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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 常微分方程,数值解法,数值计算方法,张红梅,自动化学院,2010年4月,5.1,引言,5.1 引言(基本求解公式),基于数值微分的求解,（,Euler,公式）,基于数值积分的求解,（梯形公式,Simpson,公式）,5.2,Runge-Kutta,法,本章主要研究基于微积分数值解法的常微分方程数值解，主要研究内容：,本章要点,5.1 引言(基本求解公式),工程和科学技术的实际问题中,常需要求解微分方程：,-,(1),常微分方程,初值问题:,-,(2),积分方程:,问,:初值问题(1)的解是否存在？如何判断解的存在性？,本章重点研究形如(1)和(2)问题的,数值解法,.,对于上述问题，可以用解析法求解。但实际问题中的很多常微分方程，解析解很难求得或不存在。,定理1.如果,f,(,x,y,),满足,Lipschitz,条件,即 正数,L,使得,均有,则初值问题(1)的解存在且唯一.,初值问题(1)的数值解,即未知函数,y,(,x,),在区间,a,b,上一系列离散点（节点）：,上函数值 的近似值 ,而 就是初值问题(1)的数值解.,初值问题解的存在唯一性定理,导数,y,(,x,)的数值计算,或积分 的数值计算,数值积分问题,知，常微分方程初值问题的数值解问题涉及：,由,数值微分问题,常微分方程数值解问题的实质：计算函数,y,(,x,)在离散点,x,k,处函数值,y,(,x,k,)的近似。,“步进法”求解常微分方程,步进法：,单步法：,多步法：,1-1 基于数值微分的求解公式,两点数值微分公式：,-(3),以下涉及的节点均为等距,即:,对于初值问题(1),有：,-(4),-(5),-(6),得近似解及误差：,其中:,(前进),Euler,公式，显示公式，直接计算,y,j,+1,的公式,(4)式中区间 上第一等式的一般格式：,即,-(7),-(8),(4)式中区间 上第二等式的一般格式：,其中:,得近似解及误差,即,后退,Euler,公式，隐示公式，右端函数含有未知量,y,j,+1,(5)式和(7)式特点：,称这类方法为,单步法,单步格式,Euler,方法的几何体现,前进,Euler,公式,在计算,y,j,+1,时只用到之前一个值,y,j,后退,Euler,公式,例1.,解:,用前进,Euler,公式求解初值问题：,显然,由前进,Euler,公式,有,得,依此类推,有,0 1.0000,0.1000 1.1000,0.2000 1.1918,0.3000 1.2774,0.4000 1.3582,0.5000 1.4351,0.6000 1.5090,0.7000 1.5803,0.8000 1.6498,0.9000 1.7178,1.0000 1.7848,-(9),预测校正系统,先由前进,Euler,公式得到 的预测值 ,然后将 代入后退,Euler,公式计算 ,就可得到新的,Euler,公式:,预测,校正,求解过程：,后退,Euler,公式 中,为了把 从函数公式中求解出来很难。,实际上，隐式公式公式能获得更高精度的解。,为了避免求解函数方程，采用“,显式+隐式,”的方式,用,Euler,公式的预测校正系统求解,例1,.,例2.,解:,由(9)式,有,依此类推,得,0 1.0000,0.1000 1.0918,0.2000 1.1763,0.3000 1.2546,0.4000 1.3278,0.5000 1.3964,0.6000 1.4609,0.7000 1.5216,0.8000 1.5786,0.9000 1.6321,1.0000 1.6819,把此值和,例1,中前进Euler公式的结果以及精确值比较发现,用预测校正系统的结果与精确解更接近.,常微分方程求解公式中,虽然显式比隐式方便,但由隐式可获得更高精度.,评价一个微分方程求解,公式好坏的标准是什么,？,只能表示求解公式第,j,+1,步的误差。,在求解公式 中,一般 都是近似值,因此,1-2 截断误差,评价一个微分方程求解公式的标准:,精度,即精确值 与计算值 之差：,定义1.,称,为计算,y,k,的求解公式第,k,步的,局部截断误差,.,定义2.,设,e,i,(,h,),(,i,=1,2,k,),为计算,y,i,求解公式第,i,步的局部截断误差,且,则称,E,k,(,h,),为该求解公式第,k,步的累计截断误差,即求解公式在,x,k,点上的,整体截断误差,.,定义3.,若求解公式的局部截断误差为,则称该求积公式具有,p,阶精度.,局部截断误差和整体截断误差均与步长,h,有关,因此可以用,h,的次数来刻画求解公式的精度：,y,2,y,(,x,2,),y,1,y,(,x,1,),y,3,y,(,x,3,),显然,求解公式的精度越高,计算解的精确性也就越好.,从前面的分析可知,Euler,法的精度并不算高,因此有必要寻找精度更高的求解公式.,具有,1,阶精度,前进,Euler,公式的局部截断误差为:,具有,1,阶精度,后退,Euler,公式的局部截断误差为:,注,:由于 和 难以确定,可用 (或 )代替,也可根据 的性态直接估计 和 的值.,对初值问题：,在区间 上积分，得,-(10),1-3 基于数值积分的常微分方程数值解法,若 已知,则计算 只需计算积分,将以上求积公式代入(11)式,并加以处理,得求解公式：,矩形求积公式,的计算,假设已知,梯形求积公式,误差为：,Simpson,求积公式,误差为：,(一)矩形求解公式,令,-(11),(11)式称为,Euler,求解公式,又称,矩形公式,由,可得,以及,显式公式,(二)梯形求解公式,令,称(12)式为,梯形求解公式,(,梯形法,),由,可得：,以及,隐式公式,-(12),梯形法具有,2,阶精度,由于梯形公式为隐形公式,一般情况下不易显化,可以先使用,Euler,公式(矩形法),即公式(11),求出 的预测值 ,然后将 代入梯形公式(12)进行校正,即,如果在,中,，,则梯形公式第,k,步的截断误差为：,即,改进的,Euler,求解公式(改进,Euler,法),-(14),注:,改进,Euler,法是由梯形公式和,Euler,公式复合而成，,且已知梯形公式具有,2,阶精度.,可证：改进,Euler,法也具有,2,阶精度.,改进的Euler求解公式,-(13),例3.,用,Euler,法、梯形法和改进,Euler,法,求解初值问题,并比较结果的精度。,解:,对上式取,k,=1,2,3,4,5,结果如表 1-1 所示.,(1),Euler,公式：,(2)梯形公式：,其余结果见表1-1.,(3)改进,Euler,公式:,其余结果见表1-1.,Euler,法,梯形法,改进,Euler,法,表1-1,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,1.000 000,1.010 000,1.029 000,1.056 100,1.090 490,1.004 762,1.018 594,1.040 633,1.070 096,1.106 278,1.005 000,1.019 025,1.041 218,1.070 802,1.107 076,4.8,X10,-3,8.7X10,-3,1.2X10,-2,1.4X10,-2,1.6X10,-2,7.5,X10,-4,1.4X10,-4,1.9X10,-4,2.2X10,-4,2.5X10,-4,1.6,X10,-4,2.9X10,-4,4.0X10,-4,4.8X10,-4,5.5X10,-4,1、Euler,法的误差数量级最大；,2、梯形公式与改进的,Euler,法误差数量级相当，均优于,Euler 法。,(三),Simpson,求解公式,将,Simpson,求积公式,代入,（11）,得：,简化后,得,-(15),由,Simpson,求积公式的误差:,可以近似得到,(16),式的截断误差为,分析(15)式：,如何求?,Simpson,公式具有,4,阶精度,将,(15),式改为:,-(16),-(17),(16),式称为,Simpson,求解公式,(17),为相应的,截断误差项,注,:,这种形式称为,多步法,.,(16),式是一个隐式求解公式,(16)式中,求 时需要前两步的结果 和,
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