等差等比数列求和公式推导

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1 等差数列求和公式：,（1）S,n,=n(a,1,+a,n,)/2,(2)S,n,=na,1,+n(n-1)d/2,2 等比数列求和公式：,(1)S,n,=,1-q,a,1,(1-q,n,),q1,q1,(2)S,n,=,1-q,a,1,-a,n,q,当q=1时,S,n,=na,1,练习:求和,1.1+2+3+n,答案:S,n,=n(n+1)/2,2.2+4+8+2n,答案:S,n,=2,n+1,-2,方法：,直接求和法,例1 求数列 x,2x,2,3x,3,nx,n,，,的前n项和。,解：,当x=0时 S,n,=0,当x=1时 S,n,=1+2+3+n=n(n+1)/2,当x1时,S,n,=x+2x,2,+3x,3,+,+nx,n ,xS,n,=x,2,+2x,3,+3x,4,+(n-1)x,n,+nx,n+1 ,得：(1-x)S,n,=x+x,2,+x,3,+,+x,n,-nx,n+1,化简得：S,n,=x(1-x,n,)/(1-x),2,-nx,n+1,/(1-x),0 (x=0),综合得 S,n,=n(n+1)/2 (x=1),x(1-x,n,)/(1-x),2,-nx,n+1,/(1-x),(x1）,小结 1:,“错项相减法”,求和,常应用于型如a,n,b,n,的数列求和,其中,a,n,为等,差,数列,b,n,为等,比,数列.,练习 1,求和:1/2+2/4+3/8+n/2,n,方法:,可以将等式两边同时乘以2或1/2,然后利用“错位相减法”求和.,例2：,求和,解：数列的通项公式为,小结2：,本题利用的是,“裂项相消法”，,此法常用于形如,1/f(n)g(n),的数列求和，其中f(n),g(n)是关于n（nN)的一次函数。,把数列中的每一项都拆成两项的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。,方法：,对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什麽？,裂通项。,此方法应注意：,练习 2：求和,接下来可用“裂项相消法”来求和。,分析,：,例 3：求和,解：,小结 3：,本题利用的是,“分解转化求和法”,方法：,把数列的通项分解成几项，从而出现,几个等差数列或等比数列，,再根据公式进行求和。,练习 3,求和：1+（1+2）+（1+2+2,2,)+(1+2+2,2,+2,n-1,),分析：利用,“分解转化求和”,总结：,直接求和（公式法）,等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。,倒序求和,等差数列的求和方法,错项相减,数列 a,n,b,n,的求和，其中a,n,是等差数列，,b,n,是等比数列。,裂项相消,分解转化法,把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求和。,常见求和方法,适用范围及方法,数列1/f(n)g(n)的求和，其中,f(n),g(n)是关于n的一次函数。,