第五章 立体及其交线

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,基 本 要 求,1,、掌握立体的投影特性和作图方法。,2,、掌握在立体表面上取点的方法。,3,、掌握立体被截切后截交线的求法。,4,、掌握立体表面相交线的性质和求法。,平面立体是由若干个多边形平面所围成的，空间不同数量和位置的平面将构成不同的平面立体。我们画平面立体的投影可以归结为画它的所有多边形表面的投影。也就是画这些多边形边和顶点的投影。所以我们必须掌握平面立体表面上的点的取法，从而解决平面立体表面上的线，截交线等作图问题。,5-1,平面立体的投影,X,Y,o,一、平面立体的投影,1,、棱柱,（,1,）投影,投影特性：,一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为矩形。,1,、棱柱,（,2,）表面取点,注意两点：,1,）,利用棱柱表面积聚性,和点的投影特性。,2,）可见性判断。,X,Y,o,可见性？,可见性？,一、平面立体的投影,一、平面立体的投影,三棱柱,六棱柱,一、平面立体的投影,V,H,2,、棱锥,M,m,（,2,）表面取点,m,m,1,1,1,1,m,m,（,1,）投影,S”,C” a” b”,一、平面立体的投影,四棱锥,五棱锥,1,、平面立体的截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点也是两表面的共有点。,2,、截交线是一条闭合的平面多边形。,3,、多边形的各顶点是截平面与立体各棱线或边线的交点；多边形的各边是截平面和平面立体各表面的交线，或是截平面之间的交线。,截交线的性质,:,1.,平面与棱锥相交,2,.,平面与棱柱相交,3.,求平面立体截交线的步骤,二、平面立体截交线,二、平面立体截交线,a,b,c,q,p,1,2,(3),1,2,3,1,2,3,4,(5),4,5,4,5,作图步骤：, 作水平截面,Q,与,a,s,的交点,1,又与正截面,P,交于,2,（,3,），并对应在,as,上求出,1,，且过,1,作底边,ab,及,ac,的平行线,1 2,和,1 3,，其侧面投影积聚成直线,2,1,3,作图步骤：,然后作正截面,P,与正垂面,BCS,交出正垂线,4,（,5,），并对应在,bcs,上求出,4 5,，在,b,c,s,上求出,4,5,。在作截面,P,与,ABS,及,ACS,交出的截交线,2 4,、,3 5,及,2,4,、,3,5,。,作图步骤：, 加粗可见轮廓线,例题：,求三棱锥正面,投影被,Q,、,P,两,面截切以后交线,的三面投影。,1,.,平面与,棱锥,相交,S”,验证结果的正确性,二、平面立体截交线,例题：,求作正五棱柱被截,切后交线的三面投影图。,2,.,平面与,棱柱,相交,1,、首先要确定空间基本立体的形状。,2,、判断截平面的数量及各截面位置。,3,、作截面与立体各棱线交点的投影。,4,、连接立体同一表面上交点的投影。,5,、分析并作出各截平面之间的交线。,6,、判断交线可见性，补全棱线投影。,二、平面立体截交线,3,、求平面立体截交线的步骤：,好镜,注意：,截平面之,间的交线,二、平面立体截交线,例,3,求出立体被截切,后的三面投影。,验证结果的正确性,二、平面立体截交线,例,4,求出立体被截切,后的三面投影。,曲面立体则是由曲面和曲面或曲面和平面所围成的。,画曲面立体的投影就是要画它的轮廓线、尖点的投影以及转向轮廓线的投影。,工程中常见的曲面回转体，主要有圆柱体、圆锥体、球体等。,5-2,曲面立体,1,、形成,圆柱是由圆柱面、顶面和底面所围成的曲面立体。,圆柱面可看作是直线围绕其平行的轴线旋转而成。,一、圆柱体的投影,2,、圆柱的投影,3,、圆柱表面取点,投影可见否？,投影可见否？,投影可见否？,投影可见否？,一、圆柱体的投影,1,、形成,圆锥是由圆锥面和锥底面所围成的。,圆锥面可看作是直线绕着与其相交的轴线旋转而成。,二、圆锥体的投影,2,、圆锥的投影,3,、圆锥表面取点,投影可见否？,投影可见否？,1,）辅助素线法,2,）辅助平面法,投影可见否？,二、圆锥体的投影,1,、形成,球是由球面围成的，球面也可看作是圆绕其直径为轴线旋转而成。,三、球体的投影,2,、球的投影,3,、球的表面取点,投影可见否？,投影可见否？,如何求？,三、球体的投影,1,、形成,环是以圆为母线，绕轴线旋转而成。,四、圆环的投影,1,、投影,四、圆环的投影,H,V,W,2,、投影画法,四、圆环的投影,3,、投影特性及表面取点,四、圆环的投影,m,1,2,m,（,n,）,1,2,（,n,）,5-3,平面与曲面体相交,曲面立体截交线的性质,1.,曲面体的截交线常是由曲线或直线所围成的平面图形 。,2.,曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有线。,3.,曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。,4.,截交线的形状与立体的形状及截平面的相对位置相关。,矩形,椭圆,圆,截交线的形状有几种？,一、平面与圆柱相交,3,7,1,2,8,4,6,1 ,4,6 ,8 ,2 ,3,7 ,1,5,7,3,2,8,是什么立体？属于截切的那种情况？,分析：截交线的正面投影,截交线的水平投影,截交线的侧面投影,1,、找截交线的特殊点：最高点、最低点、最前点、最后点、最左点、最右点、即转向轮廓线上的点。,2,、找一般点（至少一对）,3,、将点的投影光滑连线,4,、加粗可见的轮廓线,5,5,4,6,例,1,作出立体被正垂面,P,截切以后的侧面投影,例,2,完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水平投影,a,b,a,(,b,),a,b,A,B,3,(4,),3,4,1,2,例,3,由空心缺口圆柱的正面投影和水平投影，作出被切后的侧面投影。,1,(2,),圆,椭圆,三角形,双曲线,抛物线,截交线的形状有几种？,二、平面与圆锥相交,6,5,是什么立体？属于截切的那种情况？,分析：截交线的正面投影,截交线的水平投影,截交线的侧面投影,1,、找截交线的特殊点：最高点、最低点、最前点、最后点、最左点、最右点、转向轮廓线上的点，椭圆长短轴上的点。,2,、找一般点（至少一对）,3,、将点的投影光滑连线,4,、加粗可见的轮廓线,3 ,(4),3,4,3,4,5 ,(6),5,6,7 ,(8),8,7,7,8,二、平面与圆锥相交,P,Q,1,(2,),1,2,1,2,7,7,7,5,(6,),5,6,6,5,3,(4,),3,4,3,4,例,4-1,求作圆锥被,Q,与,P,平面截切以后，所截交线的投影,q,p,1,1,1,2,3,2,3,2,3,4,5,4,5,4,5,例,4-2,求作圆锥被截切以后，截交线的投影,圆,三、平面与球相交,2,1,1,(2),2,1,例,5,作出半圆球被切口以后交线的投影,例,6,完成圆球被正垂面,P,截切以后的水平投影,1,2,3,(4,),5,(6,),7,(8,),1,2,4,3,7,8,p,r,q,6,5,P,有两个以上的基本体便可构成组合体，平面与组合体截切一般会产生几段不同的交线，相邻两段交线的分界点必在组合体的分界线上。因此，作组合截切时应先确定各立体的形状，及确定相邻立体间的分界线，然后分别作出各自的截交线。,四、立体组合截切,例,7,求作圆锥被,Q,与,P,平面截切以后，所截交线的投影,P,Q,(,10,),3,3,(5),1,5,1,3,1,5,2,(4),2,4,2,4,(6),10,(,6,),10,6,8,8,8,(7),9,9,7,9,7,3,2,1,2,(3),4,(5),2,3,1,4,5,5,4,1,例,8,完成组合立体被截切后的投影,5-4,两回转体表面相交,两回转立体表面相交产生的交线称为相贯线，它是两立体表面的共有线，一般是封闭的空间曲面，特殊情况下是平面曲线或直线。,求两立体表面相贯线的投影，实质上就是求出相贯线上一系列共有点的投影。,一、辅助平面求点法,辅助平面求点法，就是利用三面共点的原理求相贯线上的共有点，如图所示。,（,1,）辅助平面必须是特殊位置的平面；,（,2,）辅助平面与两回转体同时相交，所产生的两截交线必须是简单的直线和圆。,辅助平面的,选择原则：,5,6,2,1,解题步骤,1,空间分析,（,1,）两圆柱的相对位置怎样？,（,2,）小圆柱是否完全贯在大圆柱内？,5,光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；,6,加粗可见轮廓线。,2,判断一下相贯线的哪个投影是已知的，根据已知的投影求未知的投影；,3,求出相贯线上的特殊点,：,最高、最低、最前、最后、最左、最右、转向轮廓线上的点。,1,2,1,2,3,4,3,4,3,4,y,y,5,6,5,6,4,求出至少一对一般点,；,1,、圆柱和圆柱相交,P,H,P,W,实对实相贯,解题步骤,1,空间分析,（,1,）孔和柱的相对位置怎样？,（,2,）孔是否全贯在大圆柱内？,5,光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；,6,加粗可见轮廓线。,2,判断一下相贯线的哪个投影是已知的，根据已知的投影求未知的投影；,3,求出相贯线上的特殊点,：,最高、最低、最前、最后、最左、最右、转向轮廓线上的点。,4,求出至少一对一般点,；,空对实相贯,P,H,1,、圆柱和圆柱相交,5,6,2,1,1,2,3,4,3,4,y,5,6,5,6,1,2,3,4,P,W,y,5,6,2,1,解题步骤,1,空间分析,（,1,）孔和孔的相对位置怎样？,（,2,）孔是否完全贯在大圆柱孔内？,5,光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；,6,加粗可见轮廓线。,2,判断一下相贯线的哪个投影是已知的，根据已知的投影求未知的投影；,3,求出相贯线上的特殊点,：,最高、最低、最前、最后、最左、最右、转向轮廓线上的点。,1,2,3,4,3,4,5,6,5,6,4,求出至少一对一般点,；,空对空相贯,1,2,3,4,1,、圆柱和圆柱相交,y,P,H,y,P,W,1,、圆柱和圆柱相交,1,、圆柱和圆柱相交,（,1,）圆柱和圆柱偏交,解题步骤,1,空间分析,（,1,）两圆柱的相对位置怎样？,（,2,）小圆柱是否完全贯在大圆柱内？,5,光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性,(,公共的可见部分才是可见的,),；,6,加粗可见轮廓线。,2,判断一下相贯线的哪个投影是已知的，根据已知的投影求未知的投影；,3,求出相贯线上的特殊点,：,最高、最低、最前、最后、最左、最右、转向轮廓线上的点。,4,求出至少一对一般点,；,T,W,y,y,T,H,1,、圆柱和圆柱相交,（,1,）圆柱和圆柱偏交,（,2,）两圆柱等直径正交,（,2,）两圆柱等直径正交,1,、圆柱和圆柱相交,（,2,）两圆柱等直径正交,1,、圆柱和圆柱相交,y,y,P,W1,P,V1,y,y,1,2,5,光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；,6,整理轮廓线。,解题步骤,1,空间分析,（,1,）柱锥的相对位置怎样？,（,2,）圆柱是否完全贯在圆锥内？,2,判断一下相贯线的哪个投影是已知的？,3,求出相贯线上的特殊点。,4,求出至少一对一般点,；,1,1,4,3,4,3,2,2,3,4,P,V3,P,W3,P,V2,P,W2,5,6,5,6,5,6,（,1,）圆柱和圆锥正交,2,、圆柱和圆锥相交,（,2,）柱锥相贯线变化趋势,当大小发生变化时，,相贯线,的,变化趋势,当相对位置变化时，相贯线的变化趋势,2,、圆柱和圆锥相交,（,2,）柱锥相贯线变化趋势,2,、圆柱和圆锥相交,P,W3,P,V2,y,y,3,4,3,4,3,1,1,2,1,2,2,y,y,4,P,W2,P,V3,解题步骤,1,空间分析,（,1,）锥球的相对位置怎样？,（,2,）圆锥是否完全贯在球内？,2,相贯线的哪个投影是已知的？,P,V1,3,、圆锥和球相交,二、辅助球面求点法,辅助球面求点法，其基本原理是：,当球心在回转面轴线上时，该球面与回转面相交，其相贯线为垂直于回转轴的圆；若两回转面轴线相交，则以轴线的交点为球心作一球面，球面与两回转面的交线分别为圆，由于两圆均在同一球面上，因此，两圆的交点为两回转面的共有点。,二、辅助球面求点法,作出圆锥与圆柱轴线倾斜相交，表面相贯线的两面投影,o,1,）,两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆，并且该圆垂直于 公共轴线。,三、相贯线的特例,2,）,外切于球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线,椭圆。,三、相贯线的特例,三个或三个以上的立体相交在一起，称为复合相贯。这时相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。,处理复合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体相贯，从而确定其有几段相贯线组成。,5-5,多形体相交,1,2,1,2,1 2,3,3,3,4,4,4,例,1,分析并想象出物体相贯线投影的形状,例,2,补画两空心圆柱及侧块相交的正面投影图,P,H,P,V,本章结束,