数项级数的收敛判别法

E-mail: 2.交 错 级 数 的 收 敛 判 别 法3.绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛4.任 意 项 级 数 的 收 敛 判 别 法1.正 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 前 面 所 讲 的 常 数 项 级 数 中 ， 各 项 均 可 是正 数 ， 负 数 或 零 。 正 项 级 数 是 其 中 一 种 特 殊情 况 。 如 果 级 数 中 各 项 是 由 正 数 或 零 组 成 ，这 就 称 该 级 数 为 正 项 级 数 。 同 理 也 有 负 项 级数 。 而 负 项 级 数 每 一 项 都 乘 以 后 即 变 成 正 项级 数 ， 两 者 有 着 一 些 相 仿 的 性 质 ， 正 项 级 数在 级 数 中 占 有 很 重 要 的 地 位 。 很 多 级 数 的 敛散 性 讨 论 都 会 转 为 正 项 级 数 的 敛 散 性 . E-mail: 我 们 先 讨 论 一 类 特 殊 的 数 项 级 数 ， 即 各 项 都 是 正 数 或零 的 级 数 ， 这 正种 级 数 称 为 项 级 数 .定 义 设 级 数 1 , 0, 1,2,n nn u u n 为 正 项 级 数 .1 2 3 ns s s s 显 然 ,正 项 级 数 的 部 分 和 sn数 列 是 单 调 增 加 的 ， 即一 、 正 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 E-mail: 定理 正项级数1n nu 收 敛 ns有界.证: “” 1n nu 收 敛 ns收敛 ns有界. ns有界,又 ns是一个单调上升数列lim nn s存在1n nu 收 敛 .“ ” 11 ,( ), . nnn nn uS n u 由 定 理 1可 知 ,如 果 正 项 级 数 发 散 则 它 的 部 分 和即注 : E-mail: 证 明 :这 是 一 个 正 项 级 数 ， 其 部 分 和 为 :nns 21 121 1211 2 故 s n有 界 ， 所 以 原 级 数 收 敛 .n212121 2 1211 n 21 1 1 1 1 1 .1 2 1 2 1 2 1 2n nn 例 考 察 级 数 的 收 敛 性 E-mail: 定 理 1(比 较 判 别 法 ) 设 1n nu 与 1n n 是 两 个 正 项 级 数 ， 且 ,( 1,2,3, )n nu n 那 么 （ 1） 如 果 1n n 收 敛 ， 则 1n nu 收 敛 。（ 2） 如 果 1n nu 发 散 ， 则 1n n 发 散 。 证 : 设 ns 和 n 分 别 表 示 1n nu 和 1n n 的 部 分 和 ，nnu ns n显 然 由(1) 1n n 收 敛 n 有 界 ns 有 界 1n nu 也 收 敛 .(2) 1n nu 发 散 ns 无 界 n 无 界 1n n 也 发 散 . E-mail: 2 ( 1,2, ) ( , 0, , ),1 . n nn n u v nu kv k n N N 如 果 把 定 理 中 的 条 件 改 为其 中 为 某 一 个 自 然 数 则 结推 论 仍 成 立论例 2 判 定 p-级 数 的 敛 散 性 . 1 1 1 1 11 2 3p p p pn n n (常 数 p0) E-mail: (1) ,1 1 1 , ,pn np ： 设 时 由 比 较 判 别 法 知解 1 1 ;n n调 和 级 数 是 发 散 的 1 1 .pnp n 级 数 也 发 散 1(2) 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( )2 3 4 5 6 71 1 1 ( ) .8 15p p p p p p pn p ppn 当 时 ， E-mail: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )2 2 4 4 4 4 8 8.p p p p p p p p 它 的 各 项 均 不 大 于 级 数的 对 应 项 11 1,2pq 后 一 级 数 是 几 何 级 数 ， 公 比 1 1 .pn n 收 敛.所 以 此 级 数 收 敛由 此 可 得 结 论 ， p级 数当 时 发 散 ， p1时 收 敛 .1 1n pn1p E-mail: 例 2 证 明 级 数 1 )1(1n nn 是 发 散 的 .证 明 ,11)1(1 nnn ,111 n n 发 散而 级 数 .)1(11 n nn 发 散级 数 E-mail: 思 考 题 ： 若 正 项 级 数 1n na 则 下 列 级 数 的 敛 散 性 11n nnaa (2) 1n nna (3) 1 2n na收 敛 ，(1) 11(1) 1 1 0 1n n n nnn nn na a a aa aa 【 证 明 】由 ， 由 于 正 项 级 数 收 敛 ， 则 由比 较 判 别 法 ， 可 知 收 敛 ；2 2 2 1 21 11 1 1 1(2) ( ) ( )2 21n n n nnnn na a a an n nan n 由 ， 由 于 收 敛 ， 收 敛 ； 则 收 敛 ； E-mail: 1 221(3) lim 0 1nnn n n nn nnaa N n N a a aa 由 正 项 级 数 收 敛 ， 则 ， 当 时 ，由 比 较 判 别 法 ， 可 知 收 敛 ； E-mail: 1 1 , 1,1 ( 1,2, ), ; 1( 1,2, ) 2 , .nn n np nnu pu n unu nn 设 为 正 项 级 数推 如 果 存 在使 得 则 级 数 收 敛如 果 则 级 数 发 散论例 4 判 断 下 列 级 数 的 敛 散 性 1 1(1) (2 1) 2n n n 21 1(2) 1n nn 2 1(3) (ln )n n 2 1(4) (ln )nn n E-mail: 22 21 11 1 1(1) 2 1 (2 1) 2 2 21 12 2nn nn n u n n n n nn n 因 为 ， 所 以 由 于 ， 根 据 比 较 判 别 法 可 知 收 敛 ； 2 2 121 1 1 1(2) 1 2 2 211n nn n nv n n n nnn 因 ， 而 发 散 ， 所 以 发 散 ； 2 2 1 1(3) 2 ln , ln1 1(ln )n nn n n n nn n 因 为 当 时 ， 有 所 以 而 级 数 发 散 也 发 散 ； E-mail: 2 8 82 (4) 8 ln8 21 18 ln 2 ln 21 1 ( 8,9, )(ln ) 212 1(ln ) 1(ln )n n nnn nn nn en n nu nn n n 因 为 ， 于 是 ， 故 当 时 ，于 是 得由 于 级 数 收 敛 ， 根 据 比 较 判 别 法 可 知 收 敛 再 由 性 质 可 知 也 收 敛 E-mail: 定 理 2（ 比 较 审 敛 法 的 极 限 形 式 ）设 1n nu 与 1n nv 都 是 正 项 级 数 ,如 果则 (1) 当 时 ,二 级 数 有 相 同 的 敛 散 性 ; (2) 当 时 ， 若 收 敛 ,则 收 敛 ; (3) 当 时 , 若 1n nv 发 散 ,则 1n nu 发 散 ;,lim lvunnn l0 0l l 1n nv 1n nu E-mail: 证 明 lvunnn lim)1( 由 ,02 l对 于,N ,时当 Nn 22 llvull nn )(232 Nnvluvl nnn 即由 比 较 审 敛 法 的 推 论 , 得 证 . E-mail: (2) 由 于 0lim nnn vu (=0)取 =1时 ， N 0, 当 n N时 ，,0 1 nnnn vuvu ， 即故 由 比 较 判 别 法 ， 当 =0时 ， .11 收 敛收 敛 n nn n uv E-mail: (3) 由 于 nnn vulim (= )， 故M 0 (不 妨 取 M 1) , N 0, 当 n N 时 ，,1 Mvu nn 即 0 vn 0为 常 数 )解 ： 因 为 111lim 22 n ann (即 =1为 常 数 )又 1 1n n 是 调 和 级 数 ， 它 是 发 散 的 1 221n an 发 散 .故 原 级 数 E-mail: 练 习 2 判 别 级 数 1 )cos1(n nx的 敛 散 性 ， 其 中 , x0为 常 数 .解 ： 由 于 ，212lim1cos1lim 2 2222 xnnxn nx nn )0( 02 2 xx即而 1 21n n 是 n=2的 P一 级 数 ， 收 敛 的.)cos1( 1 收 敛 n nx故 原 级 数 E-mail: 设 1n nu 是 正 项 级 数 ,如 果 )(lim 1 数 或nnn uu则 1 时 级 数 收 敛 ; 1 时 级 数 发 散 ; 1 时 失 效 .比 值 审 敛 法 的 优 点 : 不 必 找 参 考 级 数 . 两 点 注 意 : ,11 发 散级 数例 n n ,11 2 收 敛级 数 n n ( 1) E-mail: ,232 )1(2 nnn nn vu 例 ,2 )1(211 收 敛级 数 n n nn nu ,)1(2(2 )1(2 11 nnnnn auu 但 ,61lim 2 nn a,23lim 12 nn a .limlim 1 不 存 在nnnnn auu E-mail: 例 7 判 别 级 数 .10!10 3211021101 32 的 收 敛 性 nn解 : 101!10.10 )!1( 11 nnnuu nnnn由 比 值 判 别 法 可 知 所 给 级 数 发 散 . 101lim lim 1 nuu nnnn E-mail: 1 !8 nn nn判 定 级 数 的例 收 敛 性 .n: !nnu n级 数 的 通 项 为 解 由 于 1 10 0 0( 1) 1( 1)!lim lim lim(1 ) 1,! n nn nn n nn nu n enu nn 由 比 值 判 别 法 可 知 所 给 级 数 发 散 . E-mail: 例 9 判 别 级 数 1 !1 n nnx 的 敛 散 性 ,其 中 x0为 常 数解 ： 记 ， 则!nxu nn 01lim ! !)1(limlim 11 nxnxnxuu nnnnnnn即 =01， 故 该 级 数 收 敛 . E-mail: 例 10 判 别 级 数 1 22n nnx 的 敛 散 性 ,其 中 x0为 常 数 .解 ： 记 ， 则22nxu nn 222222 2)1(21 )1(lim)1(limlim xn xnnxnxuu nnnnnnn 即 =x2, 由 达 朗 贝 尔 判 别 法 . E-mail: 当 | x |=1 时 ， =1, 但 原 级 数 为.1 1 21 22 nn n nnx这 是 n = 2 的 p一 级 数 ， 是 收 敛 的 . 综 上 所 述 ， 当 0 1 时 ， 原 级 数 发 散 . 当 0|x|1时 ， 1时 ， 0, a0为 常 数解 ： 记 ， 则nn axu axaxaxu nn nnn nn limlimlim即 ， 由 柯 西 根 值 判 别 法ax当 xa时 ，当 0 xa时 ， .1， 级 数 发 散 ax .1， 级 数 收 敛 ax E-mail: 当 x = a 时 ， =1, 但 ，11limlimlim naxnnnn axu故 原 级 数 发 散 .综 上 所 述 ， 当 0 xa 时 ， 原 级 数 收 敛 . 当 x a时 ， 原 级 数 发 散 . E-mail: 二 、 交 错 级 数 及 其 审 敛 法定 义 : 正 、 负 项 相 间 的 级 数 称 为 交 错 级 数 .nn nnn n uu 11 1 )1()1( 或 )0( nu其 中 E-mail: 证 明 nnnn uuuuuus 212223212 )()( 又 )()()( 21243212 nnn uuuuuus 1u ,01 nn uu .lim 12 uss nn ,0lim 12 nn u ,2 是 单 调 增 加 的数 列 ns ,2 是 有 界 的数 列 ns E-mail: )(limlim 12212 nnnnn uss ,s., 1uss 且级 数 收 敛 于 和 ),( 21 nnn uur余 项 ,21 nnn uur满 足 收 敛 的 两 个 条 件 , .1 nn ur定 理 证 毕 . E-mail: 11 1 1 1 1 2 3 1 n n n nu u 解 ： 由 题 可 知即 ： 11 1 13 ( 1) .nn n 例 讨 论 交 错 级 数 的 敛 散 性1 lim lim 0 nn nu n 又 ： 11 1( 1) 1nn sn 故 交 错 级 数 是 收 敛 ,其 和 E-mail: 解 2)1(2 )1()1( xx xx x )2(0 x,1单 调 递 减故 函 数 x x ,1 nn uu1limlim n nu nnn又 .0原 级 数 收 敛 . E-mail: 练 习 判 别 级 数 2 ln)1(n pnnn 的 敛 散 性 .解 ： 这 是 一 个 交 错 级 数 ，又 ，nnu pn ln1，0ln1limlim nnu pnnn令 ，xxxf pln1)( x2, +)， 则，0ln lnln)( 22 1 xx xpxxf p pp x2, +) 故 f (x) 2, +)， 即 有 unun+1成 立 由 莱 布 尼 兹 判 别 法 ， 该 级 数 收 敛 . E-mail: 三 、 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛定 义 正 项 和 负 项 任 意 出 现 的 级 数 称 为 任 意 项 级 数 . 定 理 若 1n nu 收 敛 ,则 1n nu 收 敛 .证 明 ),2,1()(21 nuuv nnn令 ,0nv显 然 ,nn uv 且 ,1 收 敛n nv),2(11 n nnn n uvu又 1n nu 收 敛 . E-mail: 上 定 理 的 作 用 ：任 意 项 级 数 正 项 级 数 E-mail: 例 如 11 1 1 11( 1) 1 1( 1)nn nn nn n n 收 敛 ，但 是 为 调 和 级 数 是 发 散 的 。1 1 1 1| | | |0n nn n nnnnn nu u uuu u 如 果 级 数 发 散 ， 则 不 能 判 定 级 数 也 发 散 ；但 是 如 果 用 比 值 判 别 法 或 根 值 判 别 法 判 定 发 散 ，则 可 以 判 定 级 数 必 定 发 散 。因 为 ， 此 时 值 得 注 意 不 趋 向 0， 从 而 也的 问 题 ： 不 趋 向 ， 因 此 发 散 。 E-mail: 解 ,1sin 22 nn n ,11 2 收 敛而 n n,sin1 2 n n n 收 敛故 由 定 理 知 原 级 数 绝 对 收 敛 . E-mail: 解 21 1| | (1 )2 nn nu n 1 1 1lim | | lim(1 ) 12 2nn nn nu en 有 lim 0nn u 可 知故 由 定 理 知 原 级 数 发 散 . E-mail: 练 习 2 级 数 1 1 )1ln(1)1(n n n 是 否 绝 对 收 敛 ?11)1ln(1)1ln(1)1( 1 nnnn解 ： 由 调 和 级 数 的 发 散 性 可 知 发 散 ， 1 11n n故 1 1 )1ln(1)1(n n n 发 散 .但 原 级 数 是 一 个 收 敛 的 交 错 级 数，)1ln(1 nun故 原 级 数 是 条 件 收 敛 ， 不 是 绝 对 收 敛 的 . E-mail: 绝 对 收 敛 的 级 数 几 个 注 释 ：1、 绝 对 收 敛 的 级 数 不 因 为 改 变 其 项 的 位 置 而 改 变 其 和 .这 也 叫 级 数 的 重 排 .对 于 一 般 的 级 数 则 不 成 立 . 11 1( 1) ln21 1 1 1 1 1 11 ln22 4 3 6 2 1 4 2 2nn n k k 例 如 ： ， 而2、 对 于 级 数 的 乘 法 ， 我 们 规 定 两 个 级 数 按 多 项 式 乘 法 规 则 形 式 地 作 乘 法 ： E-mail: 1 1 11 2 1 3 2 1n n nn n nn n n n nuu u u u 其 中 如 果 两 个 级 数 都 绝 对 收 敛 ， 则 两 个 级 数 相 乘 所得 到 的 级 数 也 绝 对 收 敛 ； 且 当 1 1 1,n n nn n nu A B AB 若 两 个 级 数 不 绝 对 收 敛 ， 则 上 式 不 一 定 成 立 。 E-mail: 四 、 任 意 项 级 数 的 收 敛 判 别 法 绝 对 收 敛 定 理 只 能 判 别 级 数 的 绝 对 收 敛性 ， 而 不 能 判 别 级 数 的 条 件 收 敛 性 。 为 了讨 论 级 数 的 条 件 收 敛 性 ， 我 们 给 出 两 个 常用 的 一 般 级 数 判 别 发 ， 先 看 一 个 引 理 。 E-mail: 1 2 1 21 2 1 2 11 , , , , , , :(1) , , , ;(2) , ,( 2 ).( )n nn kn k k nka a a b b ba a aM k kB b b b Ma bAbel M a a k 如 果 两 组 实 数与 满 足 条 件是 单 调 的存 在 正 数 对 于 任 一 自 然 数 (引 理 阿 贝 1 n) 有 则尔 E-mail: k 11 1 2 2 3 31: ,k kn k k n nkb B Ba b ab a b a b a b 证 明 得1 1 2 2 1 1( ) ( )n n na B a B B a B B 1 2 1 2 3 2 3 4 3 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n na a B a a B a a B a a B aB 1 11 .n k k nk a a M a M 1 21 2 2 3 n-1, , , , ,n na a aa a a a a a 由 于 是 单 调 的 ,所 以 是 同 号 的 , E-mail: 1 1 11 1 ( 2 ).n nk k k k n nk ka b a a M a M M a a 因 此 1 2 11, 0 , . nn k kk a a aa b a M 特 别 地 当 时 有 E-mail: 1 1 21 : (1) ; (2) , ( 1,2, ),. n nnnn nn nn u vun MB v v v M nu v 如 果 级 数 满 足 条 件数 列 单 调 减 少 趋 于 零存 在 与 无 关 的 正 数狄 利 克 莱 判 别 法 使 得 则 级 数 收 敛 E-mail: 1 21 2: (1), 0. (2), 2 .nn n n pu u uv v v M 由 条 件由 条 件 对 于 任 意 的 自 然 数 n和 p,有 证 明 根 据 阿 贝 尔 引 理 ,有 1 1 2 2 12 .n n n n n p n p nu v u v u v Mu 1(1), 0, , .2n n Nu M 由 条 件 对 于 任 意 给 定 的 存 在 时 有 E-mail: 1 1 2 2 .n n n n n p n pu v u v u v 因 此 , 1, .n nn u v根 据 柯 西 收 敛 准 则 级 数 收 敛:注 1, ( 1) ,n nv 在 上 述 级 数 中 取 时 则 狄 利 克 莱 判 别 法就 是 莱 布 尼 兹 判 别 法 ,因 此 可 以 说 ,狄 利 克 莱 判 别 法是 莱 布 尼 兹 判 别 法 的 推 广 . E-mail: 1 sin4 .n nn 例 16 判 别 级 数 的 收 敛 性1: , cos . ,42cos cos cos4 4 4n n nn nu v un nB 令 则 单 调 减 少 趋 于 零 且解 1 ( 1) 4cos sin 12 2cos .4 sin4 8sin 2n nnn n .根 据 狄 利 克 莱 判 别 法 可 知 所 给 级 数 收 敛 E-mail: 1 11 : (1) ; (2) . n nnn nn n nn u vu vu v 如 果 级 数 满 足 条 件数 列 单 调 有 界级 数 收阿 贝 尔 判 别 法 敛 则 级 数 收 敛 . E-mail: : , .nu S证 明 因 为 单 调 有 界 所 以 存 在 有 限 极 限 .n nu s u s不 妨 设 单 减 趋 于 ,则 单 调 减 少 趋 于 零1 1, .nn n kn kv B v n 又 收 敛 所 以 部 分 和 有 界 , =1,2, 1( ) ,n nn u s v 根 据 狄 利 克 莱 判 别 法 ,级 数 收 敛1 1 1( ) .n n n n nn n nu v u s v s v 从 而 级 数 也 收 敛 E-mail: 11 sin 1417 (1 ) .nn nn n 例 判 别 级 数 的 收 敛 性1 11: (1 ) , cos .4 . 16,nn nn nnnu vnu v 令则 单 调 有 界 由 例 级 数 收 敛 , 因 此 由 阿 贝 尔 判 别 法 可 知 所解 给 级 数 收 敛 .