容斥原理及公式的证明

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,四年级奥数,之容斥原理及公示的证明,Nab,Nb,Nabc,Nca,Nbc,Nc,A,B,C,Na,容斥问题,某班,50,名学生前往上海世博会参观丹麦、法国、西班牙三个场馆。参观丹麦、法国、西班牙场馆的人数分别是,28,、,24,、,18,人，其中既参观丹麦馆又参观法国馆的,10,人，既参观丹麦馆又参观西班牙馆的,8,人，既参观法国馆又参观西班牙馆的,5,人。,已知全班每名学生都至少参观了三个场馆中的一个，那么，三个场馆都参观的学生有多少人？,容斥原理是国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，其实，容斥原理关键内容就是两个公式，只要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型。,1,、两个集合的容斥关系公式：,|AB|=|A|+|B|-|AB|,，或：,N=,Na+Nb,-Nab,。,2,、三个集合的容斥关系公式：,|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|CA|+|ABC|,，,或：,N=,Na+Nb+Nc-Nab-Nbc-Nca+Nabc,。,定理：,|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|CA|+|ABC|,或：,N=(,Na+Nb+Nc)-(Nab+Nbc+Nca)+Nabc,证明：设,Na,、,Nb,、,Nc,分别表示图,A,、,B,、,C,覆盖的面积；,Nab,、,Nbc,、,Nca,分别表示图,A,和,B,、,B,和,C,、,C,和,A,共同覆盖的面积；,Nabc,表示图,A,、,B,、,C,共同覆盖的面积。再设,N,1,、,N,2,、,N,3,、,N,4,、,N,5,、,N,6,、,N,7,分别表示,7,个互不覆盖区域的面积；,N,表示,7,个互不覆盖区域的面积总和。,则：,N,1,=Na-Nab-,Nca+Nabc,，,N,2,=,Nb-Nab-Nbc+Nabc,，,N,3,=,Nc-Nbc-Nca+Nabc,N,4,=Nab-,Nabc,N,5,=,Nbc-Nabc,N,6,=,Nca-Nabc,N,7,=,Nabc,N=(N,1,+N,2,+N,3,)+(N,4,+N,5,+N,6,)+N,7,=(Na+Nb+Nc-2Nab-2Nbc-2Nca+3Nabc)+(Nab,+Nbc+Nca-3Nabc)+Nabc,=,Na+Nb+Nc-Nab-Nbc-Nca+Nabc,Nab,Nb,Nabc,Nca,Nbc,Nc,A,B,C,Na,N,1,N,4,N,2,N,7,N,3,N,5,N,6,四年级奥数,之容斥原理及公示的证明,Nab=10,人,Nb,=24,人,Nabc,Nca,=5,人,Nbc,=8,人,Nc,=18,人,丹麦馆,法国馆,西班牙馆,Na=28,人,题目：某班,50,名学生前往上海世博会参观丹麦、法国、西班牙三个场馆。参观丹麦、法国、西班牙场馆的人数分别是,28,、,24,、,18,人，其中既参观丹麦馆又参观法国馆的,10,人，既参观丹麦馆又参观西班牙馆的,8,人，既参观法国馆又参观西班牙馆的,5,人。,已知全班每名学生都至少参观了三个场馆中的一个，那么，三个场馆都参观的学生有多少人？,解：参观了丹麦馆或法国馆或西班牙馆的人数为,50,人（即班级人数,50,人，,N=50,人）,28+24+18=70,人，,10+8+5=23,人，,70-23=47,人，,50-47=3,人（即,Nabc,=3,）,如果直接套用左边的公式，就是：,Nabc,=N-(,Na+Nb+Nc)+(Nab+Nbc+Nca,),=50-(28+24+18)+(10+8+5),=3(,人,),答：三个场馆都参观的有,3,人。,四年级奥数,之容斥原理及公示的证明,定理：,|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|CA|+|ABC|,或：,N=(,Na+Nb+Nc)-(Nab+Nbc+Nca)+Nabc,