渐开线与摆线课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,四、渐开线与摆线,杜贤中,讲授新课,1.,渐开线,探 究：,P40,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，,在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持,绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一,条曲线,.,这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨,迹方程？,1,、渐开线的定义,探究：,P40,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的,外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切,而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。,这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？,动点（笔尖）满足什么几何条件？,A,B,M,O,我们把笔尖画出的曲线叫做,圆的渐开线，,相应的定圆叫做,渐开线的基圆。,讲授新课,O,A,B,M,渐开线,讲授新课,根据动点满足的,几何条件,:,我们以基圆圆心,O,为原点，直线,OA,为,x,轴，,建立平面直角坐标系,(,图,).,2,、渐开线的参数方程,A,B,M,O,x,y,设基圆的半径为,r,，,绳子外端,M,的坐标为,(,x,y,).,显然，点,M,由角,惟一确定,.,这就是,圆的渐开线的参数方程,。,讲授新课,渐开线的应用：,由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动,平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿,轮采用这种齿形。,设计加工这种,齿轮,，需要借助,圆的渐开线方程。,在,机械工业,中,广泛地使用齿轮传递动力,.,讲授新课,2.,摆线,思考：,如果在自行车的轮子上喷一个白色,印记，那么当自行车在笔直的道路上行,驶时，白色印记会画出什么样的曲线？,上述问题抽象成数学问题就是：当,一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，,圆周上一个定点的轨迹是什么？,讲授新课,B,D,A,C,M,x,y,O,摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做,一个拱,。,E,x,y,O,D,A,E,B,M,C,讲授新课,2011,江西理数,10,如图，一个直径为,1,的小圆沿着直径,为,2,的大圆内壁的逆时针方向滚动，,M,和,N,是小圆的一条,固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁,的一周点,M,，,N,在大圆内所绘出的图形大致是,(,),A,思考,分析：,根据小圆与大圆半径,1,：,2,的关系，知小圆的周长为大圆的一半，,则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周若小圆转半圈，,则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一,N,M,y,x,N,M,半圈,一圈,一圈半,两圈,M,N,2:1,时,一个点的,内摆线,4:1,时,一个点的,内摆线,（星形线）,P44,课堂练习,如图，有一标准的渐开线齿,轮，齿轮的齿廓线的基圆直,径是,225mm,，求齿廓线,AB,所在的渐开线的参数方程,.,P42,2.,当 时，求出渐开线,上的对应点,A,B,并求出,A,，,B,的距离,.,3.,有一个半径是,a,的轮子沿着直线轨道滚动,在轮辐上有一,点,M,，与轮子中心的距离是,b(b,a,),求点,M,的轨迹方程,.,y,x,D,A,O,B,M,C,B,M,.,一个半径是,4r,的定圆,O,和一个半径是,r,的动圆,C,相内切,.,当圆,C,沿圆,O,无滑动地滚动时,探求圆,C,上定点,M(,开始,时在点,A),的轨迹的参数方程,.,A,M,C,O,P44,内摆线,（星形线）,4:1,B,x,y,D,小 结：,圆的渐开线，渐开线的参数方程；,2.,平摆线、摆线的参数方程,.,