二重积分的计算方法课件

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 行列式,*,http:/mooker.80.hk,http:/mooker.80.hk,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,第二节,二重积分的计算法,计算二重积分的方法,:,二重积分,累次,积分,(,即,两次,定积分,).,1第二节 二重积分的计算法计算二重积分的方法:二重积分累次积,2,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,D,，,故二重积分可写为,D,则面积元素为,一、利用直角坐标系计算二重积分,2 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分,3,(2),如果积分区域为：,其中函数 、在区间 上连续,.,X,型,3(2)如果积分区域为：其中函数 、,4,回忆,：平行截面面积为已知的立体的体积,立体体积,此方法关键是求,4回忆：平行截面面积为已知的立体的体积立体体积此方法关键是求,5,计算截面面积,(,红色部分即,A,(,x,0,),),以,D,为底,以曲面,为顶的曲顶柱体的体积,.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,.,用二重积分的几何意义说明其计算法,:,是区间,为曲边的曲边梯形,.,为底,曲线,5计算截面面积(红色部分即A(x0)以D为底,以曲面,6,A,(,x,0,),先对,y,后对,x,的二次积分,(,累次,积分,),6A(x0)先对y后对x的二次积分(累次积分),7,(2),积分区域,为：,先对,x,后对,y,的二次积分,也即,其中函数,在区间,上连续,.,Y,型,7(2)积分区域为：先对x后对y的二次积分也即其中函数,8,1.,当,D,既不是,X-,型区域也不是,Y-,型区域时,将,D,分成几部分，使每部分是,X-,型区域或是,Y-,型区域,.,注意：,2.,当,D,既是,X-,型区域也是,Y-,型区域时,可以用两个公式进行计算,.,y,x,0,y,x,0,c,d,a,b,D,81.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分,9,特殊地,即等于两个定积分的乘积,.,D,为矩形域,:,则,则,a,x,b,c,y,d,9特殊地即等于两个定积分的乘积.D为矩形域:则则axb,10,二重积分是,化为,两次定积分,来计算的，,关键,是确定积分限,.,定限要注意的问题：,1.,上限,下限,.,2.,内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数,.,3.,外层积分上，下限应为常数,(,后积先定限,),.,4.,二重积分的结果应为常数,.,10二重积分是化为两次定积分来计算的，关键是确定积分限.定限,11,例,计算,其中,D,是由直线,y=,1,x=,2,及,y=x,所围成的闭区域,.,解法,1,：,先,y,后,x,x,y,x,0,1,2,y=x,y=1,x=2,11例 计算其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的,12,解法,2,：,先,x,后,y,y,x,0,1,2,y,=,x,x,=2,y,12解法2：先x后yyx012y=xx=2y,13,解,例,计算,(1,1),13解例 计算(1,1),14,选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看被积函数,的特点,.,凡遇如下形式积分,:,等等,一定要放在,后面积分,.,14选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看被积函数的特点,15,解,积分区域如图,例,改变积分,的次序,.,15解积分区域如图例 改变积分 的次序.,16,例,交换积分次序：,解,原式,=,16例交换积分次序：解原式=,17,例,交换积分次序：,解,积分区域,:,原式,=,17例交换积分次序：解积分区域:原式=,18,例,求证,左边的累次积分中,提示,不能直接计算，,是,y,的抽象函数,证毕,.,要先交换积分次序,.,证明,18例 求证 左边的累次积分中,提示不能直接计算，是y的抽,19,例,求两个底圆半径为,R,且这两个圆柱面的方程分别为 及,解,求所围成的,立体的体积,.,19例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为,20,解,曲面围成的立体如图,.,例,求由下列曲面所围成的立体体积，,20解曲面围成的立体如图.例 求由下列曲面所围成的立,21,21,22,例,解,22例解,23,补充,轮换,对称性结论,:,若,D,关于,x,y,满足轮换对称性,(,将,D,的边界曲线方程中的,x,与,y,交换位置,方程不变,),则,23补充轮换对称性结论:若D关于x,y满足轮换对称性(将D的,24,证,所以,例,24证所以,例,25,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择,积分次序,）,小结,Y,型,X,型,（,1,）化二重积分为二次积分；,（,2,）交换积分次序；,题型,25二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次,26,作业,习题,8-2(1),(77,页,),3.(1)(3)(4)4.5.,6.(1)(2)7.(2)(3),26作业习题8-2(1)(77页)3.(1)(3)(4),27,计算,(,学生练习,）,答案,：,27 计算(学生练习）答案：,28,解,由给出的积分画出相,应的积分区域,练习,28解由给出的积分画出相练习,知识回顾,Knowledge Review,祝您成功！,知识回顾Knowledge Review祝您成功！,