本章总结提升

数 学新 课 标 （ RJ） 八 年 级 上 册 本 章 总 结 提 升 本章知识框架本章知识框架整合拓展创新整合拓展创新 本章知识框架本章总结提升 本章总结提升 垂直平分线重合 本章总结提升(-x, y) (x,-y) 整合拓展创新 类型之一轴对称及轴对称图形 本章总结提升思想方法：(1)关于某直线对称的两个图形是全等形；(2)若两个图形关于某直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线，两个对应点到对称轴的距离相等；(3)若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称轴对称的这些性质是证明线段(或角)相等以及图形的变换等的重要工具 本章总结提升例1 图13T1中的图形不是轴对称图形的是()C 点评 判断一个图形是不是轴对称图形可以通过折叠，也可以运用轴对称的判定方法：对应点连线是否被对称轴垂直平分 【针对训练】本章总结提升1两个全等的三角形，可以拼出各种不同的图形，图13T2已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形(所画三角形可与原三角形有重叠部分)解析 此题画法很多，只要是轴对称图形就行了 本章总结提升解：画法很多，以下列出四种画法(如图13T3)，其中l为对称轴 本章总结提升 类型之二轴对称变换 思想方法：轴对称变换是指由一个平面图形得到它的轴对称图形；用坐标表示轴对称，是从数量关系的角度刻画了轴对称变换学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会通过简单的图案设计，确定最短路线等，进一步体会轴对称的应用价值在几何证明方面主要体现在把图形通过翻折等变换，把已知条件和待求结论相对集中，使证明或计算简便 本章总结提升例2 2012凉山州 如图13T4，梯形ABCD是直角梯形(1)直接写出点A，B，C，D的坐标；(2)画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形；(3)将(2)中的等腰梯形向上平移4个单位长度，画出平移后的图形(不要求写作法) 本章总结提升 本章总结提升解：(1)A(2，1)，B(4，4)，C(0，4)，D(0，1)；(2)根据A，B两点关于y轴的对称点分别为A(2，1)，B(4，4)，在平面直角坐标系中找出，并连接各点，即可得出图象，如图13T5所示中的四边形ABBA； (3)将对应点分别向上移动4个单位长度，即可得出图象，如图13T5所示中的四边形EFGH. 本章总结提升图13T5 【针对训练】本章总结提升2已知：如图13T6所示，在ABC中，BC x轴，BC2，点A的坐标为(4，3)，点B的坐标为(3，1)(1)画出ABC关于y轴对称的ABC；(2)求以点A，B，B，A为顶点的四边形的面积 解析 由条件可求得点C的坐标为(1，1)在(2)中以点A，B，B，A为顶点的四边形为梯形，由梯形面积公式求解 本章总结提升解：(1) BC x轴，且BC2，点B的坐标为(3，1)，点C的横坐标为1，纵坐标为1，即C点坐标为(1，1)所画出的ABC如图13T7所示 本章总结提升 本章总结提升 类型之三线段的垂直平分线 思想方法：线段的垂直平分线是指经过线段的中点并且与线段垂直的直线，它的主要性质是线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等反之，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此，对于涉及线段垂直平分线的题目，直接应用线段的垂直平分线的性质去证明线段或角相等以及计算线段或角的大小，要比利用三角形全等简捷 本章总结提升例3 如图13T8所示，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，ABC与ABD的周长分别为18 cm和12 cm，求线段AE的长 本章总结提升点评 本题既利用了线段的垂直平分线的意义，也利用了线段的垂直平分线的性质，通过比较两个三角形周长所涉及的边，可求得某一线段的长解答本题的关键在于充分利用已 知条件中的“线段垂直平分线”，将有关线段联系起来 【针对训练】本章总结提升3如图13T9所示，在RtABC中， C90，E为AB的中点，且DE AB于E， 1 21 2，求 B和 BAC的度数 本章总结提升解：解法一：在ABC中， C90， 1 2 B90. E为AB中点，且DE AB于E， ADDB(线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)在ADB中，ADDB， 2 B.又 1 21 2， 22 1， 12 12 190， 118， B36， CAB3 1318 54.故 B为36， BAC为54. 本章总结提升解法二：设 1x，则 22x，由线段垂直平分线的性质可得BDDA， B 22x. C90， x2x2x90，解得x18. B2x36， BAC3x54.即 B36， BAC54. 本章总结提升点评 本题运用线段垂直平分线的性质得到线段相等，再证角相等，再利用角的比例关系，从而达到求出角的度数的目的 本章总结提升 类型之四运用等腰三角形的性质进行计算或证明 思想方法：等腰三角形的性质主要有：(1)等边对等角；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”等腰三角形的性质广泛地应用于几何的证明与计算，特别是“三线合一”性质在用于证明线段相等、角相等、线段垂直等问题上比较简捷 本章总结提升例4 如图13T10所示，在ABC中，ABAC，D，E分别在AC，AB上，BDBC，ADDEBE，求 A的度数解析 题目已知条件中，相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因此可将“等边”转化为有关的“等角”，充分利用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180，求解此题 本章总结提升 【针对训练】本章总结提升4如图13T11，点D，E在ABC的边BC上，连接AD，AE. ABAC；ADAE；BDCE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：；.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)_；(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题，然后证明) 本章总结提升解：(1)；(2)略点评 有等腰三角形时常用到“等边对等角”和“三线合一”的性质 本章总结提升 类型之五等腰三角形、直角三角形、三角形全等、线段的垂直平分线的综合运用 思想方法：在运用直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半进行证明的过程中也利用了等边三角形的一个重要性质等边三角形又是等腰三角形的特例，等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴，而这些图形的性质都可利用三角形全等去证明所以它们是相互通融的，全等三角形是它们的基础因此，在利用它们进行与几何有关的证明与 计算时，要注意恰当地选用，使证明与计算更加简便 本章总结提升例5 如图13T12，RtABC中， ACB90，CD AB，垂足为D，AF平分 CAB，交CD于点E，交CB于点F. (1)求证：CECF； (2)将图中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图所示，试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论 本章总结提升解：(1)证明： AF平分 CAB， CAF EAD. ACB90， CAF CFA90. 又 CD AB， EAD AED90， CFA AED. AED CEF， CFA CEF， CECF. 本章总结提升(2)BECF.证明：如图13T12，由平移可得AEAE， EAB EAD CAE. ACB90， CAB B90.又CD AB， ACE CAB90， B ACE，ABEACE(AAS) BECE.又由(1)知CECF， BECF.点评 在一个三角形中，求证线段相等，往往证角相等 【针对训练】本章总结提升5如图13T13所示，已知ABC中，ABAC，AB，AC的垂直平分线DF，EG分别交BC，CB的延长线于点F，G.求证： 1 2. 本章总结提升证明：因为ABAC，所以 ABC ACB.因为DF，EG分别为AB，AC的垂直平分线，所以AFBF，AGCG，所以 1 BAC ACG， 2 BAC ABF.所以 1 BAC 2 BAC，所以 1 2.点评 遇到线段垂直平分线和等腰三角形时，首先考虑运用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，寻求最简捷的解题途径