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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4,3,奈奎斯特稳定判据,第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方程根的,性质,唯一确定。对于,三阶以下,系统，解出特征根就能判断系统是否稳定。,三阶以上,的高阶系统，求解特征根通常都很困难，前面介绍了基于特征方程的根与系数关系的劳斯判据。,奈奎斯特（,Nyquist,）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性,与复变函,数 位于,S,平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。,一、幅角定理,(Kauthy,幅角定理,),幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的。由于奈氏判据是以幅角定理为依据的，因此有必要先简要地介绍幅角定理。,设有一复变函数,称之为辅助函数，其中 是系统的开环传递函数,.,通常可写成如下形式,式中 是系统的开环极点，将式（,4-106,）代入式（,4-105,）得,比较式（,4107,）和式（,4106,）可知，,辅助函数 的,零点 即闭环传递函数的极点,，即系统特征方程 的根。因此，如果辅助函数 的零点都具有负的实部，即都位于,S,平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。,假设复变函数 为单值，且除了,S,平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数,也就是说 在,S,平面上除奇点外处处解析，那么，对于,S,平面上的每一个解析点，在 平面上必有一点（称为映射点）与之对应。,例如，当系统的开环传递函数为,则其辅助函数是,除奇点 和 外，在,S,平面上任取一点，如,则,（一）,S,平面与 平面的映射关系,如图,437,所示，在 平面上有点 与,S,平面上的点 对应,就叫做 在 平面上的映射点。,图,4-37 S,平面上的点在,F,（,S,）平面上的映射,如图,438,所示，如果解析点 在,S,平面上沿封闭曲线 （不经过 的奇点）按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数 在 平面上的映射也是一条封闭曲线 ，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函数的性质而定。,图,4-38,S,平面到,F(s),平面的映射,（二）幅角定理（映射定理）,设 在,S,平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在,S,平面上任选一封闭曲线,s,，并使,s,不通过 的奇点，则,S,平面上的封闭曲线,s,映射到,F(s),平面上也是一条封闭曲线,F,。当,解析点,s,按顺时针,方向沿,s,变化一周时，则在 平面上，,F,曲线按,逆时针方向绕原点的周数,N,等于封闭曲线,s,内包含,F(s),的极点数,P,与零点数,Z,之差。即,N=P-Z,（,4108,）,式中，若,N0,，则,F,按逆时针,方向绕,F(s),平面坐标原点,N,周；若,Nm,时，,（,4-121,）,s,的第三部分在,GH,平面上的映射是它的坐标原点（图,443,（,b,）。,奈氏轨迹,s,在,GH,平面上的映射 称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线。,(4-120),(4-119),2,、当 在,S,平面的,虚轴上（包括原点）有极点时,，由于奈氏轨迹不能经过开环极点，,s,必须避开虚轴上的所有开环极点。增加第,4,部分曲线，如图,4-44,所示。,其中（,1,）（,2,）和（,3,）部分的定义,与图,442,相同,.,第（,4,）部分的定义,是：,表明,s,沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（）。这样，,s,既绕过了 原点上的极点，又包围了整个右半,S,平面，如果在虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的方法，将,s,绕过这些虚轴上的极点。,设系统的开环传递函数为,（,4-122,）,其中,v,称为无差度,，即系统中含积分环节的个数或位于原点的开环极点数。当 时，,(4-123),式,(4-123),表明，,s,的第（,4,）部分无穷小半圆弧在,GH,平面上的映射为,顺时针旋转的无穷大圆弧,，旋转的弧度为 弧度。图,445,（,a,）、（,b,）分别表示当,v=1,和,v=2,时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是,s,的无穷小半圆弧在,GH,平面上的映射。,图,4-44,虚轴上有开环极点 时的奈氏轨迹,图,4-45,时的奈氏曲线,s,应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列,三种情况,：,(i),当系统开环传递函数 的,全部极点都位于,S,平面左半部时（,P=0,），,如果系统的奈氏曲线,不包围,GH,平面的 点（,N=0,），则闭环系统是稳定的（,Z=P-N=0,），否则是不稳定的；,（,ii),当系统开环传递函数 有,p,个位于,S,平面,右半部的极点,时，如果系统的奈氏曲线,逆时针包围,点的周数等于位于,S,平面右半部的开环极点数（,N=P,），则闭环系统是稳定的（,Z=P-N=0,），否则是不稳定的；,(iii),如果系统的奈氏曲线 顺时针包围 点（,N0,），则闭环系统不稳定（,Z=P-N0,）。,（,iv,）当,曲线恰好通过,GH,平面的 点（注意,不是包围,），此时如,果系统无位于,S,平面右半部的开环极点，则系统处于,临界稳定,状态。,综上，奈氏曲 线,是否包围,GH,平面的 点是判别系统是否稳定的重要依据。,五、奈氏判据的应用,例,46,试用奈氏判据分析例,41,系统的稳定性。,解该系统的开环传递函数为,其对应的频率特性是,当 时系统的奈氏曲线如图,4-46,所示。该系统的两个开环极点 和 均在,S,平面左半部，即,S,平面右半部的开环极点数,P=0,，由图,4-46,可知，系统的奈氏曲线 不包围 点（,N=0,），根据奈氏判据，位于,S,平面右半部的闭环极点数,Z=P,N=0,，该闭环系统是,稳定的,确定幅相曲线起点和终点，正确作出幅相曲线对于判断系统的稳定性很重要,!,。,图,4-46,例,4-6,奈氏曲线,例,47,试用奈氏判据分析例,43,系统的稳定性。,解 该系统的开环传递函数为,其对应的频率特性是,当 时，系统的奈氏曲线如图,448,所示。由于系统含有一个积分环节（,v=1,），当 对应奈氏曲线为顺时针环绕坐标原点的无穷大半圆（图,448,中虚线所示）。,图,4-48,例,4-7,奈氏曲线,开环传递函数无右半,S,平面的极点，即,P=0,，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值 的大小，当 时，不包围 点，即,N=0,图,4-48,（,a,），系统是稳定的；当 时,奈氏曲线 顺时针包围 点两周，即,图,4-48,（,b,），系统不稳定。,例,48,已知反馈控制系统的开环传递函数为,试用奈氏判据分析当 时系统的稳定性。,解,系统的开环频率特性是,其幅频特性和相频特性分别是,图,4-50,例,4-8,系统的奈氏曲线,
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