高考数学导数的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学第三册（选修I）,第二章导数,导数的背景,早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果微积分的产生。,微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，牛顿是从运动学角度，莱布尼兹是从几何学角度来研究微积分的。可以说，微积分靠解析几何的帮助，成为十七世纪发现的最伟大的数学工具，以后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题。这一问题还与历法、农业密切相关。,来自于生产生活实际和科学研究的许多问题，常常遇到一些求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题。这些问题都可以归结为求函数的最大值与最小值。,学习导数与微分是解决上述问题的有力工具。,问题：超市货品架上的罐装饮料（圆柱形），当圆柱形罐的容积V一定时，如何选取圆柱的底半径，能使所用材料最省？,更多资源,一.瞬时速度,已知物体作变速直线运动,其运动方程为,s,s,(,t,)(,表示位移,t,表示时间),求物体在,t,0,时刻的速度,如图设该物体在时刻t,0,的位置是,(t,0,),OA,0,在时刻t,0,+,t 的位置是,s,(t,0,+,t)=,OA,1,则从t,0,到 t,0,+,t 这段时间内,物体的位移是:,在时间段,(t,0,+,D,t)t,0,=,D,t,内，物体的平均速度为:,问题,1,：一个小球自由下落，它在下落,3,秒时的速度是多少？,平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过,瞬时速度来反映.,如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻,t,的,瞬时速度,v,，就是物体在,t,到 t+,t这段时间内，当,t,0,时平均速度:,例1:,物体作自由落体运动,运动方程为：其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s,2,.求：,(1)物体在时间区间2,2.1上的平均速度；,(2)物体在时间区间2,2.01上的平均速度；,(3)物体在,t,=2(s)时的瞬时速度.,解:,(1),将,t=0.1代入上式，得:,(2),将,t=0.01代入上式，得:,即物体在时刻t,0,=2(s)的,瞬时速度,等于20(m/s).,当时间间隔,t,逐渐变小时,平均速度就越接近t,0,=2(s)时的,瞬时速度v,=20(m/s).,练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t,2,+6,求:,(1)2,t,2+,t这段时间内的平均速度,这里,t取值,范围为1;,(2)t=2时刻的瞬时速度.,一、物理意义瞬时速度,当 越来越小的时候，越来越接近某时刻的瞬时速度,在物理学中，我们学过平均速度,二.边际成本,问题,二,：设成本为,C,，产量为,q,，成本与产量的函数关系式为,，我们来研究当,q,50,时，,产量变化对成本的影响,在本问题中，成本的增量为：,产量变化对成本的影响可用：,来刻划，越小，越接近,300,；,当 无限趋近于0时，无限趋近于300，我们就说,当 趋向于0时，的极限是300.,我们把 的极限300叫做当q50时,的,边际成本.,一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C,C（q），当产量为 时，产量变化对成本的影响可用增量,比,刻划.如果 无限趋近于0时，无限趋近于常数A，,经济学上称A为边际成本.它表明当产量为q,0,时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.,二、实际应用边际成本,我们研究函数增量与自变量的关系：,如果 无限趋于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为,边际成本,，它表明当产量为 时，增加单位产量需付出成本A,引入,问题:曲线y=x,2,+1在点P(1,2)处的切线方程是什么?,P(1,2),y=x,2,+1,x,y,-,1,1,1,O,法一,:,判别式法,引入,问题:曲线y=x,2,+1在点P(1,2)处的切线方程是什么?,法二:函数极限法,Q,P,y,=,x,2,+1,x,y,-,1,1,1,O,j,M,D,y,D,x,3.曲线的切线,y=f(x),P,Q,M,x,y,O,x,y,P,y=f(x),Q,M,x,y,O,x,y,如图,曲线C是函数y=f(x),的图象,P(x,0,y,0,)是曲线C上的,任意一点,Q(x,0,+,x,y,0,+,y),为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的,倾斜角.,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,请看当,点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即,x,0时,割线PQ有一个极限位置PT,.则我们把,直线PT,称为曲线在点,P,处的,切线,.,设切线的倾斜角为,那么当,x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的,切线的斜率,.,即:,这个概念:,提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;,切线斜率的本质,函数平均变化率的极限,.,要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;,2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,例1:求曲线y=f(x)=x,2,+1在点P(1,2)处的切线方程.,Q,P,y,=,x,2,+1,x,y,-,1,1,1,O,j,M,D,y,D,x,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程,的基本步骤:先利用切线斜率,的定义求出切线的斜率,然后,利用点斜式求切线方程.,例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求,过点P的切线的倾斜角和切线方程.,故过点P的切线方程为:y-2=1,(x-1),即y=x+1.,练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.,答案:,y=3x-4,.,二、小结,1、瞬时速度是平均速度 当 趋近于0时的极限；,2、切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率,当 趋近于0时的极限；,3、边际成本是平均成本 当 趋近于0时的极限.,导数的概念,从,上面三个实例,一个是曲线的切线的斜率,一个是瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数,学表达式结构是一样的,即计算极限 ,这就是我们要学习的导数的定义.,定义,：设函数,y,=,f,(,x,)在点,x,0,处及其附近有定义,当自变量,x,在点,x,0,处有改变量,x时函数有相应的改变量,y=f(,x,0,+,x)-f(,x,0,).,如果当,x,0,时,y/,x的极限存在,这个极限就叫做函数,f,(,x,)在点,x,0,处的导数(,或变化,率,)记作 即:,如,瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.,是,函数,f,(,x,)在以,x,0,与,x,0,+,x,为端点的区间,x,0,x,0,+,x(或,x,0,+,x,x,0,)上的,平均变化率,而导数则是函数,f,(,x,)在点,x,0,处的,变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度,如果函数y=f(x)在点x=x,0,存在导数,就说函数y=f(x)在点x,0,处,可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x,0,处,不可导,.,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x,0,处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.,自变量的增量,x的形式是多样的,但不论x选择,哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.,例1:(1)求函数y=x,2,在,x=,1处的导数;,(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,如果函数,y,f,(,x,)在区间(,a,b,)内每一点都可导,就说函数,y,f,(,x,)在区间(,a,b,)内可导.这时,对每一个x,(a,b)都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(,a,，,b,)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数,f,(,x,)在区间(,a,b,)内的,导函数,记作 ,即:,在不致发生混淆时，导函数也简称,导数,如果函数y=f(x)在点x,0,处可导,那么函数在点x,0,处连续,求函数y=f(x)的导数可分如下三步:,4.导数的几何意义,函数 y=f(x)在点x,0,处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x,0,f(x,0,)处的切线的斜率，即曲线y=,f(x)在点P(x,0,f(x,0,)处的切线的斜率是 .,故,曲线y=f(x)在点P(x,0,f(x,0,)处的切线方程是:,例1:设f(x)为可导函数,且满足条件 ,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,例2:如图,已知曲线 ,求:,(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.,y,x,-2,-1,1,2,-2,-1,1,2,3,4,O,P,即,点P处的切线的斜率等于4.,(2),在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,例2:设函数f(x)在点x,0,处可导,求下列各极限值:,分析:利用函数f(x)在点x,0,处可导的条件,将题目中给定,的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定,义中,自变量的增量,x的形式是多样的,但不论x,选择哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.,练习1:设函数f(x)在点x,0,处可导,求下列各极限值:,更多资源,6.小结,a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数,学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物,理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过,程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增,量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。,c.弄清“函数f(x)在点x,0,处的导数”、“导函数”、“导数”,之间的区别与联系。,（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改,变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个,常数，不是变数。,（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数 。,（3）如果,函数,y,f,(,x,)在开区间(,a,b,)内每一点都可导,就说函数,y,f,(,x,)在开区间(,a,b,)内可导，这时，,对于开区间内每一个确定的值x,0,，都对应着一,个确定的导数 ，这样就在开区间(,a,b,)内,可构成一个新的函数，称作,f(x)的导函数。,（4）函数f(x)在点x,0,处的导数 就是导函数,在x=x,0,处的函数值，即 。这也是,求函数在点x,0,处的导数的方法之一。,（1）求出函数在点x,0,处的变化率 ，得到曲线,在点(x,0,f(x,0,)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,求切线方程的步骤：,