两角和差的正弦余弦和正切公式课件

第五节 两角和与差的正弦、,余弦和正切公式,公式名,公式,两角和与,差的正弦,两角和与,差的余弦,两角和与,差的正切,1.,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,【,即时应用,】,(1),判断下列式子的正误,.(,请在括号内打“”或“,”),cos15=cos(45-30)=cos45-cos30(),sin15=sin(45-30)=cos45sin30-sin45cos30,(),cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45,(),cos15,=cos(60,-45,)=cos60,cos45,-sin60,sin45,(),(2),计算,sin72cos18+cos72sin18=_.,(3),计算,cos72cos12+sin72sin12=_.,【,解析,】,(1)cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30,故错误；,sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30,，故错误,;,正确，,cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45,故错误,.,(2),原式,=sin(72+18)=sin90=1.,(3),原式,=cos(72-12)=cos60=.,答案：,(1)(2)1 (3),2.,二倍角的正弦、余弦、正切公式,公式名,公式,二倍角的正弦,二倍角的余弦,二倍角的正切,【,即时应用,】,(1),思考：二倍角公式,tan2=,中对任意的,都成立,吗？,提示：,不一定,当,k+2k+(kZ),时，公式成,立,.,(2)sin15cos15,的值等于,_.,【,解析,】,sin15cos15=2sin15cos15,=sin30=,答案：,(3),若,tan=,则,tan2=_.,【,解析,】,答案：,热点考向,1,三角函数的化简,【,方法点睛,】,三角函数化简的技巧、方法和要求,(1),寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；,(2),正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；,(3),一些常规技巧：“,1”,的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等,(4),三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化,(5),化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数,.,【,提醒,】,公式的逆用、变形用十分重要，特别是,1+cos2=2cos,2,1-cos2=2sin,2,形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”,.,【,例,1】,化简下列各式：,【,解题指南,】,(1),若注意到化简式是开平方根和,2,是,的二,倍，,是 的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；,(2),由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若,注意到这两大特征，不难得到解题的切入点,.,【,规范解答,】,(1),因为 ,2,所以,=|cos|=cos,又因为,所以,所以，原式,=,答案：,(1)(2)1,【,互动探究,】,把本例中的,(2),改为,【,解析,】,原式,=,答案：,【,反思,感悟,】,1.,在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅,限于,2,是,的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，,同时还要注意,2,+,-,三个角的内在联系，,cos2=sin(2)=2sin()cos(),是常用的三角变换,.,2.,化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消,元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧,.,3.,常用的公式变形：,【,变式备选,】,不查表求,sin,2,20+cos,2,80+sin20cos80,的值,.,【,解析,】,sin,2,20+cos,2,80+sin20cos80,=(1,cos40)+(1+cos160)+sin20cos80,=1,cos40+cos160+sin20cos(60+20),=1,cos40+(cos120cos40,sin120sin40)+,sin20(cos60cos20,sin60sin20),热点考向,2,三角函数的求值,【,方法点睛,】,三角函数的求值主要有两种类型，即给角求值，给值求值,.,(1),给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数,.,(2),给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,.,一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的,.,【,例,2】,若 的值,.,【,解题指南,】,本题可以利用 的变换，同时要注意,x,的范围和符号，求出,sinx,和,cosx,代入原式求解；也可以化简,原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用,的变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解,.,【,规范解答,】,方法一：由,【,反思,感悟,】,1.,此题若将 的左边展开成,再求,cosx,sinx,的值就很繁琐，把,作为整体，并注意角的变换 这样就可运用二,倍角公式,.,化难为易，化繁为简是三角恒等变换的关键,.,2.,解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数,的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角,.,【,变式训练,】,(2012,山东高考,),若,sin2=,则,sin=(),【,解析,】,选,D.,由于,，则,2,，所以,cos20.,因为,sin2=,所以,又,cos2=1-2sin,2,，,所以,【,变式备选,】,已知 求,sin(+),的值,.,【,解析,】,又,sin(+)=-sin,+(+),热点考向,3,三角函数的给值求角,【,方法点睛,】,1.,三角函数的给值求角问题的一般思路,(1),求出该角的某一三角函数值；,(2),确定角的范围；,(3),根据角的范围写出角,.,2.,三角函数给值求角时应注意的问题,求角的某一三角函数值时,尽量选择在该角所在范围内是单调的函数，这样,由三角函数值才可以唯一确定角,.,(1),若角的范围是,(0,),选正、余弦皆可,;,(2),若角的范围是,(0,),选余弦较好,;,(3),若角的范围为 则选正弦,.,【,例,3】,已知,cos=,(1),求,tan2,的值；,(2),求,.,【,解题指南,】,(1),利用同角三角函数关系式求出,sin,tan,再求出,tan2,；,(2),把,写成,-(-),，根据已知条件求出,的正弦，,-,的正弦，求出,cos,，根据范围确定角,.,【,规范解答,】,(1),由,(2),由,由,=-(-),得,cos=cos,-(-),=coscos(-)+sinsin(-),【,反思,感悟,】,根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围,.,另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式,sinBcosA,sinAcosB,两端同除以,cosAcosB,得,tanB=tanA,等变化技巧也经常用到,.,【,变式训练,】,已知,、,、,均为锐,角，求,+,的值,.,【,解析,】,热点考向,4,三角函数的综合应用,【,方法点睛,】,三角函数公式和三角函数性质的关系,(1),两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中,.,需要利用这些公式,先把函数解析式化为,y=Asin(x+,),的形式,再进一步探讨定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质,.,(2),注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主要考查基本运算能力,【,例,4】,已知函数,f(x)=2sin(-x)cosx.,(1),求,f(x),的最小正周期；,(2),求,f(x),在区间 上的最大值和最小值,.,【,解题指南,】,先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换，再求三角函数的性质,.,【,规范解答,】,(1)f(x)=2sin(-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,函数,f(x),的最小正周期为,.,(2),由,f(x),在区间 上的最大值为,1,，最小值为,【,反思,感悟,】,利用三角函数公式进行三角恒等变形，要求熟练掌握公式和变换技巧，强化运算能力,.,以基本三角函数的性质为基础求,y=Asin(x+,),的性质，有时给出角的范围时要注意,x+,的范围的变化,.,【,变式训练,】,(2013,三明模拟,),已知函数,f(x)=,(1),求,f(x),的最小正周期,.,(2),若将,f(x),的图象向右平移 个单位,得到函数,g(x),的图,象，求函数,g(x),在区间,0,上的最大值和最小值,.,【,解析,】,(1)f(x)=sin(x+)+sin x=cos x+sin x=,2(sin x+cos x)=2sin(x+),所以,f(x),的最小正周期为,2.,(2),将,f(x),的图象向右平移 个单位,得到函数,g(x),的图象,.,g(x)=f(x-)=2sin,(x-)+,=2sin(x+),x,0,时，,x+,当,x+=,，即,x=,时，,sin(x+)=1,g(x),取得最大值,2.,当,x+=,即,x=,时,sin(x+)=-,g(x),取得最小值,-1.,【,变式备选,】,已知函数,(1),求函数,f(x),的最小正周期和图象的对称轴方程,;,(2),求函数,f(x),在区间 上的值域,.,【,解析,】,(1)f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)sin(x+),=cos2x+sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx),=cos2x+sin2x+sin,2,x-cos,2,x,=cos2x+sin2x-cos2x=sin(2x-),周期,T=,由,函数图象的对称轴方程为,(kZ).,(2),f(x)=sin(2x-),在区间 上单调递增，在区间,上单调递减，,当,x=,时，,f(x),取最大值,1.,又,当 时，,f(x),取最小值,函数,f(x),在区间 上的值域为,1.(2011,福建高考,),若,tan=3,，则 的值等于,(),(A)2,(B)3,(C)4,(D)6,【,解析,】,选,D.,的值,等于,6.,2.(2011,福建高考,),若,(0,，,),，且,sin,2,+cos2=,则,tan,的值等于,(),【,解析,】,选,D.sin,2,+cos2=,sin,2,+(1-2sin,2,)=,sin,2,=,又,(0,),sin=,cos=,3.(2012,重庆高考,),设,tan,tan,是方程,x,2,-3x+2=0,的两根,则,tan(+),的值为,(),(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3,【,解析,】,选,A.,由根与系数的关系可知,tan+tan=3,tantan=2,4.(2013,漳州模拟,),已知,tan=2,则,=(),【,解析,】,选,C.,5.(2013,南平,模拟,),已知,tan(x+)=2,则 的值为,_.,【,解析,】,由,tan(x+)=2,可得,答案：,