对数函数与指数函数的导数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,对数函数,与指数函数,的导数,一、复习与引入：,1.函数的导数的定义与几何意义.,2.常见函数的导数公式.,3.导数的四则运算法则.,4.复合函数的导数公式.,5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的,幂函数、三角函数的导数,但还缺少,指数函数、对数,函数,的导数,而这就是我们今天要新学的内容.,有了,指数函数、对数函数,的导数,也就解决了初等函数的可导性.结合前一章节的知识,我们可知,初等函数,在其定义域内都是连续而且,可导.,二、新课指、对函数的导数：,1.对数函数的导数:,下面给出公式的证明,中间用到重要极限,证:,证:利用对数的换底公式即得:,2.指数函数的导数:,由于以上两个公式的证明,需要用到反函数的求,导法则,这已经超出了目前我们的学习范围,因此在这里我们不加以证明,直接拿来使用.,三、例题选讲：,例1:求下列函数的导数:,(1)y=ln(2x,2,+3x+1)(2)y=lg,(3)y=e,2x,cos3x (4)y=a,5x,解,:(1),(2)法1:,(2)法2:,(3),(4),例2:求下列函数的导数:,解:,解:设y=a,u,u=cosv,v=1/x,则:,解:,解:函数的定义域为,例3:已知f(x)为可导函数,试求下列函数的导数:,(1)y=f(lnx);(2)y=f();(3)y=f(e,x,).,解,:(1),(2),(3),解此类题应注意:,(1)分清是由哪些函数复合而成的.,(2)用逐步的方法来进行求导.,练习1:求下列函数的导数:,答案:,例4:设一质点的运动规律为 为,常数,试求t=1/2时质点运动的速度v,0,.,解:,故当t=1/2时,质点运动速度v,0,为:,例5:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.,解:设该切线与曲线相切的切点为(x,0,x,0,lnx,0,).,故曲线在点(x,0,x,0,lnx,0,)处的切线斜率为lnx,0,+1.,由已知可得:lnx,0,+1=1,即x,0,=1,故切点为(1,0).,所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0.,答案:,x+ey-2e=0,(1+e)x-ey-e,2,=0.,练习2:分别求曲线,y=log,x,e;,在点(e,1)处,的切线方程.,延伸:设点P是曲线y=e,x,上任意一点,求点P到直线y=x的,最小距离.,答案:,四、小结：,对数函数、指数函数,的导数是常用的导数公式中较,难的两类函数的导数,要熟记公式,会用公式,用活公式,.,(2)解决,指、对数函数,的导数问题,应充分重视,指数、对,数的运算性质的准确使用,以保证变换过程的等价性.,(3)在求,指、对数函数,的导数过程中,要遵循先化简,再,求导的原则;要结合导数的四则运算法则和复合函数,的求导法则进行求导.,例6:求下列函数的导数:(1)y=x,x,(x0);(2)y=f(x),g(x),.,解,:(1)两边取对数,得lny=xlnx.,由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式两边对x求导,可得:,(2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:,说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny,y=f(x),则,(2)本题用的求导方法习惯上称为对数求导法,即先,两,边取对数,再对x求导.一般适用于下列两类函数:,形如y=(x-a,1,)(x-a,2,)(x-a,n,)的函数,取对数后,可,将积转化为和的形式,或 ,取对,数后,可转化为代数和的形式.,无理函数或,形如y=f(x),g(x),这类幂指函数.,(3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商,变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求,导变为可能(无求导公式变为有求导公式).,例如我们利用上面例题中的(2)可知,中的n的范围可以扩大到全体实数.,又如下面一题我们就有两种不同的解法:,方法二:由于y0,故可以两边取对数.,题目:已知0 x0,故两边取对数,得,方法二:,