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2.2.2,平行四边形的判定,(,第,1,课时,),1.,熟记平行四边形的两个判定定理,.(,重点,),2.,能应用平行四边形的判定定理证明一个四边形是平行四边形,.(,重点、难点,),平行四边形的判定定理,1.,如图,将两根同样长的木条,AB,CD,平行放置,再用木条,AD,BC,加固,这样就得到一个四边形,.,2.,如图四边形,是由木棒钉制而成的,.,【,思考,】,(1),对于问题,1,从图知看似是一个平行四边形,.,怎样说明它是一个平行四边形呢,?,提示,:,只需证明四边形的两组对边分别平行,根据平行四边形的定义即可判定,.,(2),你能说明问题,1,中四边形的形状吗,?,提示,:,能,.,连接,AC,两根木条的长度相等,AB=CD,又因,ABCD,BAC=DCA,又因,AC=CA,可证,ABCCDA(SAS),故,ACB=CAD,进而得,ADBC,又已知,ABCD,四边形,ABCD,是平行四边形,.,(3),对于问题,2,中,四边形,ABCD,是平行四边形吗,?,为什么,?,提示,:,是,.,理由,:,连接,AC,由图中可知,AB=DC=30,BC=DA=40,又,AC=CA,故由,“,SSS,”,得,ABCCDA,又由三角形全等的性质得,BAC=DCA,BCA=DAC,故,ABCD,ADCB.,因此由平行四边形的定义知四边形,ABCD,是平行四边形,.,【,总结,】,(1),平行四边形的判定定理,1:,一组对边,_,的四边形是,平行四边形,.,(2),平行四边形的判定定理,2:,两组对边,_,的四边形是平,行四边形,.,平行且相等,分别相等,(,打“”或“,”),(1),一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形,.,(),(2),三条边分别相等的四边形是平行四边形,.,(),(3),两组对边分别平行的四边形是平行四边形,.,(),(4),一组对边平行,且一组对角相等的四边形是平行四边形,.(),(5),一组对边相等,且一组对角相等的四边形是平行四边形,.(),知识点,1,平行四边形判定定理,1,的应用,【,例,1】,如图,四边形,ABCD,中,ADBC,AEAD,交,BD,于点,E,CFBC,交,BD,于点,F,且,AE=CF.,求证,:,四边形,ABCD,是平行四边形,.,【,解题探究,】,(1),当四边形中已有一组对边平行,再添加什么条件就可证明这个四边形是平行四边形,?,提示,:,再添加这组对边相等或另一组对边平行,就可证明这个四边形是平行四边形,.,(2),由已知条件可知,EAD,与,FCB,有什么关系,?,为什么,?,提示,:,全等,.ADBC,ADB=CBD.,AEAD,CFBC,EAD=FCB=90.,AE=CF,EADFCB.,(3),结合以上探究你能确定四边形,ABCD,是平行四边形吗,?,为什么,?,提示,:,能,.EADFCB,AD=CB.,又,ADBC,四边形,ABCD,是平行四边形,.,【,互动探究,】,把题目中的条件“,ADBC”,改为“,AD=BC”,结论还成立吗,?,提示,:,成立,.,【,总结提升,】,由一组对边平行且相等证平行四边形的几种情况,1.,已知四边形中一组对边平行,通过证明三角形全等再得这组对边相等,进而证明该四边形是平行四边形,.,2.,已知四边形中一组对边相等,通过证明三角形全等,得角相等进而得这组对边平行,进而证明该四边形是平行四边形,.,知识点,2,平行四边形判定定理,2,的应用,【,例,2】,如图,在平行四边形,ABCD,中,点,E,F,分别是,AD,BC,的中点,.,求证,:(1)ABECDF.,(2),四边形,BFDE,是平行四边形,.,【,思路点拨,】,(1),根据平行四边形的性质和已知可证,AE=CF,BAE=DCF,AB=CD,故根据,SAS,可证,ABECDF.,(2),由,(1),可证,BE=DF,由已知可证,DE=BF,故可证四边形,BFDE,是平行四边形,.,【,自主解答,】,(1),在平行四边形,ABCD,中,AB=CD,AD=CB,又点,E,F,分别是,AD,BC,的中点,AE=CF,BAE=DCF,ABECDF(SAS).,(2)ABECDF,BE=DF,又点,E,F,分别是,AD,BC,的中点,DE=BF,四边形,BFDE,是平行四边形,.,【,总结提升,】,由两组对边分别相等判定平行四边形的思路,当在欲证为平行四边形的四边形中,有一组对边相等时,一般可思考证明这组对边平行,如果无法证明这组对边平行,则只需证另一组对边相等即可,.,题组一,:,平行四边形判定定理,1,的应用,1.,如图,在四边形,ABCD,中,E,是,BC,边的中点,连接,DE,并延长,交,AB,的延长线于,F,点,AB=BF.,添加一个条件,使四边形,ABCD,是平行四边形,.,你认为下面四个条件中可选择的是,(,),A.AD=BCB.CD=BF,C.A=CD.F=CDE,【,解析,】,选,D.F=CDE,CDAF,在,DEC,与,FEB,中,DCE=EBF,CE=BE,CED=BEF,DECFEB,DC=BF,C=EBF,ABDC.,AB=BF,DC=AB,四边形,ABCD,为平行四边形,.,2.,如图,在,RtABC,中,C=90,AC=4,将,ABC,沿,CB,向右平移得到,DEF,若平移距离为,2,则四边形,ABED,的面积等于,.,【,解析,】,因为将,ABC,沿,CB,向右平移得到,DEF,平移距离为,2,所以,ADBE,AD=BE=2,所以四边形,ABED,是平行四边形,所以四边形,ABED,的,面积,=BEAC=24=8.,答案,:,8,3.,已知如图,ABCD,中,G,H,是对角线,DB,上的两点,且,DG=BH,DF=BE,四边形,EHFG,是平行四边形吗,?,为什么,?,【,解析,】,四边形,EHFG,是平行四边形,.,理由,:,在,ABCD,中,ABCD,BDC=DBA.,又,DG=BH,DF=BE,DGFBHE(SAS).,GF=HE,DGF=EHB.,FGH=EHG(,等角的补角相等,).,GFEH.,又,GF=EH.,四边形,EHFG,是平行四边形,.,4.,如图,已知,:ABCD,BEAD,垂足为点,E,CFAD,垂足为点,F,并且,AE=DF.,求证,:,四边形,BECF,是平行四边形,.,【,证明,】,BEAD,CFAD,AEB=DFC=90,ABCD,A=D,在,AEB,与,DFC,中,AEB=DFC,AE=DF,A=D,AEBDFC(ASA),BE=CF.BEAD,CFAD,BECF.,四边形,BECF,是平行四边形,.,5.,已知,E,F,是四边形,ABCD,的对角线,AC,上的两点,AE=CF,BE=DF,BEDF.,求证,:,四边形,ABCD,是平行四边形,.,【,证明,】,DFBE,DFA=BEC,CF=AE,EF=EF,AF=CE,在,ADF,和,CBE,中,DF=BE,DFE=BEF,AF=EC,ADFCBE(SAS),AD=BC,DAC=BCA,ADBC,四边形,ABCD,是平行四边形,.,题组二,:,平行四边形判定定理,2,的应用,1.,如图,点,A,是直线,l,外一点,在,l,上取两点,B,C,分别以,A,C,为圆心,BC,AB,长为半径画弧,两弧交于点,D,分别连接,AB,AD,CD,则四边形,ABCD,一定是,(,),A.,平行四边形,B.,矩形,C.,菱形,D.,梯形,【,解析,】,选,A.,分别以,A,C,为圆心,BC,AB,长为半径画弧,两弧交于点,D,AD=BC,AB=CD,四边形,ABCD,是平行四边形,.,2.,如图,在由六个全等的正三角形拼成的图中,不重不漏的平行四边形共有,(,),A.3,个,B.4,个,C.5,个,D.6,个,【,解析,】,选,D.,如图,可知,EFADBC,EDFCAB,CDBEAF,有,ED=EF=AF=AB=BC=CD=GE=GF=GA=GB=GC=GD,四边形,EDGF,EDCG,FGBA,GCBA,EGAF,CDGB,是平行四边形,共,6,个,.,3.,如图,延长,ABC,的中线,AD,至点,E,使,DE=AD,连接,BE,CE,则四边形,ABEC,的形状为,.,【,解析,】,易证,ABDECD,EDBADC,故,AB=CE,AC=BE,所以四边形,ABEC,是平行四边形,.,答案,:,平行四边形,4.,如图,在四边形,PONM,中,MOON,于,O,各边长在图中已标出,则四边形,PONM,是,.,【,解析,】,在,RtMON,中,由勾股定理,得,4,2,+(x-5),2,=(x-3),2,解得,x=8,所以,11-x=3,x-5=3,x-3=5,所以,PM=ON,PO=MN.,所以四边形,PONM,是平行四边形,.,答案,:,平行四边形,5.,若一个四边形的边长依次是,a,b,c,d,且,a,2,+b,2,+c,2,+d,2,=,2(ac+bd),则这个四边形是,.,【,解析,】,已知条件可变形为,(a-c),2,+(b-d),2,=0,所以,a=c,b=d,根据两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形,.,答案,:,平行四边形,【,想一想错在哪？,】,如图,在,ABC,中,ACB=90,BC,的垂直,平分线,DE,交,BC,于,D,交,AB,于,E,F,在直线,DE,上,且,AF=CE=AE.,求证,:,四边形,ACEF,是平行四边形,.,提示,:,没有一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边,形的判定方法,本题可用,EF,CA,或,EF=CA,AF=CE,进行判定,.,
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