学案4三角函数的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案,4,三角函数的性质,名师伴你行,SANPINBOOK,名师伴你行,SANPINBOOK,考点,1,考点,2,考点,3,填填知学情,课内考点突破,规 律 探 究,考 纲 解 读,考 向 预 测,考点,4,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,考 纲 解 读,三角函数的性质,(1),了解三角函数的周期性，知道三角函数的周期,.,(2),能根据图象理解正弦函数、余弦函数在,0,2,正切函数在,-,上的性,质（如单调性、最大值和最小值、图象与,x,轴的交点等）,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,三角函数的性质主要考查三角函数的周期性和单调性,题型以选择题和填空题为主,有时也会出现解答题.,考 向 预 测,返回目录,1.,三角函数的图象和性质,:,y=,sinx,y=,cosx,y=,tanx,定义域,性 质,函 数,R,R,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,图 象,值 域,对称性,对称轴,:,对称中心,:,对称轴,:,对称中心,:,对称中心,:,周 期,-1,1,-1,1,R,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,单调性,单调增区间,单调减区间,单调增区间,单调减区间,单调增区间,奇偶性,偶,奇,奇,名师伴你行,SANPINBOOK,2.,一般地，对于函数,f(x,),如果存在一个非零常数,T,使得当,x,取定义域内的每一个值时,都有,f(x+T,)=,f(x,),那么函数,f(x,),就叫做,.,叫做这个函数的周期,.,把所有周期中存在的最小正数,叫做,(,函数的周期一般指最小正周期,).,函数,y=,Asin(x,+),或,y=,Acos(x,+)(0,且为常数,),的周期,T=,函数,y=,Atan(x,+)(0),的周期,T=,.,周期函数,非零常数,T,最小正周期,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,考点,1,三角函数的定义域,名师伴你行,SANPINBOOK,求下列函数的定义域:,(1)y=lg(2sinx-1)+,;,(2)y=,.,返回目录,2sinx-10,1-2cosx0,的,x,值,可用图象或三角函数线解决,;,第,(2),小题解不等式组,2+0,tanx0,名师伴你行,SANPINBOOK,【,分析,】,第,(1),小题实际就是求使,然后利用数轴求解,.,【,解析,】,(1),要使原函数有意义,必须有,2sinx-10,sinx,1-2cosx0,cosx,.,由图知,原函数的定义域为,:,即,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,(2),要使函数有意义,2+0,x0,tanx0,xk,+,kZ,0 x4,kx,k,+(,kZ,).,函数定义域是,x|0 x,或,x4,.,则,得,(1),对于含有三角函数式的,(,复合,),函数的定义域,仍,然是使解析式有意义即可,.,(2),求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式,(,或等式,).,(3),求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位,圆中的三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,(1),求,f(x,)=,的定义域和值域,.,(2),求函数,y=,的定义域,.,(1),由函,数 ,0,得,sinx,利用单位圆或三角函数的图象,易得所求函数的定义域是,x|2k-x2k+,kZ,.,当,sinx,=,cos,(-x)=,时,y,min,=0;,当,sinx,=,cos,(-x)=-1,时,y,max,=.,所以函数的值域为,0,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,sinx0,16-x,2,0,2kx2k+,kZ,-4x4,函数的定义域是x|-4x-或0 x.,(2)由,得,返回目录,求下列函数的值域：,（,1,）,y=;,（,2,）,y=,sinx+cosx+sinxcosx,;,（,3,）,y=2cos(+x)+2cosx.,【,分析,】,求三角函数式的值域时，先观察解析式的结构，针对不同的结构类型采用不同的方法求其值域,.,考点,2,求三角函数的值域或最值,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,（,1,）,y=,=2cos,2,x+2cosx=2(cosx+),2,-.,于是当且仅当,cosx,=1,时,y,max,=4,但,cosx1,y0)的最小正周期,为,.,(1)求的值；,(2),若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移,个单位长度得到的.求y=g(x)的单调增区间.,名师伴你行,SANPINBOOK,考点,3,求三角函数的单调性,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,(1),因,f(x,)=sin,2,x+sin2x+cos,2,x+2cos,2,x,=sin2x+cos2x+2=sin(2x+)+2,依题意得,=,故,=.,(2),依题意得,g(x,)=sin3(x-)+2,=sin(3x-)+2.,由,2k-3x-2k+(,kZ,),解得,k,+x,k,+(,kZ,).,故,g(x,),的单调增区间为,k,+,k,+(,kZ,).,解题（,1,）时，容易直接由已知得,f(x,)=sin(2x+),+2,而造成中间步骤缺失，从而使得学生做对结果但得不到满分，因此在解题时一定要注意解答的规范性及步骤的完整性,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【,解析,】,方法一,：,y=cos(-2x+)=cos(2x-),由,2k2x-2k+(kZ),得,k,+,xk,+(,kZ,),，,即所求单调减区间为,k,+,k,+(,kZ,).,求函数,y=cos(-2x+),的单调减区间,.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,方法二,：,t=-2x+,为减函数，且,y=cost,的单调增区间为,2k-,2k,(,kZ,),由,2k-2x+2k,kZ,得,-,k,+,x-k,+(,kZ,).,所求单调减区间为,k,+,k,+(,kZ,).,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,已知函数,f(x,)=,sin(x,+)(0,0 ),是,R,上的偶函数，其图象关于点,M(,，,0),对称，且在区间,0,上是单调函数，求,和,的值,.,【,分析,】,该题可采用顺向求解的解答思路，即将题设条件式子化，获得 和,所应满足的等式，应用正、余弦函数的性质导出结果,.,式子化简的方法有多种，下面写出两种解法,.,考点,4,求三角函数的奇偶性,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【,解析,】,方法一：由,f(x,),是偶函数，得,f(-x,)=,f(x,),即,sin(-,x,+)=,sin(x,+),所以,-,cos,sinx,=,cos,sinx,对任意,x,都成立，且,0,，所以得,cos,=0,依题设,0 ,，所以解得,=.,由,f(x,),的图象关于点,M,对称，得,f(-x)=-f(+x).,取,x=0,，得,f()=-f(),，所以,f()=0.,名师伴你行,SANPINBOOK,f()=sin(+)=,cos,cos,=0,由,0,得,=+,k,k,=0,1,2,=(2k+1),k=0,1,2,.,当,k=0,时，,=,f(x,)=sin(x+),在,0,上是减函数；,当,k=1,时，,=2,f(x)=sin(2x+),在,0,，,上是减函数；,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,当,k2,时，,f(x,)=,sin(x,+),在,0,上不是单调函数,.,所以，综上得,=,或,=2.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,方法二,：由,f(x,),是偶函数和,0,，知,f()=f(),，,即,sin(+)=sin(+),，所以,-,cos,=,cos,得,cos,=0,又,0 ,所以求得,=.,因此，,f(x,)=,sin(x,+)=,cosx,由,f(x,),的图象关于点,M(,0),对称，知,f()=0,即,cos,=0 ,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,由,f(x,),在区间,0,上是单调函数和余弦函数的性质，知函数的周期,T=2,，即,00,0).,(1),取何值时，,f(x,),为奇函数；,(2),取何值时，,f(x,),为偶函数,.,【,解析,】,(1),xR,要使,f(x,),是奇函数，即,f(x)+f(-x,)=0,即,Asin(x,+)+,Asin(-x,+)=0,2Asin ,cosx,=0.,cosx,不恒为,0,，,sin =0,解得,=,k(kZ,).,即,=,k(kZ,),时，,f(x,),为奇函数,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,（,2,）,f(x,),是偶函数，,f(x)-f(-x,)=0,即,Asin(x,+)-,Asin(-x,+)=0.,得,2Acos ,sinx,=0,sinx,不恒为,0,，,cos,=0,得,=,k,+(,kZ,).,即,=,k,+(,kZ,),时，,f(x,),为偶函数,.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,1.,利用函数的有界性,(-1sinx1,-1cosx1),求三角函数的值域,(,最值,).,2.,利用函数的单调性求函数的值域或最值,.,3.,利用换元法求复合函数的单调区间,(,要注意,x,系数的正负号,).,4.,正余弦函数的线性关系式可以转化为,f(x,)=,asinx+bcosx,=,sin(x,+),特别注意把,sin,cos,sincos,的转化为,y=2sin(+),形式时,为特殊角,.,5.,注意,sinx+cosx,与,cosxsinx,的联系,令,t=,sinx+cosx,(-t ),时,sinxcosx,=(t,2,-1).,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,6.,闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响,.,7.,求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如,y=,Asin(x,+)(0),的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出,x,所在的区间,.,应特别注意,考虑问题应在函数的定义域内考虑,.,注意区分下列两题的单调增区间不同,:,(1)y=sin(2x-);(2)y=sin(-2x).,8.,利用换元法求三角函数最值时注意三角函数的有界性,如,:y=sin,2,x-4sinx+5,令,t=sinx(|t|1),则,y=(t-2),2,+11,解法错误,.,名师伴你行,SANPINBOOK,祝同学们学习上天天有进步！,名师伴你行,SANPINBOOK,