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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,30,讲圆的基本性质,内容索引,基础诊断,梳理自测,理解记忆,考点突破,分类讲练,以例求法,易错防范,辨析错因,提升考能,基础诊断,返回,知识梳理,1,1.,圆的有关概念,(1),圆：平面上到,的距离等于,的所有点组成的图形叫做圆,.,定点,叫圆心,定长叫半径,以,O,为圆心的圆记作,O,.,(2),弧和弦：圆上任意两点间的部分叫,；连接圆上任意两点的线段叫,.,经过圆心的弦叫直径,直径是最长的弦,.,(3),圆心角：顶点在,角的两边与圆相交的角叫圆心角,.,(4),圆周角：顶点在,角的两边与圆相交的角叫圆周角,.,(5),等弧：在同圆或等圆中,能够完全,的弧,.,定点,定长,弧,弦,圆心,圆上,重合,2.,圆的有关性质,(1),圆的对称性：,圆是轴对称图形,其对称轴是,.,圆是中心对称图形,对称中心是,.,旋转不变性,即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来,的图形重合,.,过圆心的任意一条直线,圆心,(2),垂径定理及推论：,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,.,垂径定理的推论：,平分弦,(,不是直径,),的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一,条弧,.,(3),弦、弧、圆心角的关系定理及推论：,弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的,弧,所对的弦,.,推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两,条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相,等,.,相等,相等,(4),圆周角定理及推论：,圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的,.,圆周角定理的推论：,同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的,弧,；,半圆,(,或直径,),所对的圆周角是,；,90,的圆周角所对的弦是,.,一半,相等,直角,直径,(5),点和圆的位置关系,(,设,d,为点,P,到圆心的距离,r,为圆的半径,),：,点,P,在圆上,d,r,；,点,P,在圆内,d,r,；,点,P,在圆外,d,r,.,(6),过三点的圆：,经过不在同一直线上的三点,有且只有一个圆,.,三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接,圆的圆心叫做三角形的,；三角形的外心是三边,的交点,这,个三角形叫做这个圆的内接三角形,.,外心,中垂线,3.,与圆相关的辅助线,A.,CE,DE,B.,AE,OE,C.,D.,OCE,ODE,1.(2015,广元,),如图,已知,O,的直径,AB,CD,于点,E,则下列结论一定错,误的是,(,),诊断自测,2,B,1,2,3,4,5,解析,AB,是直径,且,AB,CD,AB,平分弦,CD,以及,CD,所对的优弧,选项,A,C,都正确；,OCE,和,ODE,都是直角三角形,且,CE,DE,CO,DO,Rt,OCE,Rt,ODE,(,HL,),选项,D,正确,.,2.(2016,绍兴,),如图,BD,是,O,的直径,点,A,、,C,在,O,上,AOB,60,则,BDC,的度数是,(,),D,1,2,3,4,5,A.60 B.45,C.35 D.30,3.(2016,黄石,),如图所示,O,的半径为,13,弦,AB,的长度是,24,ON,AB,垂足为,N,则,ON,(,),A.5 B.7,C.9 D.11,A,1,2,3,4,5,解析,由题意可得,OA,13,ONA,90,AB,24,4.(2016,乐山,),如图,C,、,D,是以线段,AB,为直径的,O,上两点,若,CA,CD,且,ACD,40,则,CAB,(,),A.10 B.20,C.30 D.40,B,1,2,3,4,5,解析,ACD,40,CA,CD,ABC,CDA,70,AB,是直径,ACB,90,CAB,90,B,90,70,20.,5.(2016,聊城,),如图,四边形,ABCD,内接于,O,F,是,上一点,且,连接,CF,并延长交,AD,的延长线于点,E,连接,AC,.,若,ABC,105,BAC,25,则,E,的度数为,(,),B,返回,1,2,3,4,5,A.45 B.50,C.55 D.60,解析,四边形,ABCD,内接于,O,ABC,105,ADC,180,ABC,180,105,75.,DCE,BAC,25,E,ADC,DCE,75,25,50.,考点突破,返回,例,1,(2016,宜昌,),在公园的,O,处附近有,E,、,F,、,G,、,H,四棵树,位置如图所示,(,图中小正方形的边长均相等,),现计划修建一座以,O,为圆心,OA,为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则,E,、,F,、,G,、,H,四棵树中需要被移除的为,(,),考点一,点与圆的位置关系,A,A.,E,、,F,、,G,B.,F,、,G,、,H,C.,G,、,H,、,E,D.,H,、,E,、,F,参考答案,分析,规律方法,OE,2,OA,即点,E,在,O,内,OF,2,OA,即点,F,在,O,内,OG,1,OA,即点,G,在,O,内,规律方法,本题是点与圆的位置关系,主要考查了网格中计算两点间的距离,比较线段长短的方法、计算距离是解本题的关键,.,点到圆心的距离小于半径,点在圆内,点到圆心的距离大于半径,点在圆外,点到圆心的距离等于半径,点在圆上,.,规律方法,练习,1,参考答案,分析,(2016,连云港,),如图,在网格中,(,每个小正方形的边长均为,1,个单位,),选取,9,个格点,(,格线的交点称为格点,).,如果以,A,为圆心,r,为半径画圆,选取的格点中除点,A,外恰好有,3,个在圆内,则,r,的取值范围为,(,),B,AB,AE,AD,垂径定理及其应用,考点二,例,2,(2016,宿迁,),如图,在,ABC,中,已知,ACB,130,BAC,20,BC,2,以点,C,为圆心,CB,为半径的圆交,AB,于点,D,则,BD,的长为,.,分析,如答图,作,CE,AB,于,E,B,180,BAC,ACB,180,20,130,30,在,Rt,BCE,中,CEB,90,B,30,CB,2,参考答案,分析,规律方法,本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识,解题的关键是根据垂径定理添加辅助线、记住直角三角形,30,角性质,属于基础题,中考常考题型,.,规律方法,(2016,绍兴,),如图,1,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图,2,是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为,A,B,AB,40cm,脸盆的最低点,C,到,AB,的距离为,10cm,则该脸盆的半径为,cm.,练习,2,参考答案,分析,25,分析,如答图,设圆的圆心为,O,连接,OA,OC,OC,与,AB,交于点,D,设,O,半径为,R,在,Rt,AOD,中,ADO,90,OA,2,OD,2,AD,2,R,2,20,2,(,R,10),2,R,25.,考点三,圆心角与圆周角定理,例,3,(2016,连云港,),如图,正十二边形,A,1,A,2,A,12,连接,A,3,A,7,A,7,A,10,则,A,3,A,7,A,10,.,参考答案,分析,规律方法,分析,设该正十二边形的圆心为,O,如答图,连接,A,10,O,和,A,3,O,75,本题主要考查正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理,作出恰当的辅助线、灵活运用有关定理来分析是解答此题的关键,.,规律方法,(2016,娄底,),如图,已知,AB,是,O,的直径,D,40,则,CAB,的度数为,(,),A.20 B.40,C.50 D.70,练习,3,分析,D,40,B,D,40.,AB,是,O,的直径,ACB,90,CAB,90,40,50.,参考答案,分析,C,例,4,(2016,吉林,),如图,四边形,ABCD,内接于,O,DAB,130,连接,OC,点,P,是半径,OC,上任意一点,连接,DP,BP,则,BPD,可能为,度,(,写出一个即可,).,分析,连接,OB,、,OD,四边形,ABCD,内接于,O,DAB,130,DCB,180,130,50,由圆周角定理得,DOB,2,DCB,100,DCB,BPD,DOB,即,50,BPD,100,BPD,可能为,80.,圆内接多边形,考点四,80(,参考答案不唯一,),参考答案,分析,规律方法,本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质,关键在于找出两个角之间的关系,利用代换的方法求解,.,规律方法,(2016,娄底,),如图,四边形,ABCD,为,O,的内接四边形,已知,C,D,则,AB,与,CD,的位置关系是,.,分析,四边形,ABCD,为,O,的内接四边形,A,C,180,又,C,D,A,D,180,AB,CD,.,AB,CD,练习,4,参考答案,分析,返回,易错防范,返回,试题,ABC,内接于半径为,r,的,O,且,BC,AB,AC,OD,BC,于,D,若,OD,r,求,A,的度数,.,易错警示系列,30,勿忘外心在三角形形外,错误参考答案展示,解：当圆心,O,在,ABC,内时,如图,1,连接,OB,、,OC,.,OCD,30,DOC,60.,同理可得,BOD,60,BOC,120,A,60.,当圆心,O,在,ABC,外时,如图,2,同上,可求得,BOC,120,A,BOC,120.,综上可知,A,的度数为,60,或,120.,正确解答,分析与反思,分析,图,1,图,2,分析与反思,分析,上述解法看上去好像思考周全,考虑了两种情况,其实又错了,因为,BC,AB,AC,BC,是不等边,ABC,的最大边,所以,A,60,不正确,产生错误的根源是图画得不准确,忽视了圆心的位置,实际上本题的圆心应在,ABC,的外部,OD,BC,OCD,30,DOC,60.,同理可得,BOD,60,BOC,120,A,120.,分析与反思,提起三角形的外心,同学们容易画出图形,其中,O,是,ABC,的外心,(,即,O,是,ABC,外接圆的圆心,),其实,有些问题中三角形的外心并不在三角形的内部,而在外部因此,解答圆内接三角形问题时,要注意对圆心进行探讨,特别是未明确圆心位置时,不要随意解答,返回,
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