习题课多元微分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,习题课,第八部分多元函数微分学,一 重点与难点,1.理解多元函数的极限、连续、偏导数、全微分等概念 练习,理解它们之间的关系(七框图 )(有关七框图的提问 ).,2.熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法；,3.掌握隐函数的求导法则。,(1)一个方程确定的隐函数,*,(2)方程组确定的隐函数,4.掌握空间曲线的切线及法平面的求法。,5.掌握空间曲面的切平面及法线的求法。,6.掌握二元函数极值、给定区域上的最值、及条件极值的求法。,7.理解方向导数与梯度的概念和计算方法，以及二者的关系。,二 典型例题(8个),三 课堂练习,1.求偏导、求全微分(4个)2.计算(5个),第八部分,多元函数微分学,1.二元函数的基本概念,.,.,逆否命题,：,称二元函数,z,=,f,(,x,y,),极限,：,即,A,为,f,(,x,y,)当,P,P,0,时的,(二重)极限。,连续,：,在点,P,0,(,x,0,y,0,)连续.,一 重点与难点.,偏导数,：,.,.,全微分,：,.,.,o,偏导数的几何意义,.,.,0,0,不存在,0,不存在,不存在,都不连续。,(2)在,x,轴,、y,轴以外连续.,(1)连续.,二元函数的极限、连续及偏导数练习:,.,不存在,不存在,.,.,.,.,0,0,3,将二元函数,z,=,f,(,x,y,)在点,(,x,y,)的以下七个命题填入框图：,（1）有定义;（2）有极限;（3）连续;（4）偏导存在;,（5）方向导数存在;（6）偏导连续;（7）可微.,（6）,（7）,（3）,（4）,（5）,（1）,（2）,问题：,1.成立的怎么证明？,2.箭头是否可逆？举例.,3.没有箭头意味什么？,七框图,充分,答：,有关七框图的提问,(7个),.,不一定。,.,.,不一定。,一定。,.,4.,.,不一定。,.,？,证毕.,.,6.,不一定。,.,.,它在点(0,0)的任何邻域中都无界，,7.,3.隐函数的求导法则,.,.,(1),一个方程确定的隐函数,.,且,3.隐函数的求导,.,.,(1),一个方程确定的隐函数,法则,3.隐函数,.,.,*,(2),方程组确定的隐函数,的求导法则,4.空间曲线的切线及法平面,空间曲线,L,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,5.空间曲面的切平面及法线,曲面,S,的方程,.,.,.,.,.,.,.,.,.,6.,二元函数极值的求法,A,0(或,C,0(或,C,0),待定。,.,f,(,M,0,)为极大值。,f,(,M,0,)为极小值。,.,求,f,(,x,y,)在给定区域上的最大值和最小值,求在区域内的驻点，,及边界上的最值嫌疑点；,择其最大者为最大值，最小者为最小值。,求,u,=,f,(,x,y,z,)的条件极值:,7.方向导数与梯度的概念,它是函数在一点处沿给定方向的变化率。,方向导数是单向导数：,方向导数的计算公式：,则,.,梯度是个向量。,其模是该点各方向导数的最大值。,梯度的计算公式：,.,方向导数是个数。,其方向,是函数在该点的方向导数取得最大值的方向；,二.典型例题,例 1.,证明：,因其值依赖于,k,所以原极限不存在。,证明：,故函数在全平面连续。,例 2.,解：,这是偏导数的几何意义问题。,.,例 3.,设所成角为,，,.,.,例4.,解：,联立这三个方程，,=2,解得点：,.,多元复合函数,偏导数的求法,解：,.,.,例 6.,解：,.,.,解：,曲线,L,在点,P,(1,2,1)处切向量为:,其方向余弦,.,.,.,例 7.,例 8.,解：,=0,=0,得驻点：,x,=1,y,=1,代入原式得,在点(1,1,2)处，,在点(1,1,6)处，,.,.,注：几何上也易解。原方程可化为球面,.,.,由,三,1.,求偏导、求全微分.,三,2.,计算：,谢 谢 使 用,返回首页,习题课,.,聚点,：,D,.,.,.,沿,x,轴正方向,l,的方向导数 与偏导数 的区别：,.,沿,x,轴正方向的方向导数 与偏导数 的关系：,.,其中,大于零,；,其中,x,可以大于零，也可以小于零,。,三 1.求导解答 (1),解：,=0,=0,(2),解：,证毕.,.,解：,(3),.,解：,(4),.,解：,.,这是偏导数的几何意义问题。,设所成角为,，,三 2.计算解答 (1),解：,.,计算解答 (2),计算解答 (3),解：,.,同理：,(4),解：,.,(5),A,B,C,结 论,(1,2),(2,1),(1,2),(2,1),6,6,12,0,z,(1,2),非极值,12,12,6,0,z,(,1,2),非极值,12,12,6,0,极大值,z,(,2,1)=28,列表分析：,