实数 (平方根)

6.1 平 方 根 教 学 目 标1.了 解 算 术 平 方 根 、 平 方 根 的 概 念 ， 会 用 根 号 表示 数 的 算 术 平 方 根 、 平 方 根 .2.了 解 开 方 与 乘 方 互 为 逆 运 算 ， 会 用 平 方 运 算 求某 些 非 负 数 的 平 方 根 .3.能 用 有 理 数 估 计 一 个 无 理 数 （ 平 方 根 ） 的 大 致范 围 .教 学 重 点 与 难 点平 方 根 和 算 术 平 方 根 的 概 念 . 问 题 学 校 要 举 行 美 术 作 品 比 赛 ， 小 鸥 想 裁 出 一块 面 积 为 25 dm2的 正 方 形 画 布 ， 画 上 自 己 的 得 意 之 作参 加 比 赛 ， 这 块 正 方 形 画 布 的 边 长 应 取 多 少 ？ 你 一 定 会 算 出 边 长 应 取 5 dm 说 一 说 ， 你 是 怎 样算 出 来 的 ？ 正 方 形 的 面 积 /dm2 1 9 16 36正 方 形 的 边 长 /dm 因 为 52 25， 所 以 这 个 正 方 形 画 布 的 边 长 应 取5dm 填 表 ： 1 3 4 6 52 上 面 的 问 题 ， 实 际 上 是 已 知 一 个 正 数 的 平 方 ， 求这 个 正 数 的 问 题 一 般 地 ， 如 果 一 个 正 数 x 的 平 方 等 于 a， 即 x2 a，那 么 这 个 正 数 x 叫 做 a 的 算 术 平 方 根 a 的 算 术 平 方根 记 为 ， 读 作 “ 根 号 a” ， a 叫 做 被 开 方 数 a规 定 ： 0的 算 术 平 方 根 是 0 254 从 例 可 以 看 出 ： 被 开 方 数 越 大 ， 对 应 的 算 术 平方 根 也 越 大 这 个 结 论 对 所 有 正 数 都 成 立 例 求 下 列 各 数 的 算 术 平 方 根 ： （ 1） 100； （ 2） ； （ 3） 0 000 1.6449 解 ： （ 1） 因 为 102 100， 所 以 100 的 算 术 平 方 根是 10， 即 10 ； 100 （ 2） 因 为 所 以 的 算 术 平 方 根 是 ，即 ，644987 2 6449 87；876449 （ 3） 因 为 0.012 0.000 1， 所 以 0.000 1的 算 术 平 方根 是 0.01， 即 0.010001.0 探 究 能 否 用 两 个 面 积 为 1 dm 的 小 正 方 形 拼 成 一 个 面 积 为2 dm 的 大 正 方 形 ？ 如 上 图 ， 把 两 个 小 正 方 形 分 别 沿 对 角 线 剪 开 ， 将所 得 的 4 个 直 角 三 角 形 拼 在 一 起 ， 就 得 到 一 个 面 积 为2dm 的 大 正 方 形 你 知 道 这 个 大 正 方 形 的 边 长 是 多 少吗 ？ 设 大 正 方 形 的 边 长 为 x dm， 则x2 2.由 算 术 平 方 根 的 意 义 可 知 x ,所 以 大 正 方 形 的 边 长 是 dm.22 小 正 方 形 的 对 角线 的 长 是 多 少 呢 ？ 探 究 有 多 大 呢 ？2因 为 12 1， 22 4，所 以 1 2；因 为 1.42 1.96， 1.52 2.25，所 以 1.4 1.5；因 为 1.412 1.988 1， 1.422 2.016 4，所 以 1.41 1.42；因 为 1.4142 1.999 396， 1.4152 2.002 225，所 以 1.414 1.415； 22 22 如 此 进 行 下 去 ， 可 以 得 到 的 更 精 确 的 近 似 值 .事 实 上 ， 1.414 213 562 373 ， 它 是 一 个 无 限 不循 环 小 数 22 实 际 上 ， 许 多 正 有 理 数 的 算 术 平 方 根 （ 例 如 ， 等 ） 都 是 无 限 不 循 环 小 数 37,5 无 限 不 循 环 小 数 是 指小 数 位 数 无 限 ， 且 小 数 部分 不 循 环 的 小 数 你 以 前见 过 这 种 数 吗 ？ 计 算 器 例 2 用 计 算 器 求 下 列 各 式 的 值 ： （ 1） ； （ 2） （ 精 确 到 0.001） 23136 解 ： （ 1） 依 次 按 键 3 136 ， 显 示 ： 56 563136 （ 2） 依 次 按 键 2 ， 显 示 ： 1.414 213 562 1.4142 同 学 们 ， 你 们 知 道 宇 宙 飞 船 离 开 地 球 进 入 轨 道 正常 运 行 的 速 度 在 什 么 范 围 内 吗 ？ 这 时 它 的 速 度 要 大 于第 一 宇 宙 速 度 v1（ 单 位 ： m/s） 而 小 于 第 二 宇 宙 速 度 v2(单 位 ： m/s) v1， v2的 大 小 满 足 v1 gR， v2 2gR，其 中 g是 物 理 中 的 一 个 常 数 (重 力 加 速 度 )， g 9.8m/s2，R是 地 球 半 径 ， R 6.4 106m 怎 样 求 v1， v2呢 ？ 问 题 解 ： 由 v1 gR， v2 2gR， 得 v1 ， v2 ，其 中 g 9.8， R 6.4 106. 用 计 算 器 求 v1和 v2（ 用 科 学 记 数 法 把 结 果 写 成a 10n的 形 式 ， 其 中 a 保 留 小 数 点 后 一 位 ） ， 得 gR gR2,109.7104.68.9 361 v .101.1104.68.92 46 2 v 因 此 ， 第 一 宇 宙 速 度 v1大 约 是 7.9 103 m/s， 第 二宇 宙 速 度 v2大 约 是 1.1 104 m/s 例 3 小 丽 想 用 一 块 面 积 为 400 cm2的 正 方 形 纸 片 ，沿 着 边 的 方 向 裁 出 一 块 面 积 为 300 cm2的 长 方 形 纸 片 ，使 它 的 长 宽 之 比 为 3 2 她 不 知 能 否 裁 得 出 来 ， 正 在发 愁 小 明 见 了 说 ： “ 别 发 愁 ， 一 定 能 用 一 块 面 积 大的 纸 片 裁 出 一 块 面 积 小 的 纸 片 ” 你 同 意 小 明 的 说 法吗 ？ 小 丽 能 用 这 块 纸 片 裁 出 符 合 要 求 的 纸 片 吗 ？ 解 ： 设 长 方 形 纸 片 的 长 为 3x cm， 宽 为 2x cm 根 据 边 长 与 面 积 的 关 系 得 3x 2x 300， 2x2 300， x2 50， .50 x 因 此 长 方 形 纸 片 的 长 为 3 cm 50 因 为 50 49， 所 以 750 由 上 可 知 3 21， 即 长 方 形 纸 片 的 长 应 该 大 于21 cm 50 因 为 20， 所 以 正 方 形 纸 片 的 边 长 只 有 20cm. 这 样 ， 长 方 形 纸 片 的 长 将 大 于 正 方 形 纸 片 的 边 长 400 答 ： 不 能 同 意 小 明 的 说 法 小 丽 不 能 用 这 块 正 方形 纸 片 裁 出 符 合 要 求 的 长 方 形 纸 片 思 考如 果 一 个 数 的 平 方 等 于 9， 这 个 数 是 多 少 ？ 从 前 面 我 们 知 道 ， 这 个 数 可 以 是 3 除 了 3以 外 ，还 有 没 有 别 的 数 的 平 方 也 等 于 9 呢 ？ 由 于 ( 3)2 9， 这 个 数 也 可 以 是 3 因 此 ， 如 果 一 个 数 的 平 方 等 于 9， 那 么 这 个 数 是 3或 3填 表 :x 2 1 16 36 49x 254 1 4 6 7 52 一 般 地 ， 如 果 一 个 数 的 平 方 等 于 a， 那 么 这 个 数叫 做 a的 平 方 根 或 二 次 方 根 这 就 是 说 ， 如 果 x2 a，那 么 x 叫 做 a 的 平 方 根 例 如 ， 3和 3是 9的 平 方 根 ， 简 记 为 3是 9的 平方 根 求 一 个 数 a 的 平 方 根 的 运 算 ， 叫 做 开 平 方 我 们 看 到 ， 3的 平 方 等 于 9， 9的 平 方 根 是 3，所 以 平 方 与 开 平 方 互 为 逆 运 算 （ 下 图 ） 根 据 这 种 互逆 关 系 ， 可 以 求 一 个 数 的 平 方 根 解 ： （ 1） 因 为 ( 10)2 100， 所 以 100的 平 方 根是 10； （ 3） 因 为 ( 0.5)2 0.25， 所 以 0.25 的 平 方 根 是 0.5 例 求 下 列 各 数 的 平 方 根 ： （ 1） 100； （ 2） ； （ 3） 0.25169 （ 2） 因 为 ， 所 以 的 平 方 根 是 ；16943 2 169 43 思 考 正 数 的 平 方 根 有 什 么 特 点 ？ 的 平 方 根 是 多 少 ？ 负 数有 平 方 根 吗 ？ 我 们 发 现 ， 正 数 的 平 方 根 有 两 个 ， 它 们 互 为 相 反数 ， 其 中 正 的 平 方 根 就 是 这 个 数 的 算 术 平 方 根 因 为 02 0， 并 且 任 何 一 个 不 为 0的 数 的 平 方 都 不等 于 0， 所 以 0的 平 方 根 是 0 正 数 的 平 方 是 正 数 ， 0的 平 方 是 0， 负 数 的 平 方 也是 正 数 ， 即 在 我 们 所 认 识 的 数 中 ， 任 何 一 个 数 的 平 方都 不 会 是 负 数 ， 所 以 负 数 没 有 平 方 根 正 数 有 两 个 平 方 根 ， 它 们 互 为 相 反 数 ； 的 平 方 根 是 ；负 数 没 有 平 方 根 归 纳 解 ： （ 1） 因 为 62 36， 所 以 6； 36 例 5 求 下 列 各 式 的 值 ： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） 36 81.0 949 （ 2） 因 为 0.92 0.81， 所 以 ；9.081.0 （ 3） 因 为 ， 所 以 94937 2 37949 练 习判 断 下 列 说 法 是 否 正 确 ：（ ） 的 平 方 根 是 ；（ ） 的 平 方 根 是 ；（ ） 1的 平 方 根 是 1；（ ） 0.01是 0.1的 一 个 平 方 根 正 确错 误错 误 错 误 再 见 ！