二次函数y=ax2的图象和性质教学教案

yax2 ：二次函数的 象和性 春 彭思 茅山初 中学王辰一、教学目 .1. 会用描点法画出 yax 2的 象， 合 yax 2的 象初步理 解抛物 及其有关的概念 .2. 先画出函数 y ax 2 的 像，然后 察 像并 合所列函数 表探究其性 ，最 整理得出 。3. 在画二次函数 像的 程中渗透数形 合思想，在探究二次函数yax2 的性 程中 得 的 趣。二、教学重 点1.教学重点：二次函数 yax2 的 象的作法和性 ；2.教学 点：根据 象 和理解二次函数表达式与 象之 的 系.三、教学 程 （一）温故知新， 入新 1. 下列哪些函数是二次函数？一次函数？（ 1） y=3x-l（2）y=2x2 7（3） y=9x（ 4） y=x-2（5）y=(x+3) 2-x 2（6） y=3(x-1)2+12. 二次函数一般表达式？3. 回 所学 的一次函数的 象是什么形状？4. 描点法作 的一般步 ？5. 思考：二次函数的 象又如何画呢？生：独立思考， 手回答。（二）合作交流，探究新知1. 抛物 及相关概念用描点法画二次函数 y=x 2 的 象。解： (1) 列表 : 自 量 x 可以是任何 数，x 的互 相反数的两个 的函数 相等，以 0 中心，取几个自 量的整数 ，并求出y 。x3 2 10123y9410149(2) 用表里 x 、y 作 点的横 坐 ，在坐 平面中描点。(3) ：用平滑的曲 次 各点，得到函数y=x2 的 象，如 所示。 ： 察 个函数的 象，它有什么特点?生：自由回答。 生共同 ：像投 球或 球 球在空中所 的路 ，只是开口向上， 的曲 叫做抛物 。 上，二次函数的1图 像 都 是 抛 物 线 ， 它 们 的 开 口 向 上 或 向 下 。 二 次 函 数 y ax 2bxc 的 图 像 叫 做 抛 物 线y ax 2bx c 。师：这条抛物线是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？生：举手回答。师：标准答案，抛物线是轴对称图形,y 轴就是它的对称轴.师：抛物线与对称轴有交点吗？生：自由回答。师：归纳，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.顶点：抛物线与它的对称轴的交点，是抛物线的最高点或最低点。2. 探索 yax 2 性质（a 0 ）（ 1）请学生在同一直角坐标系中，用描点法画出函数y x2 ， y1 x2 ， y2x2 的图象，2并观察图象，找出它们的异同.展示学生的画图成果问题 1：请大家认真观察这些作品，并思考在列表和画图中还有哪些需要改善的地方？问题 2：这三个同学画出的二次函数的图象形状都不一样，哪个同学画的更准确一些？我们如何得到二次函数准确的图象？师：用 ppt 展示标准画法。2（ 2）根据图象发现问题，学生观察，小组交流讨论以下几个问题：A. 图象是轴对称图形吗？如果是, 它的对称轴是什么?B. 图象的开口方向是向上还是向下？图象的开口大小有什么规律？C. 图象的顶点是什么？顶点是抛物线的最高点还是最低点？当x 取什么值时 ,y 的值最小 , 最小值是什么 ?D. 当 x0 呢？生：小组交流讨论后派代表回答，小明说 A：图象是轴对称图形，对称轴是y 轴.小丽说 B：图象开口向上，a 越大开口越小 .小芳说 C: 图象的顶点是原点，为抛物线的最低点. 当 x=0 时 , 函数 y 的值最小 , 最小值是 0.小王说 D：当 x0 ( 在对称轴的右侧 ) 时, y随着 x 的增大而增大 .师：总结学生的回答，给出标准解释：A.这两个函数的图象都关于y 轴对称 . 这一点可以从刚才的列表中可以看出，x1, x2, x3, x4时所对应的 y值分别相等，如 (1,0.5), ( 1,0.5)等. 这样的两个点关于 y轴对称 . 由这些点构成的抛物线也关于y 轴对称 .从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y 轴对称的 .B.这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方. 如：y 2x 2离 y 轴近， y1x 2离 y 轴远 . 从列表可以看出：如121yx 2过点（ 2，2），而 y2x2过点（ 2，8）也就是说，当 x=2 时， y2x 2的图象对应的点高于yx 2所22对应的点 . 因此会有上述的结论 .C.从图中可以看出， x 可取 x 轴上的任意一点，而y 对应的是大于、等于零的数. 即抛物线有最低点（0，0）. 这一点可以从解析式中得到很好的解释，y2x 2x 可取任意实数 .x20,2x20y 0 图象开口向上 . 这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.D. 从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯. 这样它们的性质几发生了变化. 在 y 轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即 y 随 x 的增大而减小； 在 y 轴的右侧， 从左向右，呈上坡趋势，即 y 随 x 的增大而增大 . 这一变化趋势也可以从列表中看出 .3. 释疑解惑，内化新知（ a 0 ）（1）同 学 们 ， 刚 才 我 们 画 了yx2y1 x2y2x2 的 图 象 ， 通 过 观 察 和 小 组 交 流 知 道 了23yax2 (a0)的 图 象 和 性 质 ， 你 现 在 心 中 还 要 什 么 疑 惑 吗 ？ 请 在 纸 上 写 出 你 的 问 题 。4师：用 ppt 展示标准画法。y x2,y1x2,y 2x2师：函数的图象2，有什么共同点和不同点主要从以下几个方面考虑：1. 开口方向 2. 开口大小 3. 对称轴 4. 顶点坐标 5. 增减性学生观察，小组交流后派代表回答。生 1：共同点，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是y轴。生 2：共同点，在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大。生 3：不同点 ,开口大小不同 ;生 4：不同点， |a|越大，抛物线的开口越小生 5：共同点，在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而减小。教师肯定学生的回答，进行表扬。教师总结，学生填空，举手回答。( 板书： 22.1二次函数 y=ax 2 的图像和性质）y=ax2a0图象yOx位置开口向上 ,在 x 轴上方开口方向?a0yxO开口向下 ,在 x 轴下方|a|越大，开口越小对称性关于 y 轴对称，对称轴方程是直线x0顶点坐标是原点（ 0，0）顶点最值当 x=0 时， y 最小值 =0当 x=0 时， y 最大值 =0增减性当 x0 ( 在对称轴的右侧 ) 时, y 随着 x 的增大而减小 .5（ 3） 对比抛物线，一般地，抛物线y x2 和 yx2 . 它们关于 x 轴对称吗？2yax 和 yax 2 呢？生举手回答：在同一坐标系内, 抛物线 yax2 和 yax2 关于 y 轴对称。4. 典型例题，夯实新知例 1.A. 判断下列函数图象的开口方向：（ 1） y=5x2（2）y=-3 x2（3） y3 x2 （4） y3x22B上述四个函数图象的开口大小由大到小排列为：C上述哪些函数的图象，在 y 轴的右侧， y 随 x 的增大而减小？哪些函数的图象，当x”“”或 “”)；(2 y )y )y _y(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形 ABCD 的顶点 A、 B 在 x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为 2，求图中阴影部分的面积之和5. 自主练习，巩固提升A. 函数 y3 x2 的图象顶点是 _，对称轴是 _，开口向 _，7当 x _时，有最 _值是 _B. 函数 y6x 2 的图象顶点是 _，对称轴是 _，开口向 _ ，当 x _时，有最 _值是 _C. 二次函数 ymxm2 2 有最高点，则 m _D. 二次函数y(k 1)x 2 的图象如图所示，则k 的取值范围为 _E. 若二次函数yax 2 的图象过点（ 1， 2），则 a 的值是 _ 6F. 抛物线 y5x 2 y2x 2 y5x 2 y7x 2开口从小到大排列是_；（只填序号）其中关于x 轴对称的两条抛物线是和。1x 2G.点 A（，b）是抛物线 y上的一点， 则 b=；过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线另一点B 的坐标是。2H. 如图， A、B 分别为 yax 2上两点，且线段ABy 轴于点（ 0,6 ），若 AB=6，则该抛物线的表达式为。I. 当 m=时，抛物线 y(m 1)xm2 m 开口向下J. 二次函数 yax2与直线 y2 x3 交于点 P（1，b）（ 1）求 a、b 的值；（ 2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随 x 的增大而减小（三）小结拓展，回味新知A. 对自己说，你有什么收获？B. 对同学说，你有什么温馨提示？C.对老师说，你还有什么困惑？教师将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获，要求学生在组内交流后派代表发言.学生发言后，老师接着总结：本节课我们将一次函数的研究方法迁移到了二次函数的画法中，并认识到了二次函数的图象是一条抛物线， 然后进一步探究了抛物线yax 2的开口方向、 开口大小、 对称轴、顶点坐标及它所对应的二次函数的增减性，今后我们将研究更复杂的二次函数如：yax 2 +c ， yax2bx c 的图象及其性质，同学们也可以根据本节课的研究方法，自己课后先试一试 .（四）课后作业，巩固新知1教材 32 页练习；2预习 22.1.3二次函数y=ax2+k 的图象和性质四、教学反思从课本的体系来看，这节课明显是要让学生明白什么是二次函数，能区别二次函数与其他函数的不同，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数的性质。所以，在以后的教学中要设计适合学生探究的素材。教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我认为这种对性质的表述是教条化的，学生不容易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。但是能让学生理解和接受的知识才是最重要的。如果牵强的引出来，不一定是好事。我觉得要想提高自己的教学水平，就要及时反思自己教学中存在的不足，在每一节课前充分预想到课堂的每一个细节，想好对应的措施，不断提高自己的教学水平。对于练习的设计，仍然采取了不重复的原则性，尽量做到每题针对一个问题，并进行及时的小结，也遵循了从开放到封闭的原则，达到了良好的效果。78