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二次函数一、选择题1. （2014上海，第3题4分）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ c ）Ay=x21By=x2+1Cy=（x1）2Dy=（x+1）22. （2014四川巴中，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（b）Aabc0B3a+c0Cb24ac0D将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c3. （2014山东威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列说法：c=0；该抛物线的对称轴是直线x=1；当x=1时，y=2a；am2+bm+a0（m1）其中正确的个数是（ c ）A1B2C3D44. （2014山东枣庄，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x10123y51111则该二次函数图象的对称轴为（ d ）Ay轴B直线x=C直线x=2D直线x=5. （2014山东烟台，第11题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：4a+b=0；9a+c3b；8a+7b+2c0；当x1时，y的值随x值的增大而增大其中正确的结论有（b）A1个B2个C3个D4个6.（2014山东济南，第15题，3分）二次函数的图象如图，对称轴为若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是c1xy4A B C D7. （2014山东聊城，第12题，3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的一部分，x=1是对称轴，有下列判断：b2a=0；4a2b+c0；ab+c=9a；若（3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1y2，其中正确的是（b）ABCD8(2014年贵州黔东南9（3分）)已知抛物线y=x2x1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2m+2014的值为（d）A2012B2013C2014D20159. (2014年贵州黔东南9（4分）)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列4个结论：abc0；ba+c；4a+2b+c0；b24ac0其中正确结论的有（b）ABCD11. （2014江苏苏州,第8题3分）二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象经过点（1，1），则代数式1ab的值为（b）A3B1C2D5 12. (2014年山东东营,第9题3分)若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（d）A0B0或2C2或2D0，2或213. （2014山东临沂,第14题3分）在平面直角坐标系中，函数y=x22x（x0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（c）A1个B1个或2个C1个或2个或3个D1个或2个或3个或4个考点：二次函数图象与几何变换分析：根据关于原点对称的关系，可得C2，根据直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点，可得答案解答：解：函数y=x22x（x0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是x=y22y，a非常小时，直线y=a（a为常数）与C1没有交点，共有一个交点；直线y=a经过C1的顶点时，共有两个交点；直线y=a（a为常数）与C1、有两个交点时，直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点；故选：C14. （2014山东淄博,第8题4分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，2）它与反比例函数y=的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（a）Ay=x2x2By=x2x+2 Cy=x2+x2Dy=x2+x+2考点：待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征专题：计算题分析：将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式解答：解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=，即m=2，A（2，4），将A（2，4），B（0，2）代入二次函数解析式得：，解得：b=1，c=2，则二次函数解析式为y=x2x2故选A点评：此题考查l待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键15. （2014山东淄博,第12题4分）已知二次函数y=a（xh）2+k（a0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（d）A6B5C4D3分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B都对称轴的距离可得到h4解答：解：抛物线的对称轴为直线x=h，当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，x=h4故选D16（2014四川南充，第10题，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象如图，下列结论：abc0；2a+b=0；当m1时，a+bam2+bm；ab+c0；若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1x2，x1+x2=2其中正确的有（）ABCD解：抛物线开口向下，a0，抛物线对称轴为性质x=1，b=2a0，即2a+b=0，所以正确；抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，所以错误；抛物线对称轴为性质x=1，函数的最大值为a+b+c，当m1时，a+b+cam2+bm+c，即a+bam2+bm，所以正确；抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）的右侧当x=1时，y0，ab+c0，所以错误；ax12+bx1=ax22+bx2，ax12+bx1ax22bx2=0，a（x1+x2）（x1x2）+b（x1x2）=0，（x1x2）a（x1+x2）+b=0，而x1x2，a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=，b=2a，x1+x2=2，所以正确故选D17.（2014甘肃白银、临夏,第9题3分）二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（d）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）分析：此题可将b+c=0代入二次函数，变形得y=x2+b（x1），若图象一定过某点，则与b无关，令b的系数为0即可解答：解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x1），则它的图象一定过点（1，1）故选D18（2014甘肃兰州,第6题4分）抛物线y=（x1）23的对称轴是（c）Ay轴B直线x=1C直线x=1D直线x=319（2014甘肃兰州,第11题4分）把抛物线y=2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（c）Ay=2（x+1）2+2By=2（x+1）22Cy=2（x1）2+2Dy=2（x1）2220（2014甘肃兰州,第14题4分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（d）Ac0B2a+b=0Cb24ac0Dab+c0二、填空题1. （2014浙江杭州，第15题，4分）设抛物线y=ax2+bx+c（a0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为y=x2x+2或y=x2+x+2考点：二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式分析：根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可解答：解：点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，抛物线的对称轴为直线x=1或x=3，当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为y=a（x1）2+k，则，解得，所以，y=（x1）2+=x2x+2，当对称轴为直线x=3时，设抛物线解析式为y=a（x3）2+k，则，解得，所以，y=（x3）2+=x2+x+2，综上所述，抛物线的函数解析式为y=x2x+2或y=x2+x+2故答案为：y=x2x+2或y=x2+x+2点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解2. *( 2014年河南9（4分）)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A、B两点若点A的坐标为（2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2则线段AB的长为 .答案：8.解析：根据点A到对称轴x=2的距离是4，又点A、点B关于x=2对称，AB=8.3. (2014年湖北咸宁15（3分）)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度t/42014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系由此可以推测最适合这种植物生长的温度为1考点：二次函数的应用分析：首先利用待定系数法求二次函数解析式解析式，在利用二次函数最值公式求法得出即可解答：解：设 y=ax2+bx+c （a0），选（0，49），（1，46），（4，25）代入后得方程组，解得：，所以y与x之间的二次函数解析式为：y=x22x+49，当x=1时，y有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是1故答案为：1点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式，得出二次函数解析式是解题关键3.4.5.6.7.8.三、解答题1. （2014上海，第24题12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t3，如果BDP和CDP的面积相等，求t的值考点：二次函数综合题分析：（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式，进一步得到对称轴；（2）分两种情况：当ACEF时；当AFCE时；两种情况讨论得到点F的坐标；（3）BDP和CDP的面积相等，可得DPBC，根据待定系数法得到直线BC的解析式，根据两条平行的直线k值相同可得直线DP的解析式，进一步即可得到t的值解答：解：（1）抛物线y=x2+bx+c经过点A（1，0），点C（0，2），解得故抛物线的表达式为：y=x2x2=（x1）2，对称轴为直线x=1；（2）由（1）可知，点E（1，0），A（1，0），C（0，2），当ACEF时，直线AC的解析式为y=2x2，直线EF的解析式为y=2x+2，当x=1时，y=0，此时点F与点E重合；当AFCE时，直线CE的解析式为y=2x2，直线AF的解析式为y=2x+2，当x=1时，y=4，此时点F的坐标为（1，4）综上所述，点P的坐标为（1，4）；（3）点B（3，0），点D（1，），若BDP和CDP的面积相等，则DPBC，则直线BC的解析式为y=x2，直线DP的解析式为y=x，当y=0时，x=5，t=5点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的表达式，待定系数法求直线的解析式，两条平行的直线之间的关系，三角形面积，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度2. （2014山东威海，第25题12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出BDA的度数考点：二次函数综合题分析：（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的ABE不存在，所以ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形由相似关系求出点E的坐标；（3）如图2，连结AC，作DEx轴于点E，作BFAD于点F，由BCAD设BC的解析式为y=kx+b，设AD的解析式为y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出D坐标，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出ACB=90，由平行线的性质就可以得出CAD=90，就可以得出四边形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出结论解答：解：（1）该抛物线过点C（0，2），可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2将A（1，0），B（4，0）代入，得 ，解得 ，抛物线的解析式为：y=x2+x+2（2）存在由图象可知，以A、B为直角顶点的ABE不存在，所以ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形在RtBOC中，OC=2，OB=4，BC=在RtBOC中，设BC边上的高为h，则h=24，h=BEACOB，设E点坐标为（x，y），=，y=2将y=2代入抛物线y=x2+x+2，得x1=0，x2=3当y=2时，不合题意舍去E点坐标为（0，2），（3，2）（3）如图2，连结AC，作DEx轴于点E，作BFAD于点F，BED=BFD=AFB=90设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，yBC=x+2由BCAD，设AD的解析式为y=x+n，由图象，得0=（1）+nn=，yAD=xx2+x+2=x，解得：x1=1，x2=5D（1，0）与A重合，舍去，D（5，3）DEx轴，DE=3，OE=5由勾股定理，得BD=A（1，0），B（4，0），C（0，2），OA=1，OB=4，OC=2AB=5在RtAOC中，RtBOC中，由勾股定理，得AC=，BC=2，AC2=5，BC2=20，AB2=25，AC2+BC2=AB2ACB是直角三角形，ACB=90BCAD，CAF+ACB=180，CAF=90CAF=ACB=AFB=90，四边形ACBF是矩形，AC=BF=，在RtBFD中，由勾股定理，得DF=，DF=BF，ADB=45点评：本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式和一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键4. （2014山东枣庄，第25题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x22x3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合） （1）求OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且SOCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PFx轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值考点：二次函数综合题分析：（1）由抛物线已知，则可求三角形OBC的各个顶点，易知三角形形状及内角（2）因为抛物线已固定，则S四边形OCDB固定，对于坐标系中的不规则图形常用分割求和、填补求差等方法求面积，本图形过顶点作x轴的垂线及可将其分为直角梯形及直角三角形，面积易得由此可得E点坐标，进而可求ED直线方程，与抛物线解析式联立求解即得P点坐标（3）PF的长度即为yFyP由P、F的横坐标相同，则可直接利用解析式作差由所得函数为二次函数，则可用二次函数性质讨论最值，解法常规解答：解：（1）y=x22x3=（x3）（x+2），由题意得，A（1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）在RtOBC中，OC=OB=3，OBC为等腰直角三角形，OBC=45（2）如图1，过点D作DHx轴于H，此时S四边形OCDB=S梯形OCDH+SHBD，OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，S梯形OCDH=（OC+HD）OH=，SHBD=HDHB=4，S四边形OCDB=SOCE=S四边形OCDB=，OE=5，E（5，0）设lDE：y=kx+b，D（1，4），E（5，0），解得，lDE：y=x5DE交抛物线于P，设P（x，y），x22x3=x5，解得 x=2 或x=1（D点，舍去），xP=2，代入lDE：y=x5，P（2，3）（3）如图2，设lBC：y=kx+b，B（3，0），C（0，3），解得 ，lBC：y=x3F在BC上，yF=xF3，P在抛物线上，yP=xP22xP3，线段PF长度=yFyP=xF3（xP22xP3），xP=xF，线段PF长度=xP2+3xP=（xP）2+，（1xP3），当xP=时，线段PF长度最大为点评：本题考查了抛物线图象性质、已知两点求直线解析式、直角三角形性质及二次函数最值等基础知识点，题目难度适中，适合学生加强练习5. （2014山东潍坊，第24题13分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（aO）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。考点：二次函数综合题分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；（2）设存在点K，使得四边形ABFC的面积为17，根据点K在抛物线y=x2+2x+3上设点K的坐标为：（x，x2+2x+3），根据S四边形ABKC=SAOC+S梯形ONKC+SBNK得到有关x的一元二次方程求出x即可.（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y的值，确定出D坐标，将x=1代入直线BC解析式求出y的值，确定出E坐标，求出DE长，将x=m代入抛物线解析式表示出F纵坐标，将x=m代入直线BC解析式表示出P纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ，由DE与QP平行，要使四边形PEDQ为平行四边形，只需DE=PQ，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，检验即可解：(1)由抛物线经过点C(O，4)可得c=4, 对称轴x= =1，b=2a， 又抛物线过点A（一2，O）0=4a2b+c， 由 解得：a=, b=1 ,c=4 所以抛物线的解析式是y=x+x+4(2)假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF、OF过点F分别作FHx轴于H , FGy轴于G设点F的坐标为（t, t2+t+4），其中Ot4， 则FH=t2 +t+4 FG=t, OBF=OB.FH=4（t2+4t+4）=一t2+2t+8 ,SOFC=OC.FC=4t=2tS四边形ABFCSAOC+SOBF +SOFC=4t2+2t+8+2t=t2+4t+12令一t2+4t+12 =17，即t24t+5=0，则=(一4)245=一40,方程t2 4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F (3)设直线BC的解析式为y=kx+b（kO），又过点B(4,0，), C(0,4)所以，解得：， 所以直线BC的解析式是y=一x+4 由y=x2+4x+4=一（x一1)2+，得D（1，）， 又点E在直线BC上，则点E(1，3)，于是DE=一3= .若以D.E.P.Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DEPQ，只须DE=PQ,设点P的坐标是（m，一m+4），则点Q的坐标是（m，一t2+m+4）当Om4时，PQ=（一t2+m+4）一（一m+4）=一m2+2m 由一m2+2m= ，解得：m=1或3当m=1时，线段PQ与DE重合,m=1舍去,m=3，此时P1 (3,1) 当m4时，PQ=（一m+4）一（一m2+m+4)= m22m,由m22m=，解得m=2，经检验适合题意，此时P2（2+，2一），P3（2一，2+）综上所述，满足条件的点P有三个，分别是P1 (3,1)，P2（2+，2 ），P3（2，2十）. 点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题6. （2014山东烟台，第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，ACB=90，OA=，抛物线y=ax2axa经过点B（2，），与y轴交于点D（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明EDAC的理由考点：二次函数综合题.分析：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得（2）通过AOCCFB求得OC的值，通过OCDFCB得出DC=CB，OCD=FCB，然后得出结论（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果解答：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a222aa，解得a=，抛物线的表达式为y=x2x（2）连接CD，过点B作BFx轴于点F，则BCF+CBF=90ACB=90，ACO+BCF=90，ACO=CBF，AOC=CFB=90，AOCCFB，=，设OC=m，则CF=2m，则有=，解得m=m=1，OC=OF=1，当x=0时y=，OD=，BF=OD，DOC=BFC=90，OCDFCB，DC=CB，OCD=FCB，点B、C、D在同一直线上，点B与点D关于直线AC对称，点B关于直线AC的对称点在抛物线上（3）过点E作EGy轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，解得k=，y=x+，代入抛物线的表达式x+=x2x解得x=2或x=2，当x=2时y=x+=（2）+=，点E的坐标为（2，），tanEDG=，EDG=30tanOAC=，OAC=30，OAC=EDG，EDAC点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握7.（2014江西抚州，第23题，10分） 如图，抛物线()位于轴上方的图象记为1 ，它与轴交于1 、两点，图象2与1关于原点对称， 2与轴的另一个交点为2 ，将1与2同时沿轴向右平移12的长度即可得3与4 ；再将3与4 同时沿轴向右平移12的长度即可得5与6 ； 按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象1 ,2 , ，n ,我们把这组图象称为“波浪抛物线”. 当时， 求图象1的顶点坐标； 点(2014 , 3) 不在 (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象n 的顶点n的横坐标为201，则图象n 对应的解析式为 ，其自变量的取值范围为. 设图象m、m+1的顶点分别为m 、m+1 (m为正整数),轴上一点Q的坐标为(12 ,0).试探究：当为何值时，以、m 、m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.解析：(1)当时， ，F1的顶点是（-1,1)； 由知：“波浪抛物线”的值的取值范围是-11， 点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上； 由平移知：F2： F3：， Fn的顶点横坐标是201，Fn的解析式是：， 此时图象与轴的两个交点坐标是（200,0)、(202,0), 200202 . (2)如下图，取OQ的中点O,连接Tm Tm+1 , 四边形OTmQTm+1是矩形， Tm Tm+1=OQ=12, 且 Tm Tm+1 经过O, OTm+1=6, F1： Tm+1的纵坐标为， ()2+12 =62 , = , 已知0 ， . 当时，以以O、Tm 、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形. 此时m=4. 8（2014山东济南，第28题，9分）（本小题满分9分）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求： 为何值时为等腰三角形； 为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少AyO第28题图1PABCMNxyO第28题图2【解析】（1）设平移后抛物线的解析式，将点A（8，,0）代入，得.顶点B（4,3），=OCCB12.（2）直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，当MNAN时， N点的横坐标为，纵坐标为，由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.当AMAN时，AN,由三角形ANQ和三角形APO相似可知,MQ，由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，解得：12（舍去）.当MNMA时，故是钝角，显然不成立.故.方法一：作PN的中点C，连接CM，则CMPCP，当CM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，此时3，证明如下：假设3时M记为，C记为若M不在处，即M在左侧或右侧，若C在左侧或者C在处，则CM一定大于,而PC却小于，这与CMPC矛盾，故C在右侧，则PC大于,相应PN也会增大，故若M不在处时 PN大于处的PN的值，故当3时，MQ3, ,根据勾股定理可求出PM与MN,故当3时，PN取最小值为方法二：由所在直线方程为，与直线AB的解析式联立，得点N的横坐标为，即，由判别式，得或，又，所以的最小值为6，此时3，当3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为9. （2014浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2（4kx+1）xk+1（k是实数）教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上学生思考后，黑板上出现了一些结论教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：存在函数，其图象经过（1，0）点；函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；当x1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由最后简单写出解决问题时所用的数学方法考点：二次函数综合题分析：将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；根据二次函数的增减性，即可作出判断；当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断解答：解：真，将（1，0）代入可得：2k（4k+1）k+1=0，解得：k=0运用方程思想；假，反例：k=0时，只有两个交点运用举反例的方法；假，如k=1，=，当x1时，先减后增；运用举反例的方法；真，当k=0时，函数无最大、最小值；k0时，y最=，当k0时，有最小值，最小值为负；当k0时，有最大值，最大值为正运用分类讨论思想点评：本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般10.(2014年贵州黔东南24（14分）)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值（3）根据直线AB的解析式，可求得直线AC的解析式y=x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标；解答：解：（1）B（4，m）在直线线y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx4上，c=6，a=2，b=8，y=2x28x+6（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n28n+6），PC=（n+2）（2n28n+6），=2n2+9n4，=2（n）2+，PC0，当n=时，线段PC最大且为（3）设直线AC的解析式为y=x+b，把A（，）代入得： =+b，解得：b=3，直线AC解析式：y=x+3，点C在抛物线上，设C（m，2m28m+6），代入y=x+3得：2m28m+6=m+3，整理得：2m27m+3=0，解得；m=3或m=，P（3，0）或P（，）点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识；11.（2014遵义27（14分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由（3）当P，Q运动到t秒时，APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标考点：二次函数综合题分析：（1）将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标（3）注意到P，Q运动速度相同，则APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示解答：解：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），解得 ，y=x2x4C（0，4）（2）存在如图1，过点Q作QDOA于D，此时QDOC，A（3，0），B（1，0），C（0，4），O（0，0）AB=4，OA=3，OC=4，AC=5，AQ=4QDOC，QD=，AD=作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即AEQ为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，DE=ADAE=x，在RtEDQ中，（x）2+（）2=x2，解得 x=，OAAE=3=，E（，0）以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，ED=AD=，AE=，OAAE=3=，E（，0）当AE=AQ=4时，OAAE=34=1，E（1，0）综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（，）理由如下：如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQAP于F，AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，AP=AQ=QD=DP，四边形AQDP为菱形，FQOC，AF=，FQ=，Q（3，），DQ=AP=t，D（3t，），D在二次函数y=x2x4上，=（3t）2（3t）4，t=，或t=0（与A重合，舍去），D（，）点评：本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目12.（2014十堰10（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，1）和（1，0）下列结论：ab+c=0；b24ac；当a0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；抛物线的对称轴为x=其中结论正确的个数有（）A4个B3个C2个D1个考点：二次函数图象与系数的关系分析：将点（1，0）代入y=ax2+bx+c，即可判断正确；将点（1，1）代入y=ax2+bx+c，得a+b+c=1，又由得ab+c=0，两式相加，得a+c=，两式相减，得b=由b24ac=4a（a）=2a+4a2=（2a）2，当a=时，b24ac=0，即可判断错误；由b24ac=（2a）20，得出抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，根据一元二次方程根与系数的关系可得1x=1，即x=1，再由a0得出x1，即可判断正确；根据抛物线的对称轴公式为x=，将b=代入即可判断正确解答：解：抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，0），ab+c=0，故正确；抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，1），a+b+c=1，又ab+c=0，两式相加，得2（a+c）=1，a+c=，两式相减，得2b=1，b=b24ac=4a（a）=2a+4a2=（2a）2，当2a=0，即a=时，b24ac=0，故错误；当a0时，b24ac=（2a）20，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，则1x=1，即x=1，a0，0，x=11，即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故正确；抛物线的对称轴为x=，故正确故选B点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质，不等式的性质，难度适中13.（2014十堰25（12分）已知抛物线C1：y=a（x+1）22的顶点为A，且经过点B（2，1）（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求SOAC：SOAD的值；（3）如图2，若过P（4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性专题：压轴题；存在型分析：（1）由抛物线的顶点式易得顶点A坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题（2）根据平移法则求出抛物线C2的解析式，用待定系数法求出直线AB的解析式，再通过解方程组求出抛物线C2与直线AB的交点C、D的坐标，就可以求出SOAC：SOAD的值（3）设直线m与y轴交于点G，直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形形状、位置随着点G的变化而变化，故需对点G的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标，从而求出相应的直线m的解析式解答：解：（1）抛物线C1：y=a（x+1）22的顶点为A，点A的坐标为（1，2）抛物线C1：y=a（x+1）22经过点B（2，1），a（2+1）22=1解得：a=1抛物线C1的解析式为：y=（x+1）22（2）抛物线C2是由抛物线C1向下平移2个单位所得，抛物线C2的解析式为：y=（x+1）222=（x+1）24设直线AB的解析式为y=kx+bA（1，2），B（2，1），解得：直线AB的解析式为y=x3联立解得：或C（3，0），D（0，3）OC=3，OD=3过点A作AEx轴，垂足为E，过点A作AFy轴，垂足为F，A（1，2），AF=1，AE=2SOAC：SOAD=（OCAE）：（ODAF）=（32）：（31）=2SOAC：SOAD的值为2（3）设直线m与y轴交于点G，与直线l交于点H，设点G的坐标为（0，t）当ml时，CGPQOCGOPQ=P（4，0），Q（0，2），OP=4，OQ=2，=OG=t=时，直线l，m与x轴不能构成三角形t=0时，直线m与x轴重合，直线l，m与x轴不能构成三角形t0且tt0时，如图2所示PHCPQG，PHCQGH，PHCPQG，PHCQGH当PHC=GHQ时，PHC+GHQ=180，PHC=GHQ=90POQ=90，HPC=90PQO=HGQPHCGHQQPO=OGC，tanQPO=tanOGC=OG=6点G的坐标为（0，6）设直线m的解析式为y=mx+n，点C（3，0），点G（0，6）在直线m上，解得：直线m的解析式为y=2x6，联立，解得：或E（1，4）此时点E在顶点，符合条件直线m的解析式为y=2x6Ot时，如图2所示，tanGCO=，tanPQO=2，tanGCOtanPQOGCOPQOGCO=PCH，PCHPQO又HPCPQO，PHC与GHQ不相似符合条件的直线m不存在t2时，如图2所示tanCGO=，tanQPO=tanCGOtanQPOCGOQPOCGO=QGH，QGHQPO，又HQGQPO，PHC与GHQ不相似符合条件的直线m不存在t2时，如图2所示此时点E在对称轴的右侧PCHCGO，PCHCGO当QPC=CGO时，PHC=QHG，HPC=HGQ，PCHGQH符合条件的直线m存在QPO=CGO，POQ=GOC=90，POQGOC=OG=6点G的坐标为（0，6）设直线m的解析式为y=px+q点C（3，0）、点G（0，6）在直线m上，解得：直线m的解析式为y=2x+6综上所述：存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似，此时直线m的解析式为y=2x6和y=2x+6点评：本题考查了二次函数的有关知识，考查了三角形相似的判定与性质、三角函数的定义及增减性等知识，考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，考查了通过解方程组求两个函数图象的交点，强化了对运算能力、批判意识、分类讨论思想的考查，具有较强的综合性，有一定的难度14.（2014娄底26（10分）如图，抛物线y=x2+mx+（m1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使POC=PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）利用根与系数的关系，等式x12+x22+x1x2=7由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=m，x1x2=m1代入等式，即可求得m的值，从而求得解析式（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得解答：解（1）依题意：x1+x2=m，x1x2=m1，x1+x2+x1x2=7，（x1+x2）2x1x2=7，（m）2（m1）=7，即m2m6=0，解得m1=2，m2=3，c=m10，m=3不合题意m=2抛物线的解析式是y=x22x3；（2）能如图，设p是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D若POC=PCO则PD应是线段OC的垂直平分线C的坐标为（0，3）D的坐标为（0，）P的纵坐标应是令x22x3=，解得，x1=，x2=因此所求点P的坐标是（，），（，）点评：本题考查了根与系数的关系是：x1+x2=，x1x2=，以及线段的垂直平分线的性质，函数图象交点坐标的求法等知识15.（2014娄底27（10分）如图甲，在ABC中，ACB=90，AC=4cm，BC=3cm如果点P
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