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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,第四章,因式分解,1,因式分解,获取新知,99,3,99,能被,100,整除吗？你是怎样想的？与同伴交流,.,小明是这样做的,:,99,3,99,9999,2,991,99(99,2,1),999 800,9899100.,所以，,99,3,99,能,被,100,整除,.,在这里，解决问题的关键是把,一个数式化成了几个数,的积,的形式,.,99,3,99,还能被哪些正整数整除？,议一议,你能尝试把,a,3,a,化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流,.,解：,a,3,-,a,=,a,a,2,-,a,1,=,a,(,a,2,-,1),=,a,(,a,+1),(,a,-,1).,你是怎么想的呢？你如何检查做的是否正确呢？,做一做,观察下面拼图过程，写出相应的,关系式,.,a,b,c,m,m,m,a+b+c,m,x,x,x,1,1,1,1,x,ma,+,mb,+,mc,=,m,(,a,+,b,+,c,),x,2,+,x,+,x+,1,=,(,x,+,1),2,x+,1,x+,1,把,一个,多项式,化成,几个整式的积,的形式，,这种变形,叫做,因式分解,.,例如，,a,3,a,a,(,a,1)(,a,1),，,am,bm,cm,m,(,a,b,c,),，,x,2,2,x,l,(,x,1),2,都是因式分解,.,因式分解,也可称为分解因式,.,整式乘法与因式分解的关系：,整式乘法与因式分解是,两种互逆,的变形,即：多项式 整式乘积,x,2,-1 (,x,+1)(,x,-1),因式分解,整式乘法,例题讲解,例,1,下列各式从左到右的变形属于因式分解的是,(,),A,a,2,1,a,(,a,),B,(,x,1)(,x,1),x,2,1,C,a,2,a,5,(,a,2)(,a,3),1,D,x,2,y,xy,2,xy,(,x,y,),D,一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.,则两个多项式相等.,正确解：原式=6xy(2x+3y).,确定多项式各项公因式的方法：,正确解：原式=3xx-6yx+1x,A12abc9a2b2=3abc(43ab)B3x2y3xy+6y=3y(x2x+2y),Dx2yxy2xy(xy),解：原式=-x(x+y-z).,例2 将下列各式分解因式：,当堂检测,解法2：(x-y)2+y(y-x),（2）.,(4)(a-b)4=_(b-a)4;,(1)9x2-6xy+3xz (2)2a3b2c+4ab3c-abc,分解因式的要求：,1.,分解的结果,最后是积,的形式；,2.,每个因式必须是,整式,，且每个因式的次数都必须低于多项式的次数；,3.,必须分解到每个因式,不能再分解为止,随堂演练,1,.,下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是,(,),A,.a,(,m+n,),=am+an,B,.a,2,-b,2,-c,2,=,(,a-b,)(,a+b,),-c,2,C,.,10,x,2,-,5,x=,5,x,(,2,x-,1,),D,.x,2,-xy+y,2,=,(,x-y,),2,C,3.,如图所示,由一个边长为,a,的小正方形与两个长、宽分别为,a,b,的小长方形拼接成一个大长方形,则利用整个图形可表达出一些有关多项式因式分解的等式,请你写出任意一个表示因式分解的等式,:,.,a,2,+,2,ab=a,(,a+,2,b,),667,37,+,667,63,=667,（,37+63,）,=667,100,=66700,提出,公因数,667,计算,观察下列多项式，各项中有相同的因式吗,?,ab+bc 3x+x mb+nb-b,多项式,各项,都含有的,相同因式,叫做这个多项式各项的,公因式,。,探索新知,问题,1,667,37,+,667,63,b,x,b,多项式,2x,2,+6x,3,中，各项的公因式是什么？,问题,2,系数：,最大公约数,2,字母：,相同的字母,x,所以公因式是,2x,2,.,指数：,相同字母的最低次幂,2,探索新知,确定多项式各项公因式的方法,：,1.,定系数,：找多项式各项系数的,最大公约数,.,2.,定字母,：找,多项式,各项中都含有的,相同字母,.,3.,定指数,：找各项相同字母的,最低次幂,.,确定公因式,一,探索新知,例,1,下列多项式中，各项的公因式是什么？,（,1,）（,2,）,3,a b,2,1,巩固练习 写出下列多项式各项的公因式,（,1,）（,2,）,37,667,+,63,667,=667,（,37+63,）,提出,公因数,667,探索新知,探索新知,例,2,将下列各式分解因式：,(1)3,x,x,2,(2)7,x,2,21,x,解：,(1)3,x,x,2,x,3,x,x,(2)7,x,2,21,x,7,x,x,7,x,3,x,(3,x,),7,x,(,x,3),667,37,+,667,63,=667,（,37+63,）,探索新知,例,2,将下列各式分解因式：,(1)3,x,x,2,(2)7,x,2,21,x,解：,(1)3,x,x,2,x,3,x,x,(2)7,x,2,21,x,7,x,x,7,x,3,x,(3,x,),一般地，如果多项式的各项,有公因式,，可以把这个公因式,提取出来,，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做,提公因式法,.,7,x,(,x,3),探索新知,1.,确定公因式,2.,提取公因式,，即将多项式化为两个因式的乘积,.,提公因式法分解因式的步骤：,(3)14x3-21x2+28x (4)（m-1为正整数）,(6)-m-n=(m+n)；,A12abc9a2b2=3abc(43ab)B3x2y3xy+6y=3y(x2x+2y),ab+bc 3x+x mb+nb-b,因式分解：p(a2+b2)-q(a2+b2).,(5)s2+t2=(s2-t2)；,（2）.,(1)a-b 与-a+b 互为相反数.,=(xy)(3a1),整式乘法与因式分解是两种互逆的变形,Dx2yxy2xy(xy),相同字母的指数取各项中最小的一个,即 _.,确定多项式各项公因式的方法：,37667+63667,探索新知,ab(8a2b12b2c1),则两个多项式互为相反数.,解:（1）a(x-3)+2b(x-3),你能尝试把a3a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.,x2-xy+y2=(x-y)2,探索新知,例,3,将下列各式分解因式：,(1)8,a,3,b,2,12,ab,3,c,ab,ab,(8,a,2,b,12,b,2,c,1,),解：,(1)8,a,3,b,2,12,ab,3,c,ab,ab,8,a,2,b,ab,12,b,2,c,ab,1,提公因式后,括号里多项式的项数,与,原多项式的项数,相同,探索新知,例,3,将下列各式分解因式：,(2),24,x,3,12,x,2,28,x,(,4x,6,x,2,4,x,3,x,4x,7,),解：,(2),24,x,3,12,x,2,28,x,(24,x,3,12,x,2,28,x,),提公因式后,括号里,第一项的系数为,正数,4,x,(,6,x,2,3,x,7,),当多项式第一项的系数是负数时，可以先提出负号，但要注意,括号里的各项都要,变号,。,因式,分解：,12,x,2,y,+18,xy,2,.,解：原式,=3,xy,(4,x,+6,y,).,错误,公因式没有提尽，还可以提出公因式,2,正确解：原式,=6,xy,(2,x,+3,y,).,请你判断小明,的,解法,有误吗？,易错分析,提公因式后括号里,少了一项,.,错误,解：原式,=,x,(3,x,-6,y,).,因式,分解：,3,x,2,-6,xy,+,x.,正确解：原式,=3,xx,-6,yx,+1,x,=,x,(3,x,-6,y,+1),请你判断小明,的,解法,有误吗？,提出负号时括号里的项没变号,错误,因式,分解：,-,x,2,+,xy,-,xz,.,解：原式,=,-,x,(,x,+,y,-,z,).,正确解：原式,=-(,x,2,-,xy,+,xz,),=-,x,(,x,-,y,+,z,),请你判断小明,的,解法,有误吗？,解：,=3,x,3,x,-3,x,2,y,+3,x,z,=3,x,(3,x,-2,y,+,z,),=-(,1,4,x,3,+21,x,2,-28,x,),=-(7,x,2,x,2,+7,x,3,x,-7,x,4),=-7,x,(2,x,2,+3,x,-4),=,abc,2,a,2,b,+,abc,4,b,2,-,abc,1,=,abc,(2,a,2,b,+4,b,2,-1),(1)9,x,2,-6,xy,+3,xz,(2)2,a,3,b,2,c,+4,ab,3,c,-,abc,(3),1,4,x,3,-21,x,2,+28,x,(4),（,m-1,为正整数）,巩固练习 将下列各式分解因式,探索新知,1.,下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是,（,）,A,.x,2,y,B,.x,2,+2x,C,.x,2,+3y,D,.x,2,xy+y,2,2.,把,12a,2,b,3,c-8a,2,b,2,c+6ab,3,c,2,分解因式时，应提取的公因式是（,）,A.2 B.2abc C.2ab,2,c D.2a,2,b,2,c,3,下列提公因式法分解因式正确的是（,）,A,12abc,9a,2,b,2,=3abc(4,3ab)B,3x,2,y,3xy+6y=3y(x,2,x+2y),C,a,2,+ab,ac=,a(a,b+c)D,x,2,y+5xy,y=y(x,2,+5x),B,当堂检测,C,C,新课自主预习,温故而知新,1,.,多项式的第一项系数为负数时，,先提取“-”号，注意多项式的各项变号,；,2,.,公因式的系数是多项式各项_；3,.,字母取多项式各项中都含有的_；4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即 _.,提公因式法因式分解的一般步骤：,系数的最大公约数,相同的字母,最低次幂,例3 将下列各式分解因式：,(a-b)n=(b-a)n (n是偶数）,提公因式后括号里第一项的系数为正数,=-(14x3+21x2-28x),Ca2a5(a2)(a3)1,37667+63667,(8)(a+b)4=_(-a-b)4.,=667（37+63）,前者是把一个多项式化为几个整式的_，后者是把几个整式的_化为一个_,(1)9x2-6xy+3xz (2)2a3b2c+4ab3c-abc,(2)7x221x7xx7x3,(4x6x24x3x4x7),Aa21a(a ),即：多项式 整式乘积,探索新知,Ca2a5(a2)(a3)1,(1)(a-b)=_(b-a);(2)(a-b)2=_(b-a)2;,（1）a(x-3)+2b(x-3)；,(5)s2+t2=(s2-t2)；,思考,1,：提公因式时，公因式可以是多项式吗？,找找上面各式的公因式,.,思考,2,：,公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？,提公因式为多项式的因式分解,例,1,把下列各式分解因式：,（1）,a,(,x-,3),+,2,b,(,x-,3)；,（2）,.,解:（1）,a,(,x-,3),+,2,b,(,x-,3),=,(,x-,3)(,a+,2,b,)；,=y,(,x+,1)(1,+xy+y,),.,(2),典例精析,归纳总结,1.,公因式,既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式,.,2.,整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法,.,练一练：,1,.,x,(,a,+,b,)+,y,(,a,+,b,),2,.,3,a,(,x,y,),(,x,y,),3,.,6(,p,+,q,),2,12(,q,+,p,),=,(,a,+,b,)(,x,+,y,),=,(,x,y,),(,3,a,1,),=,6(,p,+,q,)(,p,+,q,-2,),例,2,把下列各式
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