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上页,下页,铃,结束,返回,首页,*,二、函数极限的性质,一、函数极限的定义,函数的极限,1,一、函数极限的定义,如果,当,x,无限地接近于,x,0,时,函数,f,(,x,)的值无限地接近于常数,A,则常数,A,就叫做函数,f,(,x,)当,x,x,0,时的极限,记作,函数极限的通俗定义,1.自变量趋于有限值时函数的极限,分析:,当,x,x,0,时,f,(,x,),A,当|,x,-,x,0,|,0时,|,f,(,x,),-,A,|,0,当,|,x,-,x,0,|变得足够小时,|,f,(,x,),-,A,|能小于任意给定的正数,e,注:,当,x,x,0,时,x,x,0,.,2,设函数,f,(,x,)在点,x,0,的某一去心邻域内有定义,如果存在常数,A,对于任意给定的正数,总存在正数,使得当,x,满足不等式00,d,0,当,0|,x,-,x,0,|,d,时,有|,f,(,x,),-,A,|,e,设函数,f,(,x,)在点,x,0,的某一去心邻域内有定义,如果存在常数,A,对于任意给定的正数,总存在正数,使得当,x,满足不等式00,当0,|,x,1|,时,有,/2,只要|,x,1|,e,/2,要使|,f,(,x,),A,|0,d,0,当,0|,x,-,x,0,|,d,时,|,f,(,x,),-,A,|,e,注:,d,与,e,有关,但不唯一.,确定,d,时,d,越小越合适.,5,注:,d,与,e,有关,但不唯一.,确定,d,时,d,越小越合适.,例2,证明,分析:,当,0|,x,-,1|0,d,0,当,0|,x,-,x,0,|,d,时,|,f,(,x,),-,A,|,e,也即,可以判断,因此,6,证明,注:,d,与,e,有关,但不唯一.,确定,d,时,d,越小越合适.,例2,证明,分析:,当,0|,x,-,1|0,d,0,当,0|,x,-,x,0,|,d,时,|,f,(,x,),-,A,|0,d,0,当,0|,x,-,x,0,|,d,时,|,f,(,x,),-,A,|,e,注:,d,与,e,有关,但不唯一.,确定,d,时,d,越小越合适.,有,因此,因,可设,即,要,只要,取,当,时,8,注:,单侧极限,若当,x,x,0,-,时,f,(,x,)无限接近于某常数,A,则常数,A,叫做函数,f,(,x,)当,x,x,0,时的左极限,记为,或,f,(,x,0,),=,A,.,x,x,0,表示,x,从,x,0,的左侧(即小于,x,0,)趋于,x,0,x,x,0,+,表示,x,从,x,0,的右侧(即大于,x,0,)趋于,x,0,.,e,0,d,0,当,x,0,d,x,x,0,有|,f,(,x,),A,|0,d,0,当,0|,x,-,x,0,|,d,时,|,f,(,x,),-,A,|,e,9,单侧极限,e,0,d,0,当,x,0,d,x,x,0,有|,f,(,x,),A,|0,d,0,当,0|,x,-,x,0,|,d,时,|,f,(,x,),-,A,|,e,10,这是因为,例3,函数,当,x,0时的极限不存在,11,类似地可定义,如果,当|,x,|无限增大时,f,(,x,)无限接近于某一常数,A,则常数,A,叫做函数,f,(,x,)当,x,时的极限,记为,2.,自变量趋于无穷大时函数的极限,0,M,0,当|,x,|,M,时,有|,f,(,x,),A,|,精确定义,结论,12,例4,证明,证明,则当 时,有,0,M,0,当|,x,|,M,时,有|,f,(,x,),A,|,注:,M,与,e,有关,但不唯一.,确定,M,时,M,越大越合适.,13,例5,证明,证明,有,因此,0,M,0,当|,x,|,M,时,有|,f,(,x,),A,|,注:,M,与,e,有关,但不唯一.,确定,M,时,M,越大越合适.,14,二、函数极限的性质,定理,1(,函数极限的唯一性,),定理,2(,函数极限的局部有界性,),如果,f,(,x,),A,(,x,x,0,),那么,f,(,x,)在,x,0,的某一去心邻域内有界,定理,3(,函数极限的局部保号性,),如果,f,(,x,),A,(,x,x,0,),而且,A,0(或,A,0),那么在,x,0,的某一去心邻域内,有,f,(,x,),0(或,f,(,x,),0),如果当,x,x,0,时,f,(,x,)的极限存在,那么这极限是唯一的,如果在,x,0,的某一去心邻域内,f,(,x,),0(或,f,(,x,),0),而且,f,(,x,),A,(,x,x,0,),那么,A,0(或,A,0),推论,15,作 业,习题1.2(,P44):,7.(1)(5)(9)8.(2)(6)13.,16,
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