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,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,24,章,圆,知识体系复习,第24章,本章知识结构图,圆的基本性质,圆,圆的对称性,弧、弦圆心角之间的关系,同弧上的圆周角与圆心角的关系,与圆有关的位置关系,正多边形和圆,有关圆的计算,点和圆的位置关系,切线,直线和圆的位置关系,三角形的外接圆,三角形内切圆,等分圆,圆和圆的位置关系,弧长,扇形的面积,圆锥的侧面积和全面积,本章知识结构图圆的基本性质圆圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系,第,1,部分 圆的基本性质,第,2,部分 与圆有关的位置关系,本章重点内容,第,3,部分 正多边形和圆,第,4,部分 弧长和面积的计算,第,5,部分 有关作图,第1部分 圆的基本性质第2部分 与圆有关的位置关系本,一,.,圆的基本概念,:,1.,圆的定义,:,到,的距离等于,的点的集合叫做圆,.,2.,有关概念,:,(1),弦、直径,(,圆中最长的弦,),(2),弧、优弧、劣弧、,等弧,（,能,完全重合的弧，,只能在,同圆或等圆,中出现,）,(3),弦心距,O,定点,定长,一.圆的基本概念:1.圆的定义:到 的距离等于,二,.,圆的基本性质,1.,圆的对称性,:,(1),圆是,图形,都是它的对称轴,.,圆有,条对称轴,.,(2),圆是 图形,并且绕圆心旋转 都能与自身重合。,经过圆心的每一条直线,无数,中心对称,任何角度,轴对称,二.圆的基本性质1.圆的对称性:(1)圆是,2.,垂径定理,:,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,.,A,D,B,P,C,CD,是圆,O,的直径,CDAB,AP=BP,AC,BC,=,AD,BD,=,2.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分,垂径定理的推论：,判断：平分弦的直径垂直于弦（）,A,D,B,P,C,平分弦,（非直径）,的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,.,垂径定理的推论：判断：平分弦的直径垂直于弦（）ADB,1,、如图,已知,O,的半径,OA,长为,5,弦,AB,的长,8,OCAB,于,C,则,OC,的长为,_.,O,A,B,C,3,AC=BC,弦心距,半径,半弦长,垂径定理的应用,方法：,在,O,中，若,O,的,半径,r,、,圆心距,d,、,弦长,a,中，任意知道两个量，可根据,定理构造,直角三角形,求出第三个量。,垂径,1、如图,已知O的半径OA长为5,弦AB的长8,OCAB,2,：如图，圆,O,的弦,AB,8,，,直径,CEAB,于,D,，,DC,2,，,求半径,OC,的长。,垂径定理的应用,方法：,在,应用垂径定理进行计算时（多数在求半径时）经常需要,列方程。,2：如图，圆O的弦AB8 ，垂径定理的应用方法：,3,、如图，,P,为,O,的弦,BA,延长线上一点，,PA,AB,2,，,PO,5,，求,O,的半径。,关于弦的问题，常常需要,过圆心作弦的垂线段,，,这是一条非常重要的,辅助线,。,把圆心到弦的,垂线段,、半径,、,一半弦长,构成直角三角形，便将问题转化为,直角三角形的问题,。,M,A,P,B,O,A,方法、技巧,3、如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO,3.,同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系,:,(1),在,同圆或等圆,中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等,.,(2),在,圆,中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等,.,(3),在,同圆或等圆,中,如果弦相等,那么它所对的,劣弧与优弧分别相等,所对的圆心角相等,.,A,B,D,C,O,COD=AOB,AB,CD,=,AB=CD,3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在同圆或等圆,4.,圆周角,:,定义,:,顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做,圆周角,.,性质,(1),：,在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的,圆心角,的,.,BAC=BOC,1,2,一半,4.圆周角:定义:顶点在圆周上，两边和圆相交,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等,.,相等的圆周角所对的弧相等,.,圆周角的性质,(2),ADB与AEB、ACB 是同弧所对的圆周角,ADB=AEB=ACB,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的,性质,3:,半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于,。,性质,4:,90,0,的圆周角所对的弦是圆的,.,AB,是,O,的直径,ACB=90,0,圆周角的性质,:,90,0,(,直角,),直径,.,性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于,A,B,C,O,D,3.6,作,圆的直径,找,90,0,的圆周角,也是圆里常用的辅助线,技巧：,ABCOD3.6 作圆的直径找900的圆周角也是圆里常用,例,2.,在,O,中，弦,AB,所对的圆心角,AOB=100,，则弦,AB,所对的圆周角为,_.,50,0,或,130,0,切记：,一条弦,所对的,圆心角,只有,一个,，但所对的,圆周角,却有,两类,，,是,互补,的。,例2.在O中，弦AB所对的圆心角AOB=100,(2),点在圆上,(3),点在圆外,(1),点在圆内,1.,点和圆的位置关系,A,C,B,如果规定点与圆心的距离为,d,圆的半径为,r,则,d,与,r,的大小关系为,:,点与圆的位置关系,d,与,r,的关系,点在圆内,点在圆上,点在圆外,d,r,d,r,d,r,三,.,与圆有关的位置关系,:,(2)点在圆上(3)点在圆外(1)点在圆内1.点和圆的,2.,直线和圆的位置关系,:,O,O,O,l,l,l,(1),相离,:,(2),相切,:,(3),相交,:,一条直线与一个圆,没有公共点,叫做直线与这个圆,相离,.,一条直线与一个圆,只有一个公共点,叫做直线与这个圆,相切,.,一条直线与一个圆,有两个公共点,叫做直线与这个圆,相交,.,2.直线和圆的位置关系:OOOlll(1)相离:(2,O,O,l,(1)当直线与圆,相离,时,(2)当直线与圆,相切,时;,(3)当直线与圆,相交,时.,直线与圆位置关系的识别,:,d,r,l,d,r,O,l,d,r,设圆的半径为,r,圆心到直线的距离为,d,则,:,d,r,d=r,d,r,.,OOl(1)当直线与圆相离时(2)当直线与圆相切时,切线的识别方法,1.,与圆只有,一个公共点,的直线。,2.,圆心到直线的距离等于圆的,半径,的直线是圆的切线,。,3.,经过半径的,外端,且,垂直于这条半径,的直线是圆的切线,。,O,A,l,OA,是半径,OA,l,直线,l,是,O,的切线,.,切线的识别方法1.与圆只有一个公共点的直线。2.圆心到直线的,例,1,AB,在,O,的直径，点,D,在,AB,的延长线上,且,BD,=,OB,点,C,在,O,上,CAB,=30,证明：,CD,是,O,的切线,只要,连接OC,，,然后证明,OC,CD,方法：,条件：已经知道要证的,直线经过了圆上的一点,。,例1 AB在O的直径，点D在AB的延长线上,且BD=O,例,2.,在,RtABC,中,B=90,A,的平分线交,BC,于,D,以,D,为圆心,DB,长为半径作,D.,证明,:AC,是,D,的切线,.,F,过圆心D点作,DF,AC,于F，然后证明,垂线段DF半径BD,即可。,技巧：,条件中不知道要证的,切线是否经过了圆上的点,。,例2.在RtABC中,B=90,A的平分线,切线的性质,:,圆的切线垂直于,.,O,A,l,OA,l,直线,l,是,O,的切线,切点为,A,过切点的半径,.,切线的性质:圆的切线垂直于 .O,切线长定理：,从圆外一点引圆的两条切线，它们的,切线长相等,；这点与圆心的连线,平分这两条切线的夹角,。,B,A,P,O,PA,、,PB,为,O,的切线,PA=PB,APO=BPO,切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切,二、过三点的圆及外接圆,1.,怎样的三点确定一个圆？,三点确定一个圆,2.,如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）？,不在同一直线上,二、过三点的圆及外接圆1.怎样的三点确定一个圆？,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的,外接圆,，外接圆的圆心叫做三角形的,外心,，三角形叫做圆的,内接三角形,。,问题,1,：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外,O,C,B,A,三角形的外接圆,三角形的,外心,就是三角形,的交点,.,外心到三角形,的距离相等。,三个顶点,三边垂直平分线,OCBA三角形的外接圆 三角形的外心就是三角形,思考：,三角形的外心一定在三角形内吗？,ABC是直角三角形,ABC,是锐角三角形,ABC,是钝角三角形,思考：三角形的外心一定在三角形内吗？ABC是直角三角形A,内,外,在斜边的中点处,锐角三角形,的外心在三角形,_,，,直角三角形,的外心在三角形,_ _,，,钝角三角形,的外心在三角形,_,。,三角形的外心位置：,内外在斜边的中点处三角形的外心位置：,三角形的内切圆,:,O,A,B,C,三角形的,内心,就是三角形,的交点,.,内心到三角形,的距离相等。,三内角平分线,三边,三角形的内切圆:OABC 三角形的内心就是三角形,等边三角形的外心与内心,.,重要结论,内切圆半径与外接圆半径的比是,。,O,A,B,C,D,1:2.,重合,.,等边三角形的外心与内心 .重要结论内切圆半径与外接,O,A,B,C,O,A,B,C,D,F,E,D,F,E,若,ABC,各边分别切圆,O,于点,D,、,E,、,F.,(2),DEF=90,0,-A,(3),S,ABC,=(a+b+c)r,重要结论,(1),D0F=180,0,-A,OABCOABCDFEDFE若 ABC各边,A,B,C,O,E,F,D,在,Rt ABC,中,ACB=90,0,三边分别是,a,、,b,、,c,内切圆半径是,r,则,:,内切圆半径,r=,a+b-c,2,重要结论,ab,求得,r=,S,ABC,=(a+b+c)r=ab,a+b+c,或者由,ABCOEFD 在Rt ABC中,ACB=,E,C,B,A,O,D,常见的基本图形及结论,:,1.,如图,在以,O,为圆心的两个同心圆中,大圆的弦,AB,交小圆于,C,、,D,则,:,AC=BD,若大圆的弦切小圆于,C,则,O,A,C,B,AC=BC,两圆之间的环形面积,S,=,AB,2,ECBAOD常见的基本图形及结论:1.如图,在以O为圆,与圆有关的辅助线的作法：,辅助线，莫乱添，规律方法记心间；,圆半径，,不起眼，角的计算常要连，构成等腰解疑难；,切点和圆心,，,连结要领先,；,遇到直径想直角，,灵活应用才方便。,弦与弦心距,，亲密紧相连；,与圆有关的辅助线的作法：辅助线，,练习题：,1.,直角三角形的外接圆半径为,5cm,内切圆半径为,1cm,则此三角形的周长是,_.,2.O,边长为,2cm,的正方形,ABCD,的内切圆,E,、,F,切,O,于,P,点，交,AB,、,BC,于,E,、,F,，则,BEF,的周长是,_.,E,F,H,G,22cm,2cm,练习题：EFHG22cm2cm,3.,如图，,O,为,ABC,的内切圆，切点分别为,D,，,E,，,F,，,P,是弧,FDE,上的一点，若,A+C=110,度，则,FPE=_,度,C,o,D,E,A,B,.,F,P,4,如图，已知,ABC,的三边长分别为,AB=4cm,，,BC=5cm,，,AC=6cm,，,O,是,ABC,的内切圆，切点分别是,E,、,F,、,G,，则,AE=,，,BF=,，,CG=,。,3.如图，O为ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，P,圆与圆的位置关系,:,.,.,.,.,.,外离,外切,相交,内切,内含,圆与圆的位置关系:.外离外切相交内切内含,O,1,O,2,O,1,O,
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