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第 二 课 时 两 平 面 垂 直第 1章 立 体 几 何 初 步 学 习 导 航 第 1章 立 体 几 何 初 步学 习目 标 1.了 解 二 面 角 、 二 面 角 的 平 面 角 、 直 二 面 角 、 两 个 平 面互 相 垂 直 等 概 念 2 理 解 两 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 和 性 质 定 理 (重 点 )3 掌 握 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 及 性 质 定 理 的 应 用 ， 求 二面 角 的 大 小 (难 点 )学 法指 导 通 过 实 例 让 同 学 们 直 观 感 知 “ 两 个 平 面 互 相 垂 直 ” 、“ 二 面 角 ” 概 念 的 形 成 过 程 ； 类 比 已 学 知 识 ， 归 纳“ 二 面 角 ” 的 度 量 方 法 及 两 个 平 面 垂 直 的 判 定 和 性 质定 理 ， 提 高 观 察 、 分 析 、 解 决 问 题 的 能 力 . 1 二 面 角 的 概 念(1)半 平 面 ： 平 面 内 的 一 条 直 线 把 这 个 平 面 分 成 _，其 中 的 每 一 部 分 都 叫 做 半 平 面 (2)二 面 角 ： 一 条 直 线 和 由 这 条 直 线 出 发 的 _所组 成 的 图 形 叫 做 二 面 角 这 条 直 线 叫 做 _每 个半 平 面 叫 做 _， 如 图 ， 中 ， 棱 为 l或 AB， 面为 、 记 作 l ( AB )或 P l Q(P AB Q)(P， Q分 别 为 在 、 内 且 不 在 棱 上 的 点 ) 两 部 分两 个 半 平 面二 面 角 的 棱二 面 角 的 面 任 意 一 点垂 直 于 棱 符 号 语 言 ： l,O l,OA ,OB ， _，_ AOB为 二 面 角 l 的 平 面 角 (4)二 面 角 大 小 的 度 量 ：二 面 角 的 大 小 可 以 用 它 的 _来 度 量 ， 二 面 角 的平 面 角 是 多 少 度 ， 就 说 这 个 二 面 角 是 多 少 度 二 面 角 的 大小 范 围 是 _.平 面 角 是 直 角 的 二 面 角叫 做 _ OA lOB l 平 面 角0 180 .直 二 面 角 (3)两 个 平 面 垂 直 的 判 定 定 理文 字语 言图 形语 言符 号语 言 如 果 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的 一 条 垂 线 ，那 么 这 两 个 平 面 互 相 垂 直l ，l 3.平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理文 字语 言 如 果 两 个 平 面 互 相 垂 直 ， 那 么 在 一 个 平 面 内 垂 直 于 它们 交 线 的 直 线 _另 一 个 平 面图 形语 言符 号语 言 垂 直 于 1 经 过 平 面 外 一 点 和 平 面 内 一 点 与 平 面 垂 直 的 平 面有 _个 解 析 ： 记 这 两 点 确 定 的 直 线 为 l.当 l 是 平 面 的 斜 线 时 ， 设l在 内 的 射 影 为 m， 则 l与 m确 定 一 个 平 面 ， 这 时 ；当 l 时 ， 则 过 l的 任 一 平 面 都 与 垂 直 2 下 列 命 题 中 ， 是 真 命 题 的 为 _(填 序 号 ) 二 面 角 的 大 小 范 围 是 大 于 0 且 小 于 90 ； 一 个 二 面 角 的 平 面 角 可 以 不 相 等 ； 二 面 角 的 平 面 角 的 顶 点 可 以 不 在 棱 上 ； 二 面 角 的 棱 和 二 面 角 的 平 面 角 所 在 的 平 面 垂 直 1或 无 数 解 析 ： 二 面 角 的 大 小 范 围 是 0 ， 180 ， 故 不 正 确 ； 一个 二 面 角 的 平 面 角 可 以 有 许 多 个 ， 由 等 角 定 理 ， 这 些 平 面 角必 相 等 ， 故 为 假 命 题 ； 由 二 面 角 的 平 面 角 的 定 义 可 知 不正 确 ； 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 知 正 确 3 下 列 说 法 ： 两 个 相 交 平 面 组 成 的 图 形 叫 做 二 面 角 ； 异面 直 线 a， b分 别 和 一 个 二 面 角 的 两 个 面 垂 直 ， 则 a， b所 成 的角 与 这 个 二 面 角 相 等 或 互 补 ； 二 面 角 的 平 面 角 是 从 棱 上 一点 出 发 ， 分 别 在 两 个 面 内 作 射 线 所 成 角 的 最 小 角 ， 其 中 正 确的 是 _ (填 序 号 ) 解 析 ： 对 于 ， 混 淆 了 平 面 与 半 平 面 的 概 念 ， 是 错 误 的 ； 对于 ， 由 于 a， b分 别 垂 直 于 两 个 平 面 ， 所 以 也 垂 直 于 二 面 角的 棱 ， 但 由 于 异 面 直 线 所 成 的 角 为 锐 角 (或 直 角 )， 所 以 应 是相 等 或 互 补 ， 是 正 确 的 ； 对 于 ， 因 为 不 垂 直 于 棱 ， 所 以 是错 误 的 4 如 图 ， 在 正 四 面 体 P-ABC(棱 长 均 相 等 )中 ,E是 BC的 中 点 则 平 面 PAE与 平 面 ABC的 位 置 关 系 是 _解 析 ： 因 为 PB PC， E是 BC的 中 点 ， 所 以 PE BC， 同 理AE BC， 又 AE PE E， 所 以 BC 平 面 PAE.又 BC平 面ABC， 所 以 平 面 PAE 平 面 ABC. 垂 直 如 图 ， 在 四 面 体 SABC中 ， ASC 90 ， ASB BSC 60 ， SA SB SC.求 证 ： 平 面 ASC 平 面 ABC.(链 接 教 材 P48例 2) 面 面 垂 直 的 判 定 法 二 ： 同 上 可 证 得 BA BC BS.作 BD 平 面 ASC交 于 D， 连 结 DA， DC， DS. BA BC BS， DA DC DS. D为 ACS的 外 心 ACS中 ， AS CS， ACS的 外 心 落 在 斜 边 的 中 点 上 ， 即 D AC， BD 平 面 ABC. 平 面 ASC 平 面 ABC. 方 法 归 纳根 据 面 面 垂 直 的 定 义 判 定 两 平 面 垂 直 实 质 上 是 把 问 题 转 化 成了 求 二 面 角 的 平 面 角 ， 通 常 情 况 下 利 用 判 定 定 理 要 比 定 义 简单 些 ， 是 证 明 面 面 垂 直 的 常 用 方 法 ， 即 要 证 面 面 垂 直 ， 只 要转 证 线 面 垂 直 ， 其 关 键 与 难 点 是 在 其 中 一 个 平 面 内 寻 找 一 条直 线 与 另 一 平 面 垂 直 1. 如 图 ， 设 AB是 圆 O的 直 径 ， C是 圆 周 上 除 A， B外 的 任 意 一点 ， PA 平 面 ABC.求 证 ： 平 面 PAC 平 面 PBC.证 明 ： 在 圆 O中 ， AB是 直 径 ， C为 圆 O上 除 A， B外 的 一 点 ，故 ACB 90 ， 即 AC BC.又 PA 平 面 ABC，BC 平 面 ABC， PA BC.故 BC 平 面 PAC. BC 平 面 PBC， 平 面 PBC 平 面 PAC. 如 图 ， 正 方 形 ABCD和 四 边 形 ACEF所 在 的 平 面 互 相垂 直 ， EF AC， AB ， CE EF 1， 求 证 ： CF 平 面BDE.(链 接 教 材 P49练 习 T6) 面 面 垂 直 性 质 定 理 的 应 用 方 法 归 纳在 应 用 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 时 必 须 注 意 两 个 条 件 ： 线 在 平面 内 ； 线 垂 直 于 两 平 面 的 交 线 ， 因 此 找 准 两 平 面 的 交 线 是关 键 在 应 用 线 面 平 行 、 垂 直 的 判 定 和 性 质 定 理 证 明 有 关 问 题 时 ，善 于 运 用 转 化 思 想 的 同 时 ， 还 应 注 意 寻 找 线 面 平 行 、 垂 直 所需 的 条 件 如 图 ， 在 三 棱 锥 V ABC中 ， VA VB AC BC 2，AB 2， VC 1， 试 画 出 二 面 角 V AB C的 平 面 角 ， 并 求 它的 度 数(链 接 教 材 P47例 1) 求 二 面 角 的 大 小 解 取 AB的 中 点 E， 连 结 VE， CE. VA VB AC BC 2， VE AB， CE AB， VEC就 是 二 面 角 的 平 面 角 VE EC VC 1， VEC 60 . 方 法 归 纳(1)求 空 间 角 ， 如 二 面 角 、 直 线 和 平 面 所 成 的 角 等 ， 都 是 找出 或 作 出 平 面 角 ， 再 把 平 面 角 放 在 三 角 形 中 ， 利 用 解 三 角形 得 到 平 面 角 的 大 小 或 三 角 函 数 值 (2)求 二 面 角 的 大 小 ， 其 步 骤 一 般 有 三 步 ： “ 作 ” ： 作 出 二 面 角 的 平 面 角 “ 证 ” ： 证 明 所 作 的 角 是 二 面 角 的 平 面 角 “ 求 ” ： 解 三 角 形 ， 求 出 这 个 角 规 范 与 警 示 (1)在 线 面 垂 直 和 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 中 ，有 一 些 非 常 重 要 的 限 制 条 件 ， 如 “ 两 条 相 交 直 线 ” ， “ 一个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的 一 条 垂 线 ” 等 ， 这 既 为 证 明 指 明了 方 向 ， 同 时 又 有 很 强 的 制 约 性 ， 所 以 使 用 这 些 定 理 时 ，一 定 要 注 意 体 现 逻 辑 推 理 的 规 范 性 (2)注 意 掌 握 好 以 下 几 个 相 似 的 结 论 垂 直 于 同 一 平 面 的 两 条 直 线 平 行 垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 个 平 面 平 行 垂 直 于 同 一 平 面 的 两 个 平 面 平 行 或 相 交 垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 平 行 、 相 交 或 者 异 面 错 因 与 防 范 (1)使 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 时 ， 必 须 证 得 三个 条 件 同 时 具 备 ， 才 能 判 定 直 线 与 平 面 平 行 ， 不 可 省 略 任 何一 个 条 件 (2)由 面 面 线 面 面 面 ， 注 意 转 化 思 想 的 应 用 ， 每 步必 须 满 足 定 理 的 条 件 ， 如 若 省 略 条 件 ， 将 导 致 证 明 推 理 过 程不 严 密 而 丢 分 (3)解 题 过 程 要 表 达 准 确 、 格 式 要 符 合 要 求 每 步 推 理 要 有 根有 据 计 算 题 要 有 明 确 的 计 算 过 程 ， 不 可 跨 度 太 大 ， 以 免 漏掉 得 分 点 引 入 数 据 要 明 确 ， 要 写 明 已 知 、 设 等 字 样 ， 要 养成 良 好 的 书 写 习 惯 4. 如 图 所 示 ， 在 空 间 四 边 形 ABCD中 ， AB CB， AD CD，E、 F、 G分 别 是 AD、 DC、 CA的 中 点 求 证 ： 平 面 BEF 平 面 BDG. 本 部 分 内 容 讲 解 结 束按 ESC键 退 出 全 屏 播 放
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