标量场及其梯度

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节,标量场及其梯度,1、标量场定义及图示,对于区域,V,内的任意一点,r,，若有某种物理量的一个确定的数值或标量,(,r,),与之对应，我们就称这个标量函数,(,r,),是定义于,V,内的标量场。,o,r,f,(,r,),V,标量场有两种：,与时间无关的恒稳标量场，用,(,r,),表示；,与时间有关的时变标量场，用,(,r,t,),表示。,形象描绘场分布的工具-,场线,标量场-,等值线(面)。,其方程为,f,=,-1,f,=,1,f,=,0,f,=,2,f,=,3,图1-9 标量场的一组等值线,作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。,2、梯度,点位移导致的改变,(,x,y,z,),(,x,+d,x,y,+d,y,z,+d,z,),+d,d,l,y,z,x,o,线元矢量：,d,l,= d,x,e,x,+d,y,e,y,+d,z,e,z,标量场的相应微增量d,则为：,(1)梯度的导出,右图中，由,(,x,y,z,),点到邻近的,(,x+dx,y+dy,z+dz,),点的微分位移,d,l,将导致场函数有一微分增量,d,f,标量场,(,x,y,z,),在,(,x,y,z,),点的梯度,(,gradient,) 定义为：,因此,（d,x,e,x,+d,y,e,y,+d,z,e,z,）,(2)方向导数与梯度的关系,偏导数 、 、 分别叫做,在,x、y、z,方向上的方向导数，用梯度表示为,推广到,(,x,y,z,),在某点沿任意矢量,l,方向的方向导数，则应表为,式中，,e,l,是,l,的单位矢量。,（3）梯度的物理意义,梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数,的增加方向,.,梯度的大小为该点标量函数,f,的最大变化率，即该点最大方向导数；,标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数；,例1,电位场的梯度,电位场的梯度,与过该点的等位线垂直；,指向电位减少的方向。,数值等于该点的最大方向导数；,电位场的梯度,（4）哈密顿算子 （读作del或nabla）,直角坐标系中的具体形式为,单独存在没有任何意义；,算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即 ， 。,在不同坐标系中， 算符有不同的表达形式。,使用 算符时注意几点：,梯度运算的基本公式,掌握：,1、如何求梯度；,2、梯度的性质；,3、梯度的数学应用。,（5）梯度运算的几个基本关系式,相对坐标标量函数,f,(,r,r,),证明,：,在直角坐标系中,f,(,r,r,) =,f,(,x,x,，,y,y,，,z,z,),令,x,x,=,X,，,y,y,=,Y,，,z,z,=,Z，,应用复合函数求导法则可得,即有,同理可得,上式重写为,等式若成立，则应有,证毕。,相对位置矢量,R,=,r,r,的模,R,=,r,r,在直角坐标中,则,同理有,于是,根据算符的微分特性可得,（,R,0）,例 2,求,f,= 4e,2,x,y+ z,在点,P,1,（1，1，,1）,处的由该点指向,P,2,（,3，5，6）,方,向上的方向导数。,解：,于是，,f,在,P,1,处沿,R,12,方向上的方向导数为：,