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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,*,2.2,单输入单输出连续系统的时域分析,1,系统的微分方程及其经典解,2,零输入响应与零状态响应,系统数学模型的时域表示,时域分析方法,:,不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较,直观,，,物理概念比较清楚,，是学习各种变换域方法的基础。,本课程中我们主要讨论,输入、输出描述法。,描述方法,系统分析过程,经典法,:,部分已经讨论过，但与,(,t,),有关的问题有待,进一步解决,冲激响应,h,(,t,),；,卷积积分法,:,任意激励下的,零状态响应,可通过冲激响应来求。,(,新方法,),1,系统的微分方程的建立,一、系统的模型,若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用,线性常系数微分方程,来描述。,二微分方程的列写,对于电路系统，根据,元件特性约束,和,网络拓扑约束,列写系统的微分方程。,元件特性约束：,表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束：,由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL,KVL.,电感,电阻,电容,根据,KCL,代入上面元件伏安关系，并化简有,这是一个代表,RCL,并联电路,系统的二阶微分方程。,求并联电路的端电压 与激励 间的关系。,例,1,解：,一个线性系统，其,激励信号,与,响应信号,之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述,若系统为时不变的，则,C,，,E,均为常数,，此方程为常系数的,n,阶线性常微分方程。,三,n,阶线性时不变系统的描述,分析系统的方法：列写方程，求解方程。,求解方程时域,经典法,就是：齐次解,+,特解。,2,系统的微分方程的经典解法,(1),齐次解：,由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根,(,repeated root,),情况处理方法。,*经典法,解：,系统的特征方程为,特征根：,因而对应的齐次解为,(2),特 解：,根据微分方程,右端函数式形式,，设含待定系,数的特解函数式代入原方程，,比较系数,定出特解。,如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。,例,3:,给定微分方程,为使等式两端,平衡，试选特解函数式,将此式,代入方程,得到,如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。,例,3:,给定微分方程,等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有,联解得到,所以，特解为,这里，,B,是待定系数。,代入方程后有：,(2),经典法,全 解：,齐次解,+,特解，由初始条件定出齐次解。,建立 电流的微分方程并求,例,4:,如图所示电路，的位置而且已经达到稳态；,根据电路形式，列回路方程：,列结点电压方程,(1),（,1,）列写电路的微分方程,解：,系统的特征方程：,特征根：,齐次解：,方程右端自由项为,代入,式,(1),要求系统的完全响应为,特解：,(2),求系统的完全响应,换路前,因而有,:,由于,电容两端电压,和,电感中的电流,不会发生突变,要求的完全响应为,我们一般将激励信号加入的时刻定义为,0,，响应为 时的方程的解，初始条件,经典法,初始条件的确定,是此课程要解决的问题。,几种典型激励函数相应的特解,激励函数,e,(,t,),响应函数,r,(,t,),的特解,补：起始点的跳变,电容电压的突变,电感电流的突变,冲激函数匹配法确定初始条件,一起始点的跳变,我们来进一步讨论 的条件。,当系统用微分方程表示时，系统的 到 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含,及其各阶导数项,。,一般情况下换路期间,电容两端的电压,和流过电,感中的电流,不会发生突变。这就是在电路分析中的,换路定则,：,说明：,但是当有,冲激电流强迫作用于电容,或有,冲激电压强迫,作用于电感,，状态就会发生跳变。,对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中,储能元件的储能情况,;,1,电容电压的突变,由伏安关系,当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：,例,1,电流为冲激,2,电感电流的突变,如果为有限值，,冲激电压或阶跃电流作用于电感时：,例,2,配平的原理：,t,=0,时刻微分方程左右两端的,(,t,),及各阶导数应该平衡,(,其它项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其它项）,例,：,三冲激函数匹配法确定初始条件,该过程可借助,数学描述,在 中 时刻有,分析,中的,表示 到 的相对跳变函数，所以，,数学描述,设,则,代入方程,得出,所以得,即,即,（,1,）,将,e,(,t,),代入微分方程，,t,0,得,例,3,解：,(2),方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而,代入微分方程,求得,经典解法总结,经典法求解微分方程，其难点在于根据响应的起始状态,(0-,时刻的值,),求初始恒,(0+,时刻的值,),，苦方程右端人含,(t),及其导数项，则初始恒与起始状态相等。否则将发生变化，此时，可用,函数匹配法求初始值。,经典法的限制是：一般仅用于求解系统对一些典型激励的响应。,3,零输入响应与零状态响应,起始状态与激励源的等效转换,系统响应划分,对系统线性的进一步认识,一起始状态与激励源的等效转换,在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。,电容器的等效电路,电感的等效电路,电容器的等效电路,电路等效为,起始状态为零的电容器,与,电压源,的,串联,等效电路中的电容器的起始状态为零,故电路等效为,起始状态为零的电感,L,和,电流源,的并联。,电感的等效电路,二系统响应划分,自由响应强迫响应,(,Natural+forced,),零输入响应零状态响应,(Zero-,input+Zero,-state),暂态响应,+,稳态响应,(,Transient+Steady,-state),也叫固有响应，由系统本身特性决定的，和外加激励形式无关。对应于齐次解。,形式取决于外加激励。对应于特解。,是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间,t,增加，它将消失。,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。,没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。,(1),自由响应,：,(2),暂态响应：,稳态响应：,强迫响应：,(3),零输入响应：,零状态响应：,各种系统响应定义,系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值 决定的初始值求出待定系数。,系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值 为零决定的初始值求出待定系数。,求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。,求解,系统的零状态响应,=,激励与系统冲激响应的卷积，即,r,(,t,)=,e,(,t,),*,h,(,t,),三对系统线性的进一步认识,由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的，,(1),响应可分解为：,零输入响应零状态响应。,(2),零状态线性,：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。,(3),零输入线性,：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性,例,5,解得,
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