求闭环的特征多项式课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,北科大信息工程学院自动化系,*,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,1,1,、输出反馈,v,比较开环系统和闭环系统,（,1,）两者的状态维数相同；,（,2,）系统矩阵由,A,变为,A-BHC,。,6.1,状态反馈与输出反馈,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系11、输出反馈,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,2,比较开环系统和闭环系统,（,1,）两者的状态维数相同；,（,2,）系统矩阵由,A,变为,A-BK,。,2,、状态反馈,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系2比较开环系统和,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,3,3,、状态反馈与输出反馈的比较,（,1,）,K,中的参数个数一般多于,H,，故状态反馈对系统的修正能力优于输出反馈；,（,2,）从实现角度看，输出反馈优于状态反馈,。,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系33、状态反馈与,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,4,4,、闭环系统的能控性与能观性,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系44、闭环系统的,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,5,例,6.1,解,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系5例6.1解,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,6,一、问题的提法,系统期望性能指标,一组期望极点,设计反馈控制系统,稳定性,动态和静态指标,1,2, ,n,确定,K,H,使得,A-BK,或,A-BHC,的,特征根为,1,2, ,n,6.2 SISO,线性定常系统的极点配置,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系6一、问题的提法,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,7,则闭环的状态空间表达式为：,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系7则闭环的状态空,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,8,其中,=,所以此系统的特征多项式为：,设为期望特征根，则其特征多项式为：,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系8其中= 所以此,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,9,比较系数有：,对,都可以找到相应的,k,，须引入状态反馈后使系统,必要性：,可以任意配置极点,能控,反证：若系统不能控，则由可控性分解将系统化为：,的极点位于,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系9 比较系数有：,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,10,引入状态反馈，设增益阵为 ，则闭环的状态空间表达式为：,闭环系统的特征多项式为：,不能控部分的特征根无法改变,不能任意配置极点，矛盾。,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系10 引入,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,11,step1.,求,A,阵特征多项式,step2.,求期望的闭环特征多项式,step3.,计算,step4.,计算矩阵,，求,p,-1,step5.,求反馈增益阵,极点配置步骤与方法一,可控标准型法,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系11step1.,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,12,解：,1.,判断系统的能控性,满秩，系统能控，所以极点可以任意配置,2.,求反馈增益阵,step1.,计算开环的特征多项式,系统的状态方程为,求状态反馈增益阵,k,使闭环极点位于,例,6.2,解,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系12解：1.,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,13,step4.,step3.,计算,step5.,验证：,step2.,计算期望特征多项式,.,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系13step4.,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,14,Step2,设反馈增益阵为,Step1,计算期望特征多项式，得到,，求闭环的特征多项式，,得,Step3,求联立方程,极点配置步骤与方法二,直接计算的方法,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系14Step2,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,15,试求状态反馈增益阵,k,使闭环极点位于,Step 2:,Step 1:,=,设,K=,det,=,Step 3:,解如下线性方程,已知系统的状态空间表达式为,例,6.3,解,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系15试求状态反馈,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,16,性质,1 SISO,系统状态反馈不会移动系统传递函数的零点。,线性定常系统,极点配置,的性质,性质,2,状态反馈可能导致传递函数出现零极点对消的现象。,性质,3,不完全能控的系统，状态反馈仅能改变能控子系统的,特征根，不能改变不能控子系统的特征根。,性质,4,完全能控的,SISO,系统，（,A,B,C,）不能采用输出线性,反馈实现闭环系统极点的任意配置。,性质,5,系统,(A,b,c),采用从输出到状态的线性反馈实现闭环,极点任意配置的充要条件是,(A,c),能观。,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系16性质1 SI,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,17,12,3,2,1,u,1.,按图中所示的,写出系统的状态空间表达式，判断系统,的能控性,和能现性，,并求出系统的传递函数。,2.,求状态反馈增益,K,，此系统经过此状态反馈传函为,3.,经过状态反馈后，系统是否能控？是否能现？为什么？,系统的模拟结构图如下图所示：,开环：,例,6.4,1. 1,）,求系统状态表达式,解,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系1712321u,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,18,(2),能控性，能观性,：,满秩,系统能控,满秩,系统能观,。,(3),传递函数,2.,经过状态反馈以后的闭环传递函数：,显然闭环有零极点对消，传递函数为 ：,即期望的极点为,1,，,2,，,3,期望的特征多项式为,所以,K,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系18(2)能控性,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,19,如果受控系统能够通过状态反馈，使闭环的极点位于复平面的左半部，则称系统状态反馈能镇定的，类似可以定义输出反馈能镇定的。,结论,1,：系统（,A,B,C,）采用状态反馈能镇定的充要条件是其,不能控子系统为渐进稳定的。,结论,2,：系统（,A,B,C,）通过输出反馈能镇定的充要条件是结,构分解中能控、能观子系统是能输出反馈镇定的，,其余子系统是渐进稳定的。,6.3,系统镇定的问题,已知系统的状态方程如下：,能否通过状态反馈使系统,稳,定。,例,6.5,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系19 如果,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,20,2,判断系统的能控性,，不满秩，系统不完全能控。,3,将系统按能控性能分解,取,，则,令,则有,故系统稳定，,系统可以通过状态反馈使系统镇定。,故系统不稳定。,1.,求系统的特征根,解,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系202判断系统,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,21,.,全维状态观测器,1,、状态重构,6.4,状态观测问题,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系21. 全维状态,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,22,由于初始状态,不清楚，所以可能导致,所以只有系统是渐进稳定时，才有,此时我们可以用,来代替,，但系统不稳定时,无法表达,上面构造,时没有使用,，按如下方式构造,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系22由于初始状态,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,23,利用原系统的输出量与观测器的输出量的差修正状态的,偏差，从而改善观测器的特性，我们称如图所构造的状,态观测器为全维状态观测器。,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系23 利用原系统,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,24,此时,时 的行为取决于,(A,BC),的特征根。若,在,(A,BC),的特征根全部有负实部，则必有：,在一定的条件下可以求得一个,E,，使,(A,EC),的特征根都有负实部。,全维状态观测器的状态空间表达式,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系24此时时,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,25,通过,E,配置 （,A,EC,）的特征根,配置（,A,EC,）的特征根，任意配置的充要条件是（,A,，,B,）能控,（,A,EC,）的特征根,的特征根。,能控,的特征根可以任意配置。,能控,能观 （对偶原理）,结论：线性定常系统（,A,，,B,，,C,）能观，则可以借助全维状态观测器,来估计系统的状态，其误差由下式确定,E,的计算：与极点配置比较,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系25 通过E配,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,26,系统的状态空间表达式为,设计一个全维状态观测器，并使观测器的极点位于,计算：,解,例,6.6,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系26系统的状态空,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,27,求变换矩阵,计算期望特征多项式,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系27求变换矩阵计,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,28,全维观测器为,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系28全维观测器为,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,29,注：,1.,全维状态观测器的维数为,n,。若使用其作为系统状态,的估计值，则系统成为,2n,维的。是否能减少？,2.,能否有更精确的判别观测器的存在性的方法？,二,.,状态观测器的存在性,结论：,线性定常系统（,A,，,B,，,C,）状态观测器存在的,充要条件是：,系统的不能观子系统是渐近稳,定的。,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系29注：1. 全,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,30,（,A.B.C,）,状态观测器,K,基本原理,状态观测器：,开环系统：,6.5,基于观测器的状态反馈系统,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系30（A.B.C,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,31,闭环系统：,C,B,A,B,C,E,A,K,+,+,+,+,y,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系31闭环系统：,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,32,整理后有：,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系32整理后有：,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,33,1.,2.,的特征根集合具有分离性 。,取,则,所以闭环系统的特征根为：,带观测器的反馈系统的性质：,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系331. 2.,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,34,3.,传递函数,结论：状态观测器的引入不影响由状态反馈增益阵所配置的极点。而状态反馈器不影响已经设计好的观测器的极点。,结论：带状态观测器的反馈系统的传函与状态反馈系统的传,函相同。,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系343. 传递函,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,35,6.6,控制系统的解耦方法,6.6.1解耦,问题的描述,解耦问题是,MIMO,系统综合理论中的重要组成部分。,解耦目的：,使多变量系统中的每一个输出仅受一个输入的影响。,每个输入也仅能控制一个输出。,这样的问题称为解耦问题。这样的过程称为解耦。,定义：,如果线性系统 是一个,n,维输入,n,维输出系统，,当其传递函数满足：,是一个对角形有理多项式矩阵，则称该系统是解耦的。,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系356.6 控制,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,36,常见解耦方法,1,）前馈补偿法,方法： 串接一个前馈补偿器。,优点： 方法简单。,缺点：系统的维数增加一倍。,2,）状态反馈法,方法：状态反馈。,优点：不增加系统的维数。,缺点：条件苛刻。,6.6,控制系统的解偶方法,回答两个问题：,系统能够解耦的充要条件；,解耦的方法和实现过程。,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系36常见解耦方法,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,37,6.6.2,前馈补偿法,Gd(S,),Go(S,),w,1,w,2,u,1,u,n,y,1,y,n,解耦条件：待解偶系统满秩！,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系376.6.2前,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,38,6.6.3,状态反馈解耦,待解耦系统,其中：,F,B,1/s,C,A,K,v,m,y,m,。,u,r,x,n,问题是如何设计,K,和,F,，使系统从,v,到,y,是解耦的。,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系386.6.3状,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,39,定义： 是满足不等式：,且介于,0,到,m-1,之间的一个最小整数 。,式中， 为系统输出矩阵,C,中的第,i,行向量,(i=1,2,m),因此， 的下标,i,表示行数。,根据 定义下列矩阵：,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系39 定义,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,40,已知系统,=(A,B,C):,解,例,6.7,试计算 （,i=1,2,），并计算,D,、,E,、,L,阵。,（,1,）先算,使 的最小的 是,1,，所以 ，,再算,使 的最小的 是,1,，所以 。,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系40已知系统,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,41,计算,D,、,E,、,L,阵：,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系41计算D、E、,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,42,定理,(,能解耦性判据,),：,设受控系统,采用状态反馈能解耦的充要条件是 维矩阵,E,为非奇异。即,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系42定理(能解耦,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,43,是一个积分型解耦系统。,其中，状态反馈矩阵为：,输入变换矩阵为：,闭环系统的传递函数为：,定理,(,积分型解耦系统,),：,若系统 是状态反馈能,解耦的，则闭环系统,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系43是一个积分型,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,44,例,6.7,已经算得到,D,、,E,、,L,阵,：,计算状态反馈矩阵,：,例,6.7,中所讨论的系统，由于,E,是非奇异的，因此该系统可以采用状态反馈实现解耦，下面实现之。,解,例,6.8,计算输入变换矩阵：,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系44例6.7已经,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,45,于是闭环系统为：,闭环系统的传递函数矩阵为：,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系45 于是闭环系,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,46,该系统的状态反馈解耦结构图如下图所示：,F,K,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系46该系统的状态,2024/11/24,北科大信息工程学院自动化系,47,本章结束，谢谢大家！,2023/9/29北科大信息工程学院自动化系47本章结束，谢,