无穷小的比较-无穷小的阶

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,第六节 无穷小的比较 无穷小的阶,一、无穷小的比较,二、等价无穷小,三,、,小结,一、无穷小的比较,例如,观察下列极限,当 时,都是无,穷小,.,不可比,.,型,极限不同,反映了无穷小趋向于零的速度的,“,快慢,”,程度不同,.,定义,:,(1),如果,则称 是比,高阶,的无穷小,设 是同一过程中的两个无穷小,且,记作,(2),如果,则称 是比,低阶,的无穷小；,(3),如果,则称 与 是,同阶,的无穷小；,特殊地,如果,则称,与,是,等价,的无穷小；,记作,(4),如果,无穷小；,则称是的 阶的,例如，因为,所以当,时，,与,是等价无穷小,即,所以当,时，,是比,高阶的无穷小,因为,即,而,所以当时，,是,二阶无穷小,证明,因为,例,1,证明：,当,时，,为的三,阶无穷小,所以,为,的三阶无穷小,二、等价无穷小代换,定理,(,等价无穷小代换定理,),证,存在,则,是同一极限过程的,无穷小；,几个常见的等价无穷小,:,上述等价无穷小中的 可以是,函数形式,当 时,但在所考虑的极限过程中,此函数的,极限,应为零,.,例,2,解,例,3,求极限,解,因为,所以,有,求,当,时,例,4,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的,乘积,不能滥用等价无穷小代换,.,切记,:,只可对函数的,乘积因子,作无穷小等价代换,注意：,则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作,等价无穷小代换,而不会改变原式的极限,对于,代数和,中各无穷小,不能,分别代换,.,解,解,错,例,5,求,当 时,原式,原式,例,6,计算,解,因为,所以,于是,原式,解,当 时,与,是等价无穷小,则,例,7 (0702),例,8(040210),计算极限,解,由 与 等价 得,:,原式,三、小结,1,、无穷小的比较,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,.,2,、等价无穷小的代换,:,求极限的又一种方法,注意适用条件,.,高,(,低,),阶无穷小,;,等价无穷小,;,无穷小的阶,.,练习,(030104),解,练习,解,而,所以,任何两个无穷小都可以比较吗？,思考题,思考题解答,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,不能,故当,函数,不能,比较,.,一、,填空题：,1,、,2,、,3,、,4,、,练习题,5,二、求下列极限,(1),(2),(3),(4),练习题答案,