03克 表示乒乓球的质量低于标准质量0. 03克.说明：通过三个实例说明如何用正负数表示这种具有相反意义的量.例5 把下列各数填在相应的括号内：-16, 26, -12, -0.92, 0, , 0.1008, -4.95 (思考：小数是分数吗！).正数集合；负数集合；整数集合；正分数集合 ；负分数集合 ；分析：根据正数、负数、整数和分数的定义，严格区别.注意零既不是正数，也不是负 数，但是整数.解：正数集合26 , 0.1008,；负数集合-16 , -12, -0.92, -4.95,；正分数集合 , 0.1008 ,；负分数集合-0.92 , -4.95 ,.说明：用大括号表示集合时，要注意省略号的使用.如 正数集合”指的是包含所有正数的一个 集体”因为是 所有的”而具体填时仅能填写一部分，所以后面应加省略号.习题精选、选择题1 下面说法中正确的是（）A. 个数前面加上-号，这个数就是负数B. 0既不是正数，也不是负数C. 有理数是由负数和0组成D 正数和负数统称为有理数2. 如果海平面以上200米记作+ 200米，则海平面以上50米应记作（）.A. 50米 B .+ 50米C.可能是+ 50米，也可能是50米D 以上都不对3 下面的说法错误的是（）.A. 0是最小的整数B . 1是最小的正整数C. 0是最小的自然数D.自然数就是非负整数二、填空题1 .如果后退10米记作10米，则前进10米应记作；2. 如果一袋水泥的标准重量是50千克，如果比标准重量少2千克记作-2千克，则比标准重量多1 千克应记为;3. 车轮如果逆时针旋转一周记为+ 1,则顺时针旋转两周应记为 .三、判断题1 . 0是有理数.（）2. 有理数可以分为正有理数和负有理数两类.（）3. 个有理数前面加上+ 就是正数.（）4 . 0是最小的有理数.（）四、解答题1 .写岀5个数（不许重复），同时满足下面三个条件.（1）其中三个数是非正数；（2）其中三个数是非负数；（3） 5个数都是有理数.2. 如果我们把海平面以上记为正，用有理数表示下面问题.一架飞机飞行高于海平面9630米；（2）潜艇在水下60米深.3. 如果每年的12月海南岛的气温可以用正数去表示， 则这时哈尔滨的气温应该用什么数来表示？4. 某种上市股票第一天跌0.71 %，第二天涨1.25 %，各应怎样表示？5. 如果海平面以上我们规定为正，地面的高度是否都可以用正数为表示?6. 学生参加一次智力竞赛，其中考五个题，记分标准是这样定的，如果答对一题得1分，答错或不答都扣1分，该生得了 3分，问其答对了几个题？数轴习题精选一、选择题1. 一个数的相反数是它本身，则这个数是（）A.正数B 负数C . 0 D 没有这样的数2 数轴上有两点E和F,且E在F的左侧，贝U E点表示的数的相反数应在 F点表示的数的相反数的（）A.左侧B 右侧C 左侧或者右侧D 以上都不对3. 如果一个数大于另一个数，则这个数的相反数（）A.小于另一个数的相反数 B .大于另一个数的相反数C.等于另一个数的相反数 D 大小不定二、填空题1 如果数轴上表示某数的点在原点的左侧，则表示该数相反数的点一定在原点的 侧；2 任何有理数都可以用数轴上的 表示；3 与原点的距离是 5个单位长度的点有 个，它们分别表示的有理数是 和?4. 在数轴上表示的两个数左边的数总比右边的数 .三、判断题1 在数轴离原点4个单位长度的数是4.（）2. 在数轴上离原点越远的数越大.（）3 数轴就是规定了原点和正方向的直线.（）4 表示互为相反数的两个点到原点的距离相等.（）四、解答题1.写岀符合下列条件的数（1） 大于1而小于1的整数;（2）大于4的负整数；（3）大于一0.5的非正整数.2 在数轴上表示下列各数，并把各数用“v”连结起来.(1) 7, 3.5 , 0, 4.5 , 5, - 2, 3.5 ;(2) 500, 250, 0, 300, 450;_2(3) 0.1 ,1, 0.9 , 1, 0.(4) 10003 找岀下列各数的相反数(1) 0.054 .如图，说岀数轴上A、B、C、D四点分别表示的数的相反数，并把它们分别用 匚、J _，J T 标在数轴上.flCAD5 -4 -3*2 1 0 12 3 4 5 6 785在数轴上，点A表示的数是1，若点B也是数轴上的点，且 AB的长是4个单位长度，则点B 表示的数是多少？绝对数典型例题例1求下列各数的绝对值，并把它们用“”连起来.71,-,0, 1.2分析首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求岀各数的绝对值在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出，其他数的比较就容易了.77 i1 + -=；0_8899=0”卜1 2|二12解说明：利用绝对值只是比较两个负数.例2求下列各数的绝对值:(1) 38;( 2)0.15 ；( 3)；(4)山；(5)； - ；( 6).匚.分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对 值的代数定义去掉绝对值符号，（6）题没有给岀a与b的大小关系，所以要进行分类讨论.解：(1) |-38| = 38; (2) |+0.15| = 0.15 ;(3) ，V 0，.| _： | =一；(4) v b 0,二 3b 0，|3b| = 3b;(5) vv 2,二_： -2 V 0, | _： -2| =-(-2) = 2-;a-b (aa-b= 0 (&)；(6) b-说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数（用含字母的式子表示时）无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论.例3 一个数的绝对值是6,求这个数.分析根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是 6的数应该是二:说明：互为相反数的两个数的绝对值相等.例4计算下列各式的值(1)-35 + +21 + -27(2)(3)|-49卜-2*;(4)|-0仍卜B.若和“都是负数，且有，则- -B.若和“都是负数，且有，则-0d. 若bH，则力o3下面说法中正确的是（）A.若。和5都是负数，且有小PI，则住bB.若和“都是负数，且有，则-Otb 0，且, wi 1 1/.=0.4-0.3-0.4-0.3+0.2+0+0.1 = -01本周末水位下降了.星期K 星期四 垦朗三期二星网一(2) 如图所示.期姻A H说明：本例是有理数的加法和统计图知识交汇综合题.水位的变化习题精选1 小胖去年年末称体重是75千克，今年一月份小胖开始减肥，下面是小胖今年上半年体重的变 化情况：月月二耳三月四月五月六月体重变化情况/千克-2,5+ 2-3. 5-3+ L 5-2负数表示比上月减少，正数表示比上月增加(1) 小胖16月中哪个月的体重最重，是多少？(2) 小胖16月中哪个月的体重最轻，是多少？(3) 小胖6月份的体重较比去年年末是增加了还是减少了，是多少？2 某校初一抽岀5名同学测量体重，小明体重是 55千克，其他4名同学的体重和小明体重的差数 如下表：姓皂小光小月小华小刚与小明体重的差数/千克+ 5-4-1+ 3比小明重记为正，比小明轻记为负(1) 哪几名同学的体重比小明重，重多少？(2) 哪几名同学的体重比小明轻，轻多少？(3) 写岀最重和最轻的两个同学的体重，并说明这两名同学之间的体重相差多少？103 某百货商场的某种商品预计在今年平均每月售岀500千克，一月份比预计平均月售岀额多千克记为+ 10千克，以后每月销售量和其前一个月销售量比较，其变化如下表(前11个月)：月份月二月三月四月五月六月匸月八月九月十月十一月请售星賁化情 :兄/千克+ 10+ 5+ 20-3-4-10-12+ 5+ 4+ 5, 8(1) 每月的销售量是多少？(2) 前11个月的平均销售是多少？(3) 要达到预计的月平均销售量，12月份还需销售多少千克?有理数的乘法典型例题例1计算：八2()x_(1) (- 2)X( 7); (2)4 庁.分析(1)和(2)都是两个有理数相乘，我们根据法则先来确定乘积的符号，再把绝对值相乘.解(1) (-2)X(-7)= +( 2X 7)= 14.(2) 1 .：.说明：(1)为了使结果不岀现差错，初学者做题时，中间的步骤是必要的.(2)我们不必死记法则，只需知道两个数相乘如何确定符号，其他就和小学的乘法一样了.31x(-7.2)x(-)x(-0.81)例2计算：F-时，应首先()A. 把小数化为分数，或者把分数化为小数B. 利用符号法则确定乘积的符号C. 把带分数化为假分数D. 考虑怎样使用乘法结合律或者交换律分析有理数乘法与小学所学乘法的区别在于符号，初学者进行有理数乘法运算最容易岀现的错误也在于符号，发生错误的同学往往并不是没记住有理数乘法的运算法则，而在于重视符号的意识不强，所以初学者一定要把确定乘积的符号作为大事，放在首位，也就是说，完成有理数乘法运算要分 两步走：先是确定乘积的符号，然后再计算乘积的绝对值.解选B.说明 进行两个以上有理数相乘的运算，首先确定乘积的符号，这样做不但有减少运算错误使运 算简化的作用，与此同时，也能起到培养良好的学习习惯的作用.就本题来讲，如果不先确定乘积的符号，可能在运算过程中就必须确定三次符号(头两个因数相，这样就增加了运算乘，积的符号；与第三个因数相乘，积的符号；与第四个因数相乘，积的符号） 步骤.例3计算:分析 这类题目只不过比小学做过的题目多了一个符号问题，应该先确定乘积的符号，之后再考 虑怎样运算更简便些本题中，由于“ 81”是9 （第一个因数的分母）的倍数，“ 72”是12的倍数, 可以使用乘法交换律与结合律简化运算.3（一72）冥（一和（心1）.解 .一一100 100说明：（l）如果运算基础较好，则完全可以不使用交换律与结合律，而把带分数化为假分数，把 小数化为分数形式后进行约分.（2） 上面约分过程中没有把分母中的100与某个分子约分，是为了把结果化为小数时方便，这是 思维灵活性的表现.概括以上内容，就是“符号正负先定好，灵活准确做计算”例4计算：(f _) X _ X ( 1 _) X _ x f 1一)(1)（2） 17.6 X（- 10）X（- 0.5 ）分析（1）和（2）是三个以上有理数相乘，我们可以根据乘法法则两个两个相乘，最后求岀结 果，在进行有理数的乘法时，过去学过的结合律和交换律仍是适用的.(1)4514731021(2) 17.6 X(- 10)X( 0.5 )=-176X( - 0.5 )=88.说明：(1)乘法法则是对两个数相乘而言的， 当三个数以上相乘时我们可以依法则两两相乘；(2)由该题我们可以发现，当三个以上非零有理数相乘时，积的正负由负因数的个数而定，当积中有偶数 个负因数时积为正；当积中有奇数个负因数时积为负.例5计算:(1)抽Z；( 2)7心(1) x (_ 2)解(1)3:1= -x(-一丄 x(-12)+丄 x(-12)362-4+2-6=-8,3 4 (-100)x(07-+0J)(2)in ，(100) x 0.7 + (100) x ( ) + (100) x () + (-100) x 0.3= -70+30+30-30= 10.说明：在应用乘法对加法的分配律时，应注意符号的变化初学者中间分别相乘的步骤是为避免岀错而设的，熟练之后可以省略.习题精选一、选择题1 下面说法中正确的是()A. 因为同号相乘得正，所以(一2)X(- 3)X(- 1)= 6B. 任何数和0相乘都等于0C 若axfi0,则(0毗0D.以上说法都不正确2已知，其中有三个负数9门宀()A.大于0 B 小于0 C 大于或等于0 D 小于或等于03 若 一；f : 11，其 a、b、c()A.都大于0 B 都小于0 C 至少有一个大于0 D 至少有一个小于0二、填空题1 两个数相乘，同号得 ，异号得，并把相乘;2一个数和任何数相乘都得0,则这个数是 ;3 若干个有理数相乘，其积是负数，则积中负因数的个数是 数.4先填空，然后补写一个有同样特点的式子.(1) 1X( 7) 1 =，( 2)9X( 9)+ 1 =，12X(- 7) 2 =， 98X( 9)+ 2 =，123X( 7) 3= 987X( 9)+ 3=.