积分形式的基本方程2流体力学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,固定不变形的控制体,CV,控制面为,CS,设,=,v,流体系统动量,B4.4 积分形式的动量方程及其应用,由牛顿第二定律,F,为作用在流体系统上的所有外力之合力,B4.4.1 固定的控制体,由输运公式可得系统动量在控制体上的随体导数,B4.4.1,固定的控制体,(4-1),对固定控制体的流体动量方程为,v,为绝对速度。,定常流动时,上式表明:,定常流动时,作用在固定控制体上的合外力,从控制面上,净流出,的动量流量,B4.4.1,固定的控制体,(4-2),沿流管的定常流动,通常取,1,=,2,=1,。由一维定常流动连续性方程,可得,一维定常,流动,动量方程,CS,=,流管侧面,+,A,1,+,A,2,B4.4.1,固定的控制体,(4-3),具有多个一维出入口的控制体,注意:(1)控制体的选取,(3)或 代表流出平均速度,矢量,或 代表流入平均速度,矢量,(4)动量方程中的,负号,是方程本身具有的,和,在坐标轴上投影式的正负与坐标系选择有关,(5)包含,所有,外力(大气压强见例B4.4.1).,B4.4.1,固定的控制体,(4-4),(2)为各出入口质量流量大小,例B4.4.1,收缩喷管受力分析：关于大气压强合力(3-1),已知:,下图示喷管流,求：,固定喷管的力,F,解：,1.大气压强作用,取右上图示控制体,(1),(,喷管水流,),取右图示控制体,(2),(,喷管,),R,为扣除大气压作用的水流对喷管的作用力,例B4.4.1,收缩喷管受力分析：关于大气压强合力(3-2),取图示控制体,(3),(,水流,),作用在控制体,(3),上的作用力为,与 大小相等,方向相反。,2.用控制体,(1),求解本例,忽略重力,运用连续性方程,用伯努利方程,取,1,=,2,=1。,已知,0,以上均可不考虑大气压强作用,为表压强。,例B4.4.1,收缩喷管受力分析：关于大气压强合力(3-3),因,p,3,=0,由动量方程及 ,可得,例B4.4.1A,主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程(2-1),已知:,图示人主动脉弓,条件及所取控制体,CV,均与例相同,设血液的密度为,=1055 kg/,m,3,解：,建立坐标系,oxy,如图所示,求：,从控制体净流出的动量流量,例B4.4.1A,主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程(2-2),讨论：,计算结果表明从控制体净流出的动量流量很小，这说明血流对主动脉弓壁的冲击力很小。,(,mV,),y,=,Q,1,(0.11,V,2,cos16,+0.07,V,3,cos6,+0.04,V,4,cos23,0.7,8V,5,V,1,),=,0.1055(0.11,11.6,0.9613+0.07,18.2,0.9945,+0.04,8,0.9205,0.78,24.8,20.4),10,-2,=,0.039 N,(,mV,),x,=,Q,1,(,0.11,V,2,sin16,+0.07,V,3,sin6,+0.04,V,4,sin23,),=,0.1055(,0.11,11.6,0.2756+0.07,18.2,0.1045,+0.04,8,0.3907),10,-2,净流出控制体的动量流量的,x,、,y,坐标分量为,=,1,10,4,N,例B4.4.1B,弯曲喷管受力分析：压强合力的影响(3-1),已知:,设固定的收缩管的前半部向下弯曲,偏转角为,A,0,=0.00636m,2,Q,=0.02m,3,/s,d,0,=9cm,d,3,=2cm,。,出口端水喷入大气，忽略重力作用，,求：,(1)水流对喷管的作用力,F,的表达式,(2)若,=,30,求水流对喷管的作用力,解：,1.取只包含水流的控制体,CV,，,2.建立如图所示坐标系,Oxy,。,3.由一维不可压缩流体连续性方程,4.由伯努利方程,因,p,3,=,0,p,0,=395332.85Pa,(,与例相同,),5.由一维定常流动动量方程,设水对喷管的作,用,力,F,如图所示。对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力,F,和压强合力。入口截面压强为,p,0,(,表压强,方,向沿,x,轴向），出口截面压强为零：,(1),F,的表达式为,(2)设,=30,F,在,x,y,方向的分量式为,例B4.4.1B,弯曲喷管受力分析：压强合力的影响(3-2),压强合力,动量变化,例B4.4.1B,弯曲喷管受力分析：压强合力的影响(3-3),讨论：,(1)一般可不必考虑大气压强作用，压强用表压强即可。,(2),F,的方向可任意设定，计算值为正说明设定正确。固定喷管的,力通过喷管直接作用在水流上，与本例,F,大小相等，方向相反。,(3)结果表明喷管受力中压强占主要成分,流体动量变化引起的力占次要成分.当,角改变时,压强合力保持不变,仅动量变化引起力的改变,且占的比例较小.如在,F,x,中动量变化占的比例在,=83.62,时为零,在,=180,时为最大值,占,25%,.,已知:,水流截面积,A,1,=40cm,2,速度,V,1,=45m/s,.设水流沿导流片偏转一角度,后流出,忽略质量力和摩擦力.,求：,射流对固定导流片的作用力,F,与,角的关系,因,p,1,=,p,2,=0,故,V,1,=,V,2,=,V,.由不可压缩条件可得,A,1,=,A,2,=,A,.质流量为,例B4.4.1C,自由射流冲击固定导流片：偏射角的影响(3-1),解：,建立坐标系,oxy,，取,控制体,CV,为沿导流片内壁面上的区域，,如图所 示。射流按一维,流动处理,设出口速度为,V,2,由伯努利方程可得,CV,F,设,F,如图所示,控制体所受的合外力为-,F,由动量方程式可得,例B4.4.1C,自由射流冲击固定导流片：偏射角的影响(3-2),=,180,45,(1,cos,)=,8100,(1,cos,),F,=,VA,（,V,1,V,2,）,CV,F,例B4.4.1C,自由射流冲击固定导流片：偏射角的影响(3-3),讨论：,本例中水流对导流片的作用力完全由出入口的动量变化决定.,F,x,F,y,及与,的关系如图所示,随着,角的增大,力,F,逐渐增大,方向从,y,轴负向(,=,0,)逐渐转到,x,轴正向(,=,180,)。,求：,圆管入口段上的压强损失系数,C,p,解：,取,控制面,CS,如图示,，,动量方程为,例B4.4.1D,圆管入口段受力分析：速度分布的影响(3-1),已知:,半径为,R,的圆管内,在,x,=0,处,在,x,=,L,处速度分布发展为抛物 线形 ,压强为,。,设壁管上的粘性应力为,(,x,),.,(a),(b),L,为,x=,L,处的切应力.,将,(b),式整理为,例B4.4.1D,圆管入口段受力分析：速度分布的影响(3-2),第三项可用数值积分法算得为,0.643,。将以上结果代入(c)式整理得,第一项为,第二项为,(c),例B4.4.1D,圆管入口段受力分析：速度分布的影响(3-3),第三项可用数值积分法算得为,0.643,。将以上结果代入(c)式整理得,讨论：,设,x,=,L,处的速度分布为任意函数,u,(,r,),(,c,),式总可表为,上式中,L,/,d,为,x,L,段中的压强损失，,K,为入口段中附加的压强损失。,定常时,B4.4.2 匀速运动控制体,坐标系固定在匀速运动的控制体上,是相对速度),输运公式为,有多个一维出入口时,为作用在控制体上的合外力,B4.4.2,匀速运动控制体,求：,射流对运动导流片的冲击力,F,例B4.4.2,自由射流冲击运动导流片：相对运动的影响(2-1),由伯努利方程:,解,：,取固结于车厢的运动控制体和,运动坐标系如图示，冲击力如,图。,因,故,，,由连续性条件，,质流量为,已知:,车厢以 运动。一股射流沿车厢前进方向喷入固结于车厢上,的导流片，转角度 后流出。，忽略质量力和粘性影响。,y,作用在控制体上的外力为-,F,，由动量方程,例B4.4.2,自由射流冲击运动导流片：相对运动的影响(2-2),或,讨论：,计算结果表明与例,B4.4.1C,相比，除了冲击力减小外，其余结果相似，相当于用绝对速度 ,冲击固定导流片情况一样,。,B4.5 动量矩方程及其应用,由动量矩定理,系统动量矩对,固定控制体,CV,的随体导数,B4.5.1 固定的控制体,设,系统动量矩为,B4.5,动量矩方程及其应用,(5-1),对固定控制体,CV,的动量矩方程为,1定轴定常旋转流,场，取,定常流动动量矩方程,与定常流动动量方程比较,表示转轴对控制体内流体产生的力矩,泵类,涡轮机类,轴矩,B4.5.1,固定的控制体,(5-2),欧拉涡轮机方程,对匀速旋转的转子，取控制体：,由动量矩方程得,欧拉涡轮机方程,内圆为入口,外圆为出口,与牵连速度 方向一致时取，否则取-;,与转子旋转方向一致时取，否则取-。,质流量元 ,单位质量流体动量矩,B4.5.1,固定的控制体,(5-3),质流量元 ,单位质量流体动量矩,与定常流动动量方程比较,与,r,或,U,方向一致时取，否则取-;,定义轴功率 ，可得,B4.5.1,固定的控制体,(5-4),求：,(1),输入,轴矩,T,s,例B4.5.1,混流式离心泵：固定控制体动量矩方程(2-1),已知:,一小型混流离心泵如图,。,d,1,=30mm,，,d,2,=100 mm,，,b,=10 mm,n,=4000,转/分,，,=,3 m/s,。,(2)输入轴功率,解：,取包围整个叶轮的固定控制,体,CV,，忽略体积力和表面力。,设流动是定常的，由连续性方程可得,CV,例B4.5.1,混流式离心泵：固定控制体动量矩方程(2-2),V,1,=0,由欧拉涡轮机方程,输入功率为,叶轮旋转角速度为,=,2,n/60,=,2,4000/60,=,418.88(1/s),出口切向速度为,V,2,=,R,2,=,d,2,/2=418.88,0.1/2=20.94(m/s),有多个一维出口时,V,为出入口绝对速度的切向分量,当与叶片速度,U,或,r,同向时取+,异向时取-。,B4.5.1,固定的控制体,(5-5),已知:,洒水器示意图。,R=,0.15m,喷口,A=,40mm,2,=,30,Q=,1200 ml/s,，不计阻力。,求：,(1),T,s,=0,时,，,旋转角速度,(1/s,）,；,例B4.5.1A,洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程(3-1),(2),n=,400,转/分的轴矩,T,s,和轴功率,解：,取包围整个洒水器的控制体,CV,，就整个,控制体而言，从平均的意义上可认为是定常的,对圆心取动量矩，当地变化率为零,不同位置上的动量矩流量迁移项中的作用是相同的，作为具有两个一维出口的定常流动处理。,设喷口流体的绝对速度为,V,，牵连速度为,U,及相对速度为,V,r,(1),设,T,s,0,V,1,=0,由,多出口动量矩方程,:,例B4.5.1A,洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程(3-2),(2),当,n=,400,转/分时,例B4.5.1A,洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程(3-3),=400,2,/60=41.89 (1/s),=,0.15,(41.89,0.15-15,cos30,),1.2=-1.21(N m),讨论：,无摩擦轴矩时洒水器的转速是有限值，,与喷管内相对速度成正比，与臂长成反比。角速度与喷口偏转角,-,的关系如图示。,向心加速度,B4.5.2 旋转的控制体,对定轴旋转机械，控制体可固结于转子上(非惯性系)，动量矩方程为,(为相对速度),柯氏加速度,惯性力,定常流动时,B4.5.2,旋转的控制体,例B4.5.2,洒水器：旋转控制体动量矩方程(2-1),试用与洒水器喷管一起旋转的控制体重新求解例,。,解：,取与洒水器一起旋转的控制体,V,r,=15m/s,.在喷管内矢径为,r,处向心加速度为,方向指向转轴，力矩为零。柯氏加速度为,a,c,=,(,r,),=,U,(,r,),a,k,=,2,V,r,a,k,的方向与矢径垂直，大小沿喷