梁的弯曲变形

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 梁的弯曲变形,一、挠曲线,梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强度条件，还要满足,刚度条件,，即要求梁在工作时的,变形,不能超过,一定范围,，否则就会影响梁的正常工作。,挠曲线方程,第一节,工程中的弯曲变形,挠曲线,：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力,F,的作用下，将产生平面弯,曲，变形后梁的轴线将变,为一条光滑的平面曲线，,称梁的,挠曲线,。,二、挠度和转角,挠度,：截面,形心,线位移,的,垂直分量,称为该截面的挠度，用,y,表示，一般用,y,max,表示全梁的最大挠度。,转角,：,横截面,绕,中性轴,转动,产生了,角位移,，此角位移称转角，用,表示。,小变形,时，转角,很小，则有以下关系：,由此可知，只要知道梁的挠曲线方程 ，就可求出挠度和转角。,挠度,和,转角,的,正负号,的,规定,挠度：与,y,轴正方向,同向为,正,，,反之,为,负,；,转角：以,逆时针,方向转动为,正,，,反之,为,负,。,一、挠曲轴线近似微分方程,梁任一截面的曲率,第二节,梁变形的基本方程,曲线,的曲率,挠曲轴线,近似微分方程,二阶小量,1,）如图a所示，梁的挠曲轴线是一,下凸,曲线，梁的下侧纤维受拉，弯矩,M,0,，曲线的二阶导数,y,0,；,微分方程弯矩,M,与曲线的二阶导数,y,的,正负号关系,挠曲轴线,近似微分方程,2,）如图,b,所示，梁的挠曲轴线是一,上凸,曲线，梁的下侧纤维受压，弯矩,M,0,，曲线的二阶导数,y,0,；,挠曲轴线,近似微分方程,结 论,两种情况下弯矩与曲线的二阶导数,均同号,，微分方程式应,取正号,，即：,梁的挠曲轴线近似微分方程的,适用条件,：梁的变形是线弹性的,小变形,。,挠曲轴线,近似微分方程,二、积分法求梁的挠度与转角,积分,一次,得,转角,方程：,对梁的挠曲轴线近似微分方程式,积分,：,积分,二次,得,挠度,方程：,挠曲轴线,近似微分方程,简支梁：,悬臂梁：,转角,方程,挠度,方程,式中,积分常数,C,、,D,由边界条件（梁中已知的截面位移）,确定,：,由,边界条件,、,变形连续条件,可确定积分常数，通过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度，这方法称,积分法,。,例9-1,如图所示简支梁，跨度为,l,，受均布载荷,q,作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠度及截面A处的转角。,解：,梁的弯矩方程为：,将上式一次积分得转角：,C,x,再次积分，可得挠度方程：,边界条件,：时，；时，,故有,例9-2,悬臂梁AB在三角形分布载荷作用下，跨度为,l,，抗弯刚度为,EI,，如图所示。试求B截面的挠度。,解：,与B截面距离为,x,的任一截面的载荷集度为,AB梁的弯矩方程为,将上式一次积分得转角方程,x,再次积分，即得挠度方程,边界条件,：时，,，,梁的挠度方程,令 ，得B截面的挠度为,（,）,第三节 用,叠加法求梁的变形,叠加原理,：当,梁为,小变形,时，梁的挠度和转角均是载荷的,线性函数,，可以使用叠加法计算梁的转角和挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加和，这就是计算梁弯曲变形的,叠加原理,。,叠加原理的步骤,：,分解载荷；分别计算各载荷单独作用时梁的变形；叠加得最后结果。,梁在简单载荷作用下的变形，可,查表8-1,。,挠曲轴线,近似微分方程,梁的简图,挠曲线方程,转角和挠度,表8-1 梁在简单载荷作用下的变形,梁的简图,挠曲线方程,转角和挠度,梁的简图,挠曲线方程,转角和挠度,梁的简图,挠曲线方程,转角和挠度,例9-3,悬臂梁AB上作用有均布载荷,q,，自由端作用有集中力,F,=,ql,，梁的跨度为,l,，抗弯刚度为,EI,，如图所示。试求截面B的挠度和转角。,解：1,）分解载荷,梁上载荷可分解成均布载荷,q,与集中力,F,的叠加。,2,）查表可得这两钟情况下,截面B的挠度和转角：,+,3,）,叠加,得截面B的挠度和转角,（,）,（,顺时针,）,+,解：1,）简化、分解载荷,3,）叠加,例9-4,如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布载荷,q,，梁的抗弯刚度为,EI,。求C截面的挠度。,2,）分别计算B截面挠度：,悬臂梁因,B,截面产生转角引起的挠度 和悬臂梁在均布载荷作用下产生的挠度,0.5,qa,2,qa,+,例9-5,悬臂梁跨度为,l,=2m，截面为矩形，宽,b,=,100mm，高,h,=120mm，材料的弹性模量,E,=210GPa，梁上载荷如图所示，求自由端A的挠度。,解：1,）分解载荷,2,）,查表,分别得到三种载荷,引起自由端A的挠度,代入数值得：,3,）,叠加,得自由端A的挠度,（,）,一、梁的刚度条件,第四节,梁的刚度条件和提高弯曲刚度的措施,梁的刚度条件,挠度的许用值,f,一般为梁的跨度,l,的,1/200,1/1000,。,在安装,齿轮,或,滑动轴承,处，轴的,=0.001rad,。,根据梁的,不同用途,，其许用挠度和许用转角可在,机械设计手册,中查得。,设梁的最大挠度和最大转角分别为,y,max,和,max,，,f,和,分别为,挠度和转角的,许用值，则,例9-6,如图所示简支梁，选用32a工字钢，跨中作用有集中力,F,=,20kN，跨度为,l,=,8.86m，弹性模量,E,=,210GPa，梁的许用挠度,。试校核梁的刚度。,解：,查型钢表可得32a工字钢的惯性矩为：,查表可得梁的跨中挠度为,故该梁,满足,刚度条件,二、提高梁弯曲刚度的措施,梁的弯曲变形与梁的抗弯刚度,EI,、梁的跨度,l,以及梁的载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：,1,）,提高梁的抗弯刚度,EI,梁的挠度与抗弯刚度,EI,成反比，因此提高梁的抗弯刚度,EI,，可以降低梁的变形。值得,注意,的是，由于各种钢材的弹性模量较为接近，使用高强度的,合金钢,代替,普通低碳钢,，,并,不能,明显提高其刚度。要提高梁的抗弯刚度，应在面积不变的情况下,增大截面的惯性矩,，例如使用工字形、圆环形截面，可提高单位面积的惯性矩。,2,）,减小梁的跨度,因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以,减小梁的跨度,，将使,梁的挠度,大为减小,。,如果把简支梁的支座,向内,移动,a,，简支梁变成,外伸梁,，梁的跨度减小了。因为外伸梁段上的载荷使梁产生向上的挠度，中间梁段的载荷使梁产生向下的挠度，它们之间有一部分,相互抵消,，因此,挠度减小,了。,y,y,y,3,）,改善梁的载荷作用方式,合理调整载荷的位置及分布方式，可以降低弯矩，从而减小梁的变形。如图所示作用在跨中的集中力，如果分成一半对称作用在梁的两侧（见右图），甚至化为均布载荷，则梁的变形将会减小。,