一阶线性微分方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一阶线性微分方程,的标准形式,:,上方程称为,齐次的,.,上方程称为,非齐次的,.,一、线性方程,齐次方程的通解为,1.,齐次线性方程,一阶线性微分方程的,解法,(,使用分离变量法,),2.,非齐次线性方程,讨论,两边积分,非齐方程通解形式,与齐方程通解相比,:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,.,实质,:,未知函数的变量代换,.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为,:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,:,先解,即,积分得,即,用,常数变易法,求解,.,令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,例,1,解方程,解,例,2,伯努利,(Bernoulli),方程的标准形式,二、伯努利方程,解法,:,需经过变量代换化为线性微分方程,.,代入上式,解,例,4,内容小结,1.,一阶线性方程,方法,1,先解齐次方程,再用常数变易法,.,方法,2,用通解公式,化为线性方程求解,.,2.,伯努利方程,思考与练习,判别下列方程类型,:,提示,:,可分离 变量方程,齐次方程,线性微分方程,线性微分方程,伯努利方程,(,雅各布第一,伯努利,),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利,(1654 1705),瑞士数学家,位数学家,.,标和,极坐标下的曲率半径公式,1695,年,版了他的,巨著,猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式,.,年提出了著名的伯努利方程,他家,祖孙三代出过十多,1694,年他首次给出了直角坐,1713,年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究,.,