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,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,广西田林中学 梁万鹏,*,24 十一月 2024,1,高中函数知识精要,10 十月 20231高中函数知识精要,24 十一月 2024,2,一。映射与函数,1,、,映射,：对于集合,A,、,B,，存在某种对应法则,f,，使得集合,A,中的任何一个元素在集合,B,中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合,A,到集合,B,的映射，记为,f,：,AB,2,、,函数,：,(1),在某种变化过程中存在两个变量,x,，,y,，并且对于,x,在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，,y,都有唯一确定的值和它对应，那么,y,就是,x,的函数。,(2),设,A,、,B,都是非空数集，那么,A,到,B,的映射,f,：,AB,就叫做,A,到,B,的函数，记作,y=f(x),3,、,函数的“三要素”,：对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。,10 十月 20232一。映射与函数1、映射：对于集合A、B,24 十一月 2024,3,方法小结,1,、理解映射的概念,A,、,B,为非空数集；,A,中的元素必有象，但,B,中的元素不一定有原象；,A,中的任一元素的象是唯一的，因此对应是“一对一或多对一”。,2,、理解函数与映射的关系。函数的“三要素”是对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。,3,、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。,10 十月 20233方法小结1、理解映射的概念A、B,24 十一月 2024,4,二。函数的定义域,3,、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。,2,、求函数的定义域的主要依据是：,分式的分母,不为,0,；,偶次方根,的被开方数非负；,对数的真数,大于,0,；指数、对数函数的,底数,大于,0,且不等于,1,；指数为,0,或负数时，底数不为,0,；,实际问题,的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义。,1,、函数的定义域是指自变量的取值范围。,10 十月 20234二。函数的定义域3、如果函数是由一些基,24 十一月 2024,5,三。函数的值域,函数的值域就是在对应法则,f,的作用下，自变量,x,的值对应的,y,值的集合。,方法小结,1,、求函数值域的常用方法有：,配方法,：求形如,F(x)=af,2,(x)+bf(x)+c,的函数值域问题,要注意,f(x),的取值范围对值域的影响,.,分离常数法,:,求函数,f(x)=,形函数的值域，,如,f(x)=,转化为,f(x)=1,求值域,;,2x,1,2x,3,ax,b,cx,d,5,x,3,10 十月 20235三。函数的值域函数的值域就是在对应法则,24 十一月 2024,6,反函数法,:,求式函数,f(x)=,形函数的值域，均可使用反函数法,.,ax,b,cx,d,判别式法,：把函数转化成关于,x,的二次方程,F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式,0,从而求得原函数的值域,.,形如,y=(a,1,a,2,不同时为,0),的函数的值域,常用此法但要注意函数的定义域不是,R,时还需要用二次方程根的分布来求解,.,a,1,x,2,+b,1,x+c,2,a,2,x,2,+b,2,x+c,2,单调性法,:,利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域,.,换元法,:,运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易求出的另一类函数,10 十月 20236反函数法:求式函数f(x)=,24 十一月 2024,7,3,、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要告自己积累经验，掌握规律。,2,、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。,数形结合法,:,利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数值域,.,10 十月 202373、求函数的值域没有通用的方法和固定的,24 十一月 2024,8,四。函数的单调性,1,、定义：设函数,f(x),的定义域为,I,：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量,x,1,、,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f(x,1,),f(x,2,),（,f(x,1,),f(x,2,),），那么就说,f(x),在这个区间上是增（减）函数。,2,、注意定义的变形：设,x,1,、,x,2,a,，,b,f(x,1,),f(x,2,),x,1,x,2,0,或,(x,1,x,2,)(,f(x,1,),f(x,2,),0,f(x),在这个区间上为增函数,f(x,1,),f(x,2,),x,1,x,2,0,或,(x,1,x,2,)(,f(x,1,),f(x,2,),0,f(x),在这个区间上为减函数,10 十月 20238四。函数的单调性1、定义：设函数f(x,24 十一月 2024,9,3,、熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性。,两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；,y=f(x),与,y=,f(x),有相反的单调性；,当,y=f(x),恒为正或恒为负时，,y=f(x),与,y=1/f(x),有相反的单调性。,4,、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处：,10 十月 202393、熟练掌握一次函数、二次函数、指数函,24 十一月 2024,10,方法小结,1,、,函数的单调性必须在定义域内进行,，在定义域内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪个区间上递增或递减。,2,、根据定义,证明函数单调性,的方法：,设,x,1,、,x,2,A,，且设,x,1,x,2,；作差：,f(x,1,),f(x,2,),，并变形（分解、配方、通分等）；判断差的符号，并作结论。,3,、复合函数单调性的判断方法：设,y=f(u),，,u=g(x),，,x(a,b),u(m,n),，都是单调函数，则,y=f(g(x),在,a,b,上也是单调函数。若,y=f(u),是,(m,n),上的增（减）函数，则,y=f(g(x),的增减性与,u=g(x),的增减性相同（相反）。也可概括为,“同增、同减为增，一增一减为减”。,10 十月 202310方法小结1、函数的单调性必须在定,24 十一月 2024,11,五。反函数,3,、反函数的求法：由,y=f,（,x,）,解出,x=f,1,（,y,）,；将,x=f,1,（,y,）中的,x,、,y,互换,，得,y=f,1,（,x,）；由,y=f,（,x,）的值域，,写出,y=f,1,（,x,）的定义域,。,1,、定义：函数,y=f(x)(xA),中，设它的值域为,C,，由,y=f(x),解出,x=f,1,(y),，如果对于,y,在,C,中的任何一个值，由,x=f,1,(y),，,x,在,A,中都有唯一的值和它对应，那么,x=f,1,(y),就表示,x,是,y,的函数，则函数,x=f,1,(y),就叫做,y=f(x),的反函数。习惯上把,y,看成函数，将,x,、,y,调换，,y=f(x),的反函数表示为,y=f,1,(x),。,2,、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。互为反函数的两个图象关于直线,y=x,对称。,10 十月 202311五。反函数3、反函数的求法：由y=,24 十一月 2024,12,方法小结,1,、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。因此，定义域上的单调函数必有反函数；,2,、若原函数过点,(a,b),，则反函数过点,(b,a),，即若,f,（,a,）,=b,，则,f,1,（,b,）,=a,。,3,、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。,10 十月 202312方法小结1、只有从定义域到值域上,24 十一月 2024,13,六。一些常用函数及其性质,1,、正比例函数：,y=kx,（,k0,）,x,y,o,k,0,x,y,o,k,0,图象,性质,:1,、定义域为,R,；,2,、值域为,R,；,3,、单调性：,k,0,时为增函数,K,0,时为减函数。,10 十月 202313六。一些常用函数及其性质1、正比例函,24 十一月 2024,14,图象,2,、反比例函数：,y=,（,k0,）,k,x,x,y,o,k,0,x,y,o,k,0,性质,:1,、定义域：,(,0)(0,);2,、值域：,(,0)(0,),；,3,、,单调性,（,1,）,k,0,时，在,(,0),或,(0,),上是增函数；（,2,）,k,0,在,(,0),或,(0,),上是减函数。,10 十月 202314图象2、反比例函数：y=,24 十一月 2024,15,3,、一次函数：,y=kx,b,（,k0,）,x,y,o,k,0,x,y,o,k,0,图象,性质,:1,、定义域为,R,；,2,、值域为,R,；,3,、,k,0,时为增函数,K,0,时为减函数。,10 十月 2023153、一次函数：y=kxb（k0）,24 十一月 2024,16,4,、二次函数：,y=ax,2,+bx+c,（,a0,）,o,x,y,3,、图象开口往上，对称轴为,x=,，有最小值，,在（，,为减函数，在,，,+),为增函数。,b,2a,b,2a,b,2a,4ac,b,2,4a,性质：,1,、定义域：,R,；,2,、值域：,，,+);,a,0,时的图象与性质,10 十月 2023164、二次函数：y=ax2+bx+c（,24 十一月 2024,17,o,x,y,3,、图象开口往下，对称轴为,x=,，有最大值，,在（，,为增函数，在,，,+),为减函数。,b,2a,b,2a,b,2a,4ac,b,2,4a,性质：,1,、定义域：,R,；,2,、值域：（,，,;,a,0,时的图象与性质,10 十月 202317oxy3、图象开口往下，对称轴为x=,24 十一月 2024,18,0,0,=0,图象,x,x,1,=x,2,y,o,x,x,1,x,2,y,o,y,x,o,ax,2,+bx+c=0,(a0),ax,2,+bx+c0,(a0),ax,2,+bx+c0),x=x,1,或,x=x,2,x=x,1,=x,2,=,b,2a,x|xx,2,x|x,1,xx,2,b,2a,x|x,O,O,R,无实根,5,、二次函数与二次不等式,10 十月 20231800=0图象xx1=x2y,24 十一月 2024,19,方法与小结,1,、解决分式函数,f(x)=,，可转化为反比例函,数来解决。如,f(x)=,转化为,f(x)=2,;,2x,1,x,3,ax,b,cx,d,5,x,3,2,、解决二次函数有关问题关键是通过配方，得出顶,点,(,),，由此可知函数的图象、对,称轴、单调区间、判别式、最值等。,4ac,b,2,4a,b,2a,3,、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：,f(x)=a(x,k),2,m,，零点式：,f(x)=a(x,x,1,)(x,x,2,),。,10 十月 202319方法与小结1、解决分式函数f(x,24 十一月 2024,20,6,。指数函数与对数函数,（,1,）、指数函数,y=a,x,(a,0,且,a1),的图象和性质：,a,1,0,a,1,图象,性质,xR,；,y(0,+);,过定点,(0,1),当,x,0,时,y,1,x,0,时,0,y,1,当,x,0,时,0,y,1,x,0,时,y,1,在,R,上是增函数,.,在,R,上是减函数,.,x,o,y,x,o,y,10 十月 2023206。指数函数与对数函数（1）、指数函,24 十一月 2024,21,x,o,y,x,o,y,（,2,）对数函数,y=log,a,x(a,0,且,a1),的图象和性质：,a,1,0,a,1,图象,性质,x(0,+),；,y R;,过定点,(1,0),当,x,1,
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