导数--复合函数的导数练习题

函数求导1 .简单函数的定义求导的方法(一差、二比、三取极限)(1)求函数的增量 y f(x0x) f(x0);(2)求平均变化率一y xx)一f-(x0)。xx(3)取极限求导数 f(x0) lim f(xx一Ux x 0x. . . . . . .2 .导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f (xo)的导数就是导函数f(x),当x xo时的函数值。3 .常用的导数公式及求导法则:(1)公式(sin x) cosxn n 1(x )nxx x(e ) eC o, (C是常数)(cosx) sin x(ax)axln a(lOg a x)(tan x)(2)法则：1xln a12- cos xf(x) g(x)_1(ln x) x(cot x)1一 2 sin xf(x)g(x),f(x)g(x) f (x)g(x) g(x)f(x)f(x) f (x)g(x) g(x)f(x)g(x)g2(x)例：, 、32(1) y x x 4(2) ysin xx(3) y 3cos x 4sin x(4) y2x 3 2(5) y ln x 2复合函数的导数如果函数(x)在点x处可导，函数f (u)在点u= (x)处可导，则复合函数y= f (u)=f (x)在点x处也可导，并且(f (x)/= f (x)(x)或记作yx = yu?Ux熟记链式法则若 y= f (u), u= (x) y= f (x),则yx= f (u) (x)若 y= f (u), u= (v) , v= (x) y= f ( (x),则yx= f (u) (v) (x)(2)复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成 的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求 导时要由外到内，逐层求导。1例1函数y 4的导数.(1 3x)4解：y1(1 3x)4(1设 y u 4, u 1 3x,则，4 一yxyu ux (u ) u (1 3x) x54u(3) 12u5512(1 3x)12(1 3x)5解：yy1 x x( 1)(1 x)21(1 x)245(1x)1求下列函数的导数3 2x解:(1) y J3 2xu=3 - 2x,贝U有 y= VU , u= 3 -2xu,由复合函数求导法则 yY y. x u有 y = Ju u (3 2x)x =?uxx21u?(2)3 2x在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量于是前面可以直接写出如下结果：/1 一y =,?(3 2x)2 3 2x3 2x在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程:y 2 3 2x1?( 2)3 2x例4求下列函数的导数(1) y= J12xcos x(2) y=ln (x+%，1X2 )解：(1) y= J1 2x cos x由于y= -v；12x cos x是两个函数V112x与cos x的乘积，而其中.1 2x又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求 u= x+J1x?与y=ln u复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求Ux时用函数和的求导法则，而求(J x2 )的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以1? 1+( v1 x2 ) / =1? 1 2x2.22x 1 xx 1 x 2 1 x1? x V1x2 =1x 1x21 x21x2例 5 设 y ln(x vx 1)求 y .解利用复合函数求导法求导，得y ln( x x2 1),121(XX2 1 21 ( x2 1)-2(x x 1) x ，x 1x 、x 1121 12(x2 1)121 xx . x 121 x 1x . x 1, x 1. x 1小结 对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的4中括例 6 求 y=(x23x+2) 2sin3 x 的导数.解：y = ：(x2-3x+2)2 sin3 x+(x23x+2)2(sin3 x) 二2(x23x+2)( x23x+2) sin3 x+(x23x+2)2cos3x(3x) =2(x23x+2)(2 x3)sin3 x+3(x23x+2) 2cos3x.1 .求下函数的导数(1) y cosx3(2) y J2x 1(1)y=(5x 3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2 x2)3(4)y=(2x3+x)2(1) y=1(2x21)3(2) y=41 (3) y=sin(3 x-) (4)3x 16y=cos(1+ x2)一、 一 2. 3.2 y (2 x )； y sin x ； (3) ycos( x); y ln sin(3x 1).41.求下列函数的导数 y =sinx3+sin33x；sin2xy力lOga(X2 2)2.求ln(2x23x 1)的导数、选择题（本题共5小题，每题6分，共30分）11.函数y=2的导致是（）（3x 1）2A.6(3x 1)3B.6(3x 1)2C.6(3x 1)3D.6(3x 1)2B. 3cos (3x+ ) 4D. 3cos2 (3x+ ) 4贝U n=()3.函数y=sin （3x+-）的导数为（4A. 3sin (3x+ )C. 3sin2 (3x+)44.曲线y xn在x=2处的导数是12,A. 1B. 2I5.函数y=cos2x+sin V x的导数为( (cos ,- xA. 2sin2 x+2xsin . xC. 2sin2x+C. 3cos. xB. 2sin2x+2 xicos xD. 42xD. 2sin2x-=2 x6.过点P (1, 2)与曲线y=2x2相切的切线方程是()A. 4x y 2=0B. 4x+y 2=0C. 4x+y=0D. 4x y+2=0、填空题（本题共 5小题，每题6分，共30分）8 .曲线y=sin3x在点P ( , 0)处切线的斜率为 9 .函数 y=xsin (2x ) cos (2x+ )的导数是 10 .函数y= Jcos(2x 一)的导数为。,311 . f (x) xln x, f (x0) 2,则x0。例2 .计算下列定积分一、2“、2 2x1(1)x(x 1)dx;(2) (e-)dx4 x5.e dx的值等于2424242 ce e (C) e e 2 (D) e e 242(A) e e (B)39.计算由曲线y x36x和y2x所围成的图形的面积.复合函数的导数1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.A7.y=u3,u=1+sin3x 8.39.y，= sin4x+2xcos4x 2sin(2x )10. 3cos(2x )312 1111. cos - sin 一 x x x