资源描述
,基础知识,一、两平面的位置关系,空间两个平面的位置关系有且只有两种,两个平面垂直是相交的一种特殊位置,平行和相交,二、两个平面平行的判定和性质,1两平面平行的判定,如果两个平面没有,，那么这两个平面互相平行；,如果一个平面内的两条,直线都,另一个平面，那么这两个平面平行即：,a,，,b,，,a,、,b,，,.,垂直于,同一条直线的两个平面平行即,l,，,.,平行于,同一平面的两个平面互相平行即,，,.,公共点,相交,平行于,a,b,A,l,2两平面平行的性质,如果两个平面平行，那么其中一个平面内的,平行于另一个平面即,，,a,如果两个平行平面同时和第三个平面,，那么它们的,交线,平行即,，,a,，,b,.,如果一条直线,垂直,于两个平行平面中的一个平面，那么它也,于另一个平面即,，,l,.,a,a,b,l,相交,直线,垂直,三、两个平面垂直的判定和性质,1两平面垂直的判定,两个平面相交，如果它们所成的二面角是,二面角，那么这两个平面互相垂直；,如果一个平面,另一个平面的一条,，那么这两个平面互相垂直，即,a,，,.,直,经过,垂线,a,2两平面垂直的性质,如果两个平面垂直，那么在一个平面,内,垂直于它们,的直线垂直于另一个平面，即,，,l,，,a,l,，,a,.,如果两个平面垂直，那么经过,垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内即,，,P,，,，,a,a,.,交线,a,第一平面内的一点,P,a,易错知识,一、几何定理应用失误,1如下图所示，已知,E,、,F,分别是正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,棱,AA,1,、,CC,1,上的点，且,AE,C,1,F,，则四边形,EBFD,1,的形状为,平行四边形,2在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,、,N,、,P,分别是,C,1,C,、,B,1,C,1,、,C,1,D,1,的中点，则平面,MNP,与平面,A,1,BD,的位置关系为,平行,二、逻辑推理失误,3如下图四棱锥,P,ABCD,的底面是一直角梯形，,AB,CD,，,BA,AD,，,CD,2,AB,，,PA,底面,ABCD,，,E,为,PC,中点，则,BE,与平面,PAD,的位置关系为,平行,回归教材,1下列命题中，正确的是(),A如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行,B如果一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行,C如果一个平面内的两条直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行,D如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行,解析：,由判定定理知，D正确,答案：,D,1,、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。,2,、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。,3,、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。,4,、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。,5,、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。,6,、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。,十一月 24,2024/11/29,2024/11/29,2024/11/29,11/29/2024,7,、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我,;,对事以诚信，事无不成。,2024/11/29,2024/11/29,29 November 2024,8,、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。,2024/11/29,2024/11/29,2024/11/29,2024/11/29,2已知,m,、,n,是不重合的直线，,、,是不重合的平面，有下列命题，其中真命题的个数是(),若,m,，,n,，则,m,n,；若,m,，,m,，则,；若,n,，,m,n,，则,m,且,m,；若,m,，,m,，则,A0B1C2D3,解析：,对于，,m,与,n,可平行或异面，故不正确；对于，,与,可平行，也可相交；对于，,m,与,、,可平行，也可在其内，对于，由面面平行的判定可知正确,答案：,B,3(2009福建，10)设,m,，,n,是平面,内的两条不同直线；,l,1,，,l,2,是平面,内的两条相交直线则,的一个充分而不必要条件是(),A,m,且,l,1,B,m,l,1,且,n,l,2,C,m,且,n,D,m,且,n,l,2,解析：,m,l,1,，且,n,l,2,，又,l,1,与,l,2,是平面,内的两条相交直线，,，而当,时不一定推出,m,l,1,且,n,l,2,，也可能异面故选B.,答案：,B,4(教材改编题)在边长为,a,的正,ABC,中，,AD,BC,于,D,，沿,AD,折成二面角,B,AD,C,后，,BC,a,，这时二面角,B,AD,C,的大小为_,解析：,由定义知，,BDC,为所求二面角的平面角，,又,BC,BD,DC,a,，,BDC,为等边三角形，,BDC,60.,答案：,60,5在空间四边形,ABCD,中，若,AD,BC,，,BD,AD,，则平面,ADC,和平面,DBC,的关系为_,解析：,AD,BC,，,AD,BD,，且,BD,BC,B,，,AD,平面,DBC,，又,AD,平面,ADC,，,平面,ADC,平面,DBC,.,答案：,垂直,【例1】如下图，在棱长为,a,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,(1)求证：平面,A,1,BD,平面,CB,1,D,1,；,(2)求平面,A,1,BD,和平面,CB,1,D,1,的距离,命题意图,主要考查面面平行的判定和两平行平面间距离的求法,分析,由正方体的对称性，注意,AC,1,平面,A,1,BD,，,AC,1,平面,CB,1,D,1,，设,AC,1,分别交平面,A,1,BD,、,CB,1,D,1,于,M,、,N,，则,MN,的长即为所求再在对角面,A,1,ACC,1,中求,MN,的长,解答,(1),证明：,A,1,BCD,1,为矩形,A,1,B,D,1,C,.,又,D,1,C,平面,CB,1,D,1,，,A,1,B,平面,CB,1,D,1,，,A,1,B,平面,CB,1,D,1,.同理,A,1,D,平面,CB,1,D,1,.,又,A,1,B,A,1,D,A,1,，平面,A,1,BD,平面,CB,1,D,1,.,(2),解：,连结,AC,1,分别交平面,A,1,BD,、平面,CB,1,D,1,于,M,、,N,，连,AC,、,A,1,C,1,.,BD,AC,，由三垂线定理知,BD,AC,1,.,AC,1,平面,A,1,BD,.,又平面,A,1,BD,平面,CB,1,D,1,.,AC,1,平面,CB,1,D,1,.,MN,的长就是平面,A,1,BD,与平面,CB,1,D,1,的距离,如下图所示，在矩形,A,1,ACC,1,中,平面,A,1,BD,平面,CB,1,D,1,，,平面,A,1,BD,平面,A,1,ACC,1,A,1,O,.,平面,CB,1,D,1,平面,A,1,ACC,1,CO,1,，,总结评述,求平面,A,1,BD,和平面,CB,1,D,1,的距离可以转化为求,C,到平面,A,1,BD,的距离，再利用体积变换(,VA,1,BCD,VC,A,1,BD,)求点面距离十分方便,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,、,N,、,P,分别是,C,1,C,、,B,1,C,1,、,C,1,D,1,的中点,求证：(1),AP,MN,；,(2)平面,MNP,平面,A,1,BD,.,分析：,(1)欲证,AP,MN,，只需证,AP,B,1,C,即可证线线垂直利用三垂线定理解决，于是找,AP,在平面,BC,1,内的射影利用平面,APC,1,B,平面,BB,1,C,1,可找到,AP,在平面,BC,1,内的射影为,BC,1,，问题得以解决,(2)证明面面平行利用面面平行的判定定理，在平面,MNP,内找两条与平面,A,1,BD,平行的相交直线即可解决问题,证明：,(1)连结,BC,1,、,B,1,C,，,则,B,1,C,BC,1,.,AB,平面,BC,1,，,AB,平面,APC,1,B,，,平面,APC,1,B,平面,BC,1,.,BC,1,是,AP,在平面,BB,1,C,1,内的射影,AP,B,1,C,.,又,B,1,C,MN,，,AP,MN,.,(2)连结,B,1,D,1,.,P,、,N,分别是,D,1,C,1,、,B,1,C,1,的中点，,PN,B,1,D,1,.,又,B,1,D,1,BD,，,PN,BD,.,又,PN,平面,A,1,BD,，,PN,平面,A,1,BD,.,同理，,MN,平面,A,1,BD,.,又,PN,MN,N,，,平面,PMN,平面,A,1,BD,.,总结评述：,两平面的位置关系有相交、平行解题中注意,“,垂直相交,”,这种特殊位置当两平面垂直相交时可得到线面垂直及平面内任意的直线在另一平面的射影在两平面的交线上等一些重要结论,在立体几何中，往往通过线线、线面、面面之间的位置关系的转化证明新的位置关系成立，熟练掌握这种思维方法，就能抓住这章的特点，许多平行或垂直问题就能寻找到解题思路.,【例2】(2009湖南),如图所示，在正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AB,AA,1,，点,D,是,A,1,B,1,的中点，点,E,在,A,1,C,1,上，且,DE,AE,.,(1),证明：,平面,ADE,平面,ACC,1,A,1,；,(2)求直线,AD,和平面,ABC,1,所成角的正弦值,证明,(1)由正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的性质知,AA,1,平面,A,1,B,1,C,1,.又,DE,平面,A,1,B,1,C,1,，所以,DE,AA,1,.,而,DE,AE,，,AA,1,AE,A,，所以,DE,平面,ACC,1,A,1,.,又,DE,平面,ADE,，故平面,ADE,平面,ACC,1,A,1,.,(2)解法一：如图所示，设,F,是,AB,的中点，连结,DF,、,DC,1,、,C,1,F,.由正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的性质及,D,是,A,1,B,1,的中点知，,A,1,B,1,C,1,D,，,A,1,B,1,DF,.,又,C,1,D,DF,D,，所以,A,1,B,1,平面,C,1,DF,.,而,AB,A,1,B,1,，所以,AB,平面,C,1,DF,.,又,AB,平面,ABC,1,，故平面,ABC,1,平面,C,1,DF,.,过点,D,作,DH,垂直,C,1,F,于点,H,，则,DH,平面,ABC,1,.,连结,AH,，则,HAD,是直线,AD,和平面,ABC,1,所成的角,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AA,1,AB,AC,4，,BAC,90，,D,为侧面,ABB,1,A,1,的中心，,E,为,BC,的中点,(1)求证：平面,DB,1,E,平面,BCC,1,B,1,；,(2)求异面直线,A,1,B,与,B,1,E,所成的角,解：,(1)证明：连结,AE,，,BAC,90，,AB,AC,，,E,为,BC,中点，,AE,BC,.,又平面,B,1,BCC,1,平面,ABC,，且交线为,BC,.,AE,平面,B,1,BCC,1,.,又,AE,平面,DB,1,E,，平面,DB,1,E,平面,BCC,1,B,1,.,(2)取,AE,中点,F,，连,DF,，在,AB,1,E,中，,DF,BDF,为,A,1,B,与,B,1,E,所成的角,【例3】(2009重庆，18),如图所示，在五面体,ABCDEF,中，,AB,DC,，,BAD,，,CD,AD,2.四边形,ABFE,为平行四边形，,FA,平面,ABCD,，,FC,3，,ED,.,求：(1)直线,AB,到平面,EFCD,的距离；,(2)二面角,F,AD,E,的平面角的正切值,解析,(1)因为,AB,DC,，,DC,平面,EFCD,，所以直线,AB,到平面,EFCD,的距离等于点,A,到平面,EFCD,的距离如图1，过点,A,作,AG,FD,于,G,.因,BAD,，,AB,DC,，故,CD,AD,.又,FA,平面,ABCD,，由三垂线定理知,CD,FD,，故,CD,平面,FAD,，知,CD,AG,.,故,AG,为所求的直线,AB,到平面,EFCD,的距离在Rt,FDC,中，,(2)由已知,FA,平面,ABCD,，得,FA,AD,，又由,BAD, 知,AD,AB,，故,AD,平面,ABFE,，从而,AD,FE,.所以，,FAE,为二面角,F,AD,E,的平面角，记为,.,由四边形,ABEF,为平行四边形，得,FE,BA,，从而,EFA, 在Rt,EFA,中，,(2008全国，19)如图，正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AA,1,2,AB,4，点,E,在,CC,1,上且,C,1,E,3,EC,.,(1)证明：,A,1,C,平面,BED,；,(2)求二面角,A,1,DE,B,的大小,命题意图：,本题主要考查线面关系的论证、二面角的求法以及空间想象能力和推理论证能力,解析：,依题设知,AB,2，,CE,1.,(1)如图(1)，连结,AC,交,BD,于点,F,，则,BD,AC,.,由三垂线定理知，,BD,A,1,C,.,在平面,A,1,CA,内，连结,EF,交,A,1,C,于点,G,，,Rt,A,1,AC,Rt,FCE,.,AA,1,C,CFE,，,CFE,ACA,1,，又,AA,1,C,与,ACA,1,互余，,CFE,与,FCA,1,互余于是,A,1,C,EF,.,A,1,C,与平面,BED,内两条相交直线,BD,、,EF,都垂直，,A,1,C,平面,BED,.,(2)如图(1)，作,GH,DE,，垂足为,H,，连结,A,1,H,.由三垂线定理知,A,1,H,DE,，,故,A,1,HG,是二面角,A,1,DE,B,的平面角,1证明面面平行常用的方法有：,(1)定义；,(2)判定定理；,(3),l,，,l,.,2应用面面平行的性质定理时，关键是找(或作)铺助平面 ，对此需要强调的是：,(1)辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加；,(2)辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断,3注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化,应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”：,“线线平行”,“线面平行”,“面面平行”；,应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”：,“面面平行”,“线面平行”,“线线平行”,4两个平面垂直的判定方法有,(1)判定定理：,a,，,a,；,(2)定义法：证明二面角的平面角为90.,5出现两个平面垂直时，往往考虑用性质定理：,找交线，在一个平面内找(或作)交线的垂线，从而得到线面垂直，添加辅助线时，一定要有目的性，避免盲目性,面面垂直的性质定理是证明线面垂直，求点面距离的常用方法,6注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化,(1)利用判定定理时，由“低维”到“高维”；利用性质定理或定义时，由“高维”到“低维”；,(2)线面垂直是核心，联系线线垂直，面面垂直，线线垂直是基础,7求二面角的平面角常用的方法,(1)定义法；,(2)垂面法；,(3)三垂线定理法；,(4)面积射影法；,(5)向量法,请同学们认真完成课后强化作业,
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