量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解ppt课件

,量纲分析与无量纲化,实例及,MATLAB,求解,量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解,2.9,量纲分析与无量纲化,物理量的量纲,长度,l,的量纲记,L,=,l,质量,m,的量纲记,M,=,m,时间,t,的量纲记,T,=,t,动力学中基本量纲,L, M, T,速度,v,的量纲,v,=,LT,-1,导出量纲,加速度,a,的量纲,a,=,LT,-2,力,f,的量纲,f,=,LMT,-2,引力常数,k,的量纲,k,对无量纲量,，,=1(=,L,0,M,0,T,0,),2.9.1,量纲齐次原则,=,f,l,2,m,-2,=,L,3,M,-1,T,-2,2.9 量纲分析与无量纲化物理量的量纲长度 l 的量纲记,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析,利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,例：单摆运动,l,mg,m,求摆动周期,t,的表达式,设物理量,t, m, l, g,之间有关系式,1,2,3,为待定系数，,为无量纲量,(1),的量纲表达式,对比,量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析利用量纲齐次原则寻求,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析,利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,例：单摆运动,l,mg,m,求摆动周期,t,的表达式,设物理量,t, m, l, g,之间有关系式,1,2,3,为待定系数，,为无量纲量,(1),的量纲表达式,对比,量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析利用量纲齐次原则寻求,对,x,y,z,的两组测量值,x,1,y,1,z,1,和,x,2,y,2,z,2,，,p,1,=,f,(,x,1,y,1,z,1,),p,2,=,f,(,x,2, y,2,z,2,),为什么假设这种形式,设,p,=,f,(,x,y,z,),x,y,z,的量纲单位缩小,a,b,c,倍,p,=,f,(,x,y,z,),的形式为,对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z,单摆运动中,t, m, l, g,的一般表达式,y,1,y,4,为待定常数,为无量纲量,单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式y1y4 为,设,f,(,q,1,q,2,q,m,) = 0,y,s,= (,y,s,1, y,s,2, ,y,sm,),T,s,= 1,2,m-r,F,(,1,2,m-r,) = 0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,) =0,等价,F,未定,Pi,定理,(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，,X,1,X,2,X,n,是基本量纲,n,m,q,1,q,2,q,m,的量纲可表为,量纲矩阵记作,线性齐次方程组,有,m-r,个基本解，记作,为,m-r,个相互独立的无量纲量,且,则,设 f(q1, q2, , qm) = 0 ys =,g, =,LT,-2, ,l, =,L, , =,L,-3,M,v, =,LT,-1, ,s, =,L,2, ,f, =,LMT,-2,量纲分析示例：,波浪对航船的阻力,航船阻力,f,航船速度,v,船体尺寸,l,浸没面积,s,海水密度,重力加速度,g,。,m,=6,n,=3,g = LT-2, l = L, = L-3,Ay,=0,有,m-r,=3,个基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay,=0,有,m-r,个基本解,y,s,= (,y,s,1,y,s,2, ,y,sm,),T,s,= 1,2,m-r,m-r,个无量纲量,Ay=0 有m-r=3个基本解rank A = 3rank,F,(,1,2,3,) = 0,与,(,g,l,v,s,f,) = 0,等价,为得到阻力,f,的显式表达式,F,=0,未定,F,(,1,2,m-r,) = 0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,) =0,等价,F(1, 2 ,3 ) = 0与为得到阻力 f,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性,() = 0,中包括哪些物理量是至关重要的,基本量纲个数,n,;,选哪些基本量纲,有目的地构造,Ay,=0,的基本解,方法的普适性,函数,F,和无量纲量未定,不需要特定的专业知识,量纲分析法的评注 物理量的选取 基本量纲的选取 基本解的构造,2.9.2,量纲分析在物理模拟中的应用,例,:,航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参数,(,均已知,),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的参数,(,f,1,未知，其他已知,),注意：二者的,相同,2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用 例: 航船阻力,按一定尺寸比例造模型船，量测,f,，可算出,f,1,物理模拟,按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f1 物理模,2.9.3,量纲分析,例：爆炸的冲击波,(,爆炸的破坏力分析,),(,一,),问题提出,爆炸的冲击波是造成破坏的主要原因，研究冲击波是必要的。建立数学模型，用予预测冲击波的传播过程：冲击波的半径随时间变化的规律。,研究冲击波的半径随时间变化的规律,（二）量的分析,爆炸,能量释放,.,发生是在一点上突然释放出大量的能量。,主要变量：,E,能量,2.9.3 量纲分析例：爆炸的冲击波(爆炸的破坏力分析)(,爆炸表面形成一个球面，以冲击波形式在空中向外传播,.,假设球的半径为,R:,是关于时间的函数,.,时间,t.,半径,R,的变化还与空气密度,.,空气气压,.,有关,.,即,设,(,三,),假设,1),爆炸在一点突然发生,在气压为 的空气中传播,;,2),同一时间只一点发生爆炸,传播空间内无大型障碍物的阻止,;,3),爆炸在极短时间内释放能量,.,时,能量,E,完全释放,.,爆炸表面形成一个球面，以冲击波形式在空中向外传,(,四,),模型的建立,寻求关系式,量纲分析,:,力学问题,基本量纲,:L,M,T,涉及物理量,:,各物理量的量纲,:,从而可以得到量纲矩阵,:,(四)模型的建立量纲分析:力学问题,基本量纲:L,M,T各物,Rank(A)=3,解齐次线性方程组,:AY=0.,其中,Y=(y,1,y,2, y,3, y,4, y,5,).,有,m-r=5-3=2,个基本解,.,解得,:,得,2,个无量纲量,:,Rank(A)=3 解齐次线性方程组:AY=0.,变换形式得,:,上式满足函数式,:,由此可得,: ,代入 得,其中,可以通过小型爆炸实验分析后用数学软件,(MATLAB),或最小二乘法求得,最终求得爆炸冲击波表达式,.,表达式近似描述了爆炸冲击波的传播过程,.,反过来,根据爆炸过程的高速摄像照片,可以计算出爆炸释放的能量,.,即已知,t,时刻的,R,，求出,E.,变换形式得:上式满足函数式:由此可得:,2.9.4,无量纲化,例：火箭发射,m,1,m,2,x,r,v,0,g,星球表面竖直发射。初速,v,星球半径,r,表面重力加速度,g,研究火箭高度,x,随时间,t,的变化规律,t,=0,时,x,=0,火箭质量,m,1,星球质量,m,2,牛顿第二定律，万有引力定律,3,个独立参数,2.9.4 无量纲化例：火箭发射m1m2xrv0g星球表面,用无量纲化方法减少独立参数个数,x,=,L, ,t,=,T, ,r,=,L, ,v,=,LT,-1, ,g,=,LT,-2,变量,x,t,和独立参数,r,v,g,的,量纲,用,参数,r,v,g,的组合,分别构造与,x,t,具有相同,量纲的,x,c, t,c,（特征尺度）,无量纲变量,如,利用新变量,将被简化,令,用无量纲化方法减少独立参数个数x=L, t=T,x,c, t,c,的不同构造,1,）令,的不同简化结果,为无量纲量,xc, tc的不同构造1）令的不同简化结果为无量纲量,3,）令,为无量纲量,2,）令,为无量纲量,3）令为无量纲量2）令为无量纲量,1,）,2,）,3,）的共同点,只含,1,个参数,无量纲量,解,重要差别,考察无量纲量,在,1,）,2,）,3,）中能否忽略以,为因子的项？,1),忽略,项,无解,不能忽略,项,1）2）3）的共同点只含1个参数无量纲量解重要差别考察,2),3),忽略,项,不能忽略,项,忽略,项,2)3)忽略项不能忽略项忽略项,火箭发射过程中引力,m,1,g,不变,即,x+r, r,原问题,可以忽略,项,是原问题的近似解,火箭发射过程中引力m1g不变原问题可以忽略项是原问题的近似,为什么,3),能忽略,项，得到原问题近似解，而,1) 2),不能,?,1,）令,2,）令,3,）令,火箭到达最高点时间为,v,/,g,高度为,v,2,/2,g,大体上具有单位尺度,项可以忽略,项不能忽略,林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学,为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1) 2)不能?1,量纲分析与无量纲化实例及MATLAB求解ppt课件,