高考理科数学易错题总结

2019 高考理科数学易错题总结重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性( 这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点) ，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点. 查字典数学网整理了2019 高考理科数学易错题总结，希望对大家有帮助。要点 1：利用导数研究曲线的切线1. 导数的几何意义：函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率 ( 瞬时速度就是位移函数对时间的导数) 。2. 求曲线切线方程的步骤： (1) 求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率 ;(2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。注：当曲线在点处的切线平行于轴 ( 此时导数不存在 ) 时，由切线定义可知，切线方程为 ; 当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。要点 2：利用导数研究导数的单调性 利用导数研究函数单调性的一般步骤。 (1) 确定函数的定义域 ;(2) 求导数 ;(3) 若求单调区间 ( 或证明单调性 ) ，只需在函数的定义域内解 ( 或证明 ) 不等式 0。若已知的单调性， 则转化为不等式 0 在单调区间上恒成立问题求解。要点 3：利用导数研究函数的极值与最值第 1页1. 在求可导函数的极值时， 应注意： ( 以下将导函数取值为 0的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数在点处有极小值 =0，可是这里的根本不存在，所以点不是的驻点 .(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点 .(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然 .(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域 . 如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导 ( 其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导 ) ，并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大 ( 小 ) 值 ( 如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大( 小). 记住这个定理很有好处) ，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大( 小 ) 值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用一般情况下选那个不带常数的。因为 .3. 利用定积分来求面积时，特别是位于轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.三、易错点点睛第 2页命题角度 1 导数的概念与运算1. 设， , ,nN,则 ( )A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 考场错解 选 C 专家把脉 由 =,f3(x) =(-sinx)=-cosx,，故周期为4。 对症下药 选 A2. 已知函数在 x=1 处的导数为 3，的解析式可能为 ( ) A.=(x-1)3+32(x-1) B.=2x+1 C.=2(x-1)2 D.=-x+3 考场错解 选 B f( x)=2x+1,f(x)=(2x+1)=2x+1|x=1=3. 专家把脉 上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为(2x+1)=2x+1.正确的是 (2x+1)=2,所以 x=1 时的导数是2，不是 3。=2e-xcosx令 f(x)=0,x=n+(n=1， 2，3， ) 从而 xn=n+。f(xn)=e-( n+)(-1)n=-e.数列 f(xn)是公比为 q=-e- 的等比数列。 专家把脉 上面解答求导过程中出现了错误，即(e-x)=e-x是错误的， 由复合函数的求导法则知(e-x)=e-x(-x)=-e-x才是正确的。 对诊下药 (1)证明：f(x)=(e-x)(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx) =-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx.令 f(x)=0得-2e-xsinx=0，解出 x=n,(n为整第 3页数，从而xn=n(n=1,2,3,)，f(xn)=(-1)ne-n,所以数列 |f(xn)|是公比 q=-e- 的等比数列，且首项f(x1)=-e-(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+xnf(xn)=nq(1+2q+nqn-1)aSn=q(q+2q2+nqn)=q(-nqn)从而 Sn=(-nqn)|q|=e -1 qn=0,专家会诊1. 理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数 f(x)在 x=a 处可导，则的运用。2. 复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏3. 求导数时， 先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数 ; 对数函数求导先化为和或差形式; 多项式的积的求导，先展开再求导等等。命题角度 2 导数几何意义的运用1. 曲线 y=x3 在点 (1,1) 的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形面积为 _. 考场错解 填 2 由曲线 y=x3 在点 (1 ，1) 的切线斜率为 1，切线方程为 y-1=x-1,y=x. 所以三条直线 y=x,x=0,x=2 所围成的三角形面积为 S=22=2。 专家把脉 根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1 显然是错误的。第 4页 对症下药 填。 =3x2 当 x=1 时 f(1)=3. 由导数的几何意义知，曲线在点 (1 ，1) 处的斜率为 3。即切线方程为 y-1=3(x-1)得 y=3x-2. 联立得交点 (2 ，4) 。又 y=3x-2 与 x 轴交于 ( ，0) 。三条直线所围成的面积为 S=4(2-)= 。2. 设 t0, 点 P(t,0) 是函数 =x3+ax 与 g(x)=bx3+c 的图像的一个公共点，两函数的图像在 P 点处有相同的切线。 (1) 用 t表示 a、b、c;(2)若函数 y=f(x)-g(x)在(-1 ，3) 上单调递减，求 t 的取值范围。 考场错解 (1)函数 =x3+ax 与 g(x)=bx2+c的图像的一个公共点 P(t,0).f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. 又两函数的图像在点 P 处有相同的切线， f(t) =g(t) 3t3+a=2bt. 由得 b=t, 代入得 a=-t2.c=-t3. 专家把脉 上面解答中得b=t 理由不充足，事实上只由、两式是不可用t 表示 a、 b、c，其实错解在使用两函数有公共点 P，只是利用f(t)=g(t)是不准确的，准确的结论应是 f(t)=0，即 t3+at=0 ，因为 t0, 所以 a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0, 所以 c=ab 又因为 f(x)、g(x) 在 (t,0)处有相同的切线，所以 f(t)=g;(t).即 3t2+a=2bt,a= -t2, b=t.因此c=ab=-t2t=-t3.故 a=-t2,b=t,c=-t3(2) 解法 1 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).第 5页当 y=(3x+t)(x-t)0时 , 函数 y=f(d)-g(x)单调递减。由 y0,若 t0, 则 t2019 高考理科数学易错题总结分享到这里，更多内容请关注高考数学复习指导栏目。第 6页